2024-2025學年高一下學期金陵河學西學校3月月考數學考試一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若函數在區間內可導，且，則的值為（）A.B.C. D.02.函數的單調增區間是（）A. B. C. D.3.5個不同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里放球數量不限，則不同的放法有（）A.種 B.種 C.種 D.種4.已知函數在定義域內單調遞增，則實數取值范圍為（）A. B. C. D.5.可以表示為（）A B. C. D.6.已知n，m為正整數，且，則在下列各式中錯誤的是（）A.； B.； C.； D.7.若是函數的極值點，則的值為（）A. B.3 C.或3 D.或28.若直線是曲線與曲線的公切線，則（）A.11 B.12 C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，下列說法正確是（

）A.在處的切線方程為 B.單調遞減區間為C.的極小值為 D.方程2024有兩個不同的解10.函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，在現行的《高等數學》與《數學分析》教材中，對“初等函數”給出了明確的定義，即初等函數是指由常數及基本初等函數經過有限次的四則運算與有限次的復合步驟所構成，并可用一個數學式子表示的函數，如函數，我們可以作變形：，所以可看作是由函數和復合而成的，即為初等函數．根據以上材料，關于初等函數的說法正確的是（）A.無極小值 B.有極小值1C.無極大值 D.有極大值11.如圖，在邊長為4的正方體中，，分別是棱，的中點，是正方形內的動點，則下列結論正確的是A．若平面，則點的軌跡長度為 B．若，則點的軌跡長度為 C．若是正方形的中心，在線段上，則的最小值為 D．若是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.．已知空間向量，0，，，，，，則的值是_____.13.如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區域涂色，要求相鄰的兩個區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有__________.14.已知函數，點在第四象限內，過作圖象的切線，有且只有兩條，則的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.解方程：（本小題滿分13分）(1)(2)16.（本小題滿分15分）男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名.選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）隊長中至少有1人參加；（4）既要有隊長，又要有女運動員.17（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，面，，，，．為的中點，點在上，且．（1）求證：面；（2）求二面角的正弦值；（3）設點在上，且．判斷是否存在這樣的，使得，，，四點共面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18.（本小題滿分17分）函數，.（1）求函數的單調區間；（2）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍.19.（本小題滿分17分）已知函數在上有兩個極值點，且.（1）求的取值范圍；（2）當時，證明：.

2024-2025學年高一下學期金陵河學西學校3月月考數學考試一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若函數在區間內可導，且，則的值為（）A. B.C. D.0【答案】B【解析】由題意知，.故選：B2.函數的單調增區間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由求導得，，則當時，，即函數在上單調遞增；當時，，即函數在上單調遞減，故函數的單調遞增區間為.故選：D.3.5個不同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里放球數量不限，則不同的放法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】由于每個盒里放球數量不限，所以第1個球有8種放法，第2個球有8種放法，……第5個球也有8種放法．故不同的放法共有（種）．故選：D4.已知函數在定義域內單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：的定義域為，且在定義域內單調遞增，上恒成立，即在上恒成立．令，，，即實數取值范圍為．故選：B5.可以表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由排列數公式2），可知.故選：B.6.已知n，m為正整數，且，則在下列各式中錯誤的是（）A.； B.； C.； D.【答案】C【解析】解：對于A，，故正確；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為n，m為正整數，且，所以令，則，，此時，故錯誤；對于D，，故正確；故選：C7.若是函數的極值點，則的值為（）A. B.3 C.或3 D.或2【答案】B【解析】，由題意可知或，當時，，令，解得或，函數在和上單調遞增，令，解得，函數在上單調遞減，所以是函數的極值點符合題意；當時，，所以函數是上的單調遞增函數，沒有極值，不符合題意，舍去，綜上所述，.故選：B.8.若直線是曲線與曲線的公切線，則（）A.11 B.12 C. D.【答案】A【解析】解：由，得，由，解得，則直線與曲線相切于點，∴，得，∴直線是曲線的切線，由，得，設切點為，則，且，聯立可得，解得，所以．∴．故選：A．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，下列說法正確的是（

）A.在處的切線方程為 B.單調遞減區間為C.的極小值為 D.方程2024有兩個不同的解【答案】ABD【解析】對于A，由，得，所以，，所以在處的切線方程為，故A正確；對于B，由，得，解得，所以的單調遞減區間為，故B正確；對于C，由，得，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極大值，故C錯誤；對于D，由C選項可知的最大值為，當時，且，

所以函數與的圖像的交點個數為2，即有2個解，故D正確.故選：ABD.10.函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，在現行的《高等數學》與《數學分析》教材中，對“初等函數”給出了明確的定義，即初等函數是指由常數及基本初等函數經過有限次的四則運算與有限次的復合步驟所構成，并可用一個數學式子表示的函數，如函數，我們可以作變形：，所以可看作是由函數和復合而成的，即為初等函數．根據以上材料，關于初等函數的說法正確的是（）A.無極小值 B.有極小值1C.無極大值 D.有極大值【答案】AD【解析】根據材料知，，所以，令得，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減．所以有極大值且為，無極小值．故選：．11.如圖，在邊長為4的正方體中，，分別是棱，的中點，是正方形內的動點，則下列結論正確的是A．若平面，則點的軌跡長度為 B．若，則點的軌跡長度為 C．若是正方形的中心，在線段上，則的最小值為 D．若是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是【答案】【解答】解：對于，如圖，分別取，的中點，，可得，，，從而得到平面平面，又是正方形內的動點，且平面，點的軌跡為線段，又，故正確；對于，如圖，若，又，且平面，則，點的軌跡是正方形內以為圓心，以1為半徑的四分之一圓弧，的軌跡長度為，故錯誤；對于，是正方形的中心，在線段上，則為的中點時，取最小值為，故正確；對于，如圖，取的中點，的中點，連接，，，是棱的中點，，分別是棱，的中點，，由勾股定理得，而，所以，所以，而，則點到，，的距離相等，，由正方體性質得面，面，可得三棱錐的外接球的球心在上，設球心為，，則，又，，設三棱錐的外接球的半徑為，則，在直角三角形中，由勾股定理得，在直角三角形中，由勾股定理得，解得，，三棱錐的外接球的表面積為，故正確．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.．已知空間向量，0，，，，，，則的值是_____.【答案】【解析】解：空間向量，0，，，，，，，且，解得，．13.如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區域涂色，要求相鄰的兩個區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有__________.【答案】48【解析】【分析】根據分步乘法計數原理求解即可.【詳解】根據題意，對于區域A，有4種涂色方法，對于區域B，有3種涂色方法，對于區域C，有2種涂色方法，對于區域D，有2種涂色方法，則由分步乘法計數原理可得種涂色方法故答案為：4814.已知函數，點在第四象限內，過作圖象的切線，有且只有兩條，則的取值范圍為______.【答案】【解析】設切點為，，由題意可知，，，則切線方程為，因為切線過點，則，即方程有兩個解.令，或，由可得，所以，函數的增區間為、，減區間為，因為方程有兩個解，所以，或，當時，則有，即，合乎題意；當時，則，可得，由可得，所以，，則，綜上，，即取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.解方程：(1)(2)【答案】（1）（2）【解析】試題解析（1）由排列數定義得，解得（2）由組合數性質得，即，，最后根據組合數定義得，解得16.男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名.選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）隊長中至少有1人參加；（4）既要有隊長，又要有女運動員.【答案】（1）120；（2）246；（3）196；（4）191.【解析】（1）分兩步完成，首先選3名男運動員，有種選法，再選2名女運動員，有種選法，共有種選法.（2）“至少有1名女運動員”的對立事件為“全是男運動員”，從10人中任選5人，有種選法，全是男運動員有種選法，所以“至少有1名女運動員”的選法有種選法.（3）“只有男隊長”的選法有種，“只有女隊長”的選法有種，“男女隊長都入選”的選法有種，所以隊長中至少有1人參加的選法共有種；（4）當有女隊長時，其他人選法任意，共有種，不選女隊長，必選男隊長，共有種，其中不含女運動員的選法有種，此時共有種，所以既要有隊長，又要有女運動員的選法共有種.17（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，面，，，，．為的中點，點在上，且．（1）求證：面；（2）求二面角的正弦值；（3）設點在上，且．判斷是否存在這樣的，使得，，，四點共面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解答；（2）；（3）存在，，理由見解答．【解答】（1）證明：由于平面，平面，則，由題意可知，且，可得平面．（2）解：以點為坐標原點，平面內與垂直的直線為軸，，方向為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，0，，，0，，，2，，，2，，由可得點的坐標為，由可得，1，，設平面的法向量為：，則，據此可得平面的一個法向量：，平面的一個法向量為，，故二面角的余弦值為，正弦值為．（3）解：存在這樣的，理由如下：由可得，，，則，若，，，四點共面，則在平面內，平面的一個法向量為，所以，，所以存在這樣的使得四點共面．18.函數，.（1）求函數的單調區間；（2）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）.【解析】【小問1詳解】由題意得，，當時，則，在上單增，的遞增區間為；當時，令，則；令，則.的遞增區間為，遞減區間為.【小問2詳解】當時，令，，則，，由題意，得.因為，令，則；令，則，在上遞減，在上遞增，，故在上遞增，又，，實數的取值范圍為.19.已知函數在上有兩個極值點，且.（1）求的取值范圍；（2）當時，證明：.【答案】（1）