山東省青島第三十九中學2024?2025學年高一下學期4月份月考數學試卷一、單選題1．已知平面向量，，則（

）A．6 B．8 C．0 D．2．已知向量，則“與共線”是“存在唯一實數使得”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在中，角所對的邊分別是，已知，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形4．向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．已知向量滿足，，且，則與的夾角的余弦值為A． B． C． D．6．海面上有相距的A，B兩個小島，從A島望C島和B島成的視角，從B島望C島和A島成的視角，則B，C間的距離為（

）A． B． C． D．7．在中，已知，，為的中點，則線段長度的最大值為（

）A．3 B． C．2 D．8．如圖，為了測量河對岸兩點間的距離，現在沿岸相距的兩點處分別測得，則間的距離為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．已知為虛數單位，復數滿足，則（

）A．的實部為3B．的虛部為C．D．在復平面內對應的點在第四象限10．水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時6秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足，則下列結論正確的是（

）A．B．當時，函數單調遞增C．當時，點的縱坐標越來越小D．當時，11．如圖，中，，點E在線段AC上，AD與BE交于點F，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知向量，非零向量與的夾角為，，則.13．如圖，在中，，，，，，則.14．已知的內角的對邊分別為，下列結論錯誤的是.①若，②若，則符合條件的三角形有2個③若，則④若的面積，則四、解答題15．在中，分別為角A、B、C的對邊，．（1）求；（2）若角的平分線交于，且，，求．16．圖，在平行四邊形中，.（1）用向量，表示向量，.（2）若向量，證明：三點共線.（3）若，，，求.17．在等腰梯形中，，，，．

（1）若與垂直，求的值；（2）若為邊上的動點(不包括端點），求的最小值．18．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若，，求外接圓的半徑；（3）若點M在線段AC上，，，求的最小值．19．某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：00300（1）求出實數和函數的解析式；（2）將圖象上的所有點向右平移個單位長度，并把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象.已知圖象的一個對稱中心為，求的最小值；（3）在（2）的條件下，當取最小值時，若對，關于的方程恰有兩個實數根，求實數的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【詳解】因為向量，，則.故選A2．【答案】B【詳解】當時，滿足與共線，但是不存在實數使得，故充分性不成立；存在唯一實數使得則與共線成立，即必要性成立.故“與共線”是“存在唯一實數使得”的必要不充分條件.故選B.3．【答案】A【詳解】解:由余弦定理,故代入邊角互化得:,整理得:所以,故三角形為等腰三角形.故選A4．【答案】C【詳解】因為，，則，所以在方向上的投影向量為．故選C5．【答案】A【詳解】由已知得得：故選A6．【答案】D【詳解】由題意得，，則，所以，所以，即B，C間的距離為.故選D.7．【答案】B【詳解】由余弦定理得，即，即，又，，即，當且僅當時等號成立.，..故選B8．【答案】C【詳解】在中，由正弦定理得，即，得，在中，，是等邊三角形，，在中，，由余弦定理，，所以．故選C.9．【答案】ACD【詳解】由于，則的實部為的虛部為2，不是，所以A正確，B錯誤；由于在復平面內對應的點在第四象限，所以CD都正確，故選ACD.10．【答案】CD【詳解】因為，所以，因為旋轉一周用時6秒，所以角速度，所以，所以根據三角函數的定義可得，所以，所以A錯誤，對于B，當時，，則函數在此區間上不單調，所以B錯誤，對于C，當時，，所以函數在上單調遞減，所以點的縱坐標越來越小，所以C正確，對于D，當時，，所以，因為，所以，所以D正確，故選CD11．【答案】ACD【詳解】對于A：根據，故，故A正確；對于B：設，則，又，，，三點共線，，且，，故，故B錯誤；對于D：由于，故，，故D正確；對于C，，，，故C正確．故選ACD．12．【答案】【詳解】因為，所以，又非零向量與的夾角為，，所以，即，所以，解得（舍去）或.13．【答案】4【詳解】由題意得：，，，，三點共線，，即.14．【答案】③【詳解】對于①，由及正弦定理，得,所以，故①正確；對于②，由題意及正弦定理得,所以,因為，所以,所以或，即符合條件的三角形有2個，故②正確；對于③，由，得或，所以或，所以或，故③錯誤；對于④，由，得，所以，由于，所以，故④正確.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，所以，整理得到：，故即，而為三角形內角，故.（2）

因為，且為角平分線，故,而，故，而，故，故，故，故，故.16．【答案】（1），；（2）證明見解析（3）【詳解】（1），；（2）由（1）知，，又，故，故三點共線；（3）.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）過作于，等腰梯形中易知，又，故可得，如圖所示：以為坐標原點，建立平面直角坐標系，

則，所以，故因為與垂直，所以，解得；（2）設，，則，，則，則，對，其對稱軸，故其最小值為，所以的最小值為.18．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，則，兩邊平方得，又，，于是，解得，所以.（2）由余弦定理得，而，則，解得，，所以外接圓的半徑為.（3）由，，得，由，，得，則，即，因此，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.19．【答案】（1），；（2）（3）.【詳解】（1）由題意得，所以，且，所以，