第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱四中高一（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.AB+A.AD B.DA C.CD D.DC2.在復(fù)平面內(nèi)，(2+i)(?1+i)對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a=(2,3)與b=(m,?6)共線，則實(shí)數(shù)m=(

)A.?4 B.4 C.?9 D.94.在△ABC中，已知a=5，c=3，C=30°，則符合條件的三角形個數(shù)是(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個5.已知a,b為不共線的非零向量，AB=a+5b，BCA.A，B，C三點(diǎn)共線 B.A，B、D三點(diǎn)共線

C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線6.將一個棱長為1的正方體鐵塊磨制成一個球體零件，則可能制作的最大零件的表面積為(

)A.π6 B.π C.4π D.7.已知向量a=(2cosx,sinx)與b=(cosx,2cosx)，則函數(shù)f(x)=a?A.π B.2π C.3π D.4π8.在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，且滿足AN=λAB+μAC，則λA.116 B.14 C.18二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列兩個向量，能作為平面中一組基底的是(

)A.e1=(1,2)，e2=(?2,4) B.e1=(1,2)，e2=(2,4)

C.10.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+3i2+i，則下列命題結(jié)論正確的是(

)A.z的虛部為1 B.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

C.|z|=2 D.z是方程11.在△ABC中，D、E、F分別是邊BC、AC、AB中點(diǎn)，下列說法正確的是(

)A.BA+BC?2BE=0

B.AB+AC+BC=0

12.在△ABC中內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，則下列命題中真命題的是(

)A.若ab>c2，則C<π3

B.若tanA≤tanB，則sinA≤sinB

C.若A>B，則sinA>sinB

D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知i為虛數(shù)單位，x，y∈R，若(x?i)i=y?2i，則x+y=______．14.如圖，等腰直角三角形O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2，則原圖形的面積是______．15.如圖，在海面上有兩個觀測點(diǎn)B，D，點(diǎn)B在D的正北方向，距離為2km，在某天10：00觀察到某航船在C處，此時(shí)測得∠CBD=45°，5分鐘后該船行駛至A處，此時(shí)測得，∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，則該船行駛的距離為______km．16.《哪吒2》的玉虛宮，形態(tài)由九宮八卦陣演變而來，設(shè)計(jì)靈感來源于漢代，內(nèi)飾充滿了中國文化符號.我校高一數(shù)學(xué)實(shí)踐小組將玉虛宮輪廓抽象為正八邊形，結(jié)合向量知識進(jìn)行主題探究活動.如圖，正八邊形ABCDEFGH，邊長為2，點(diǎn)Q為線段CD上的動點(diǎn)，則AQ?QE的最大值為______．

四、解答題：本題共5小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

設(shè)復(fù)數(shù)z1=1?ai(a∈R)，z2=2+i．

(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1+z2對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，求z118.(本小題12分)

已知A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對邊分別為a、b、c，若acosC+(c+2b)cosA=0．

(1)求A；

(2)若a=23，b+c=4，求△ABC19.(本小題12分)

已知向量a，b，若|a|=2，|b|=1，a，b夾角為120°．

(1)求|2a?b|；

(2)當(dāng)20.(本小題15分)

已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=(1,3sinB?cosB)，n=(cosA,cosC)，m//n．

(1)求A21.(本小題15分)

如圖所示，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成θ(0<θ<π)角的兩條數(shù)軸，e1,e2分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為θ仿射坐標(biāo)系，若在θ仿射坐標(biāo)系下OM=ae1+be2，則把有序數(shù)對(a,b)叫做向量OM的仿射坐標(biāo)，記為OM=(a,b)．

(1)若θ=60°,OM=2e1+3e2，求|OM|的模長；

(2)

參考答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.B

6.B

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.ACD

13.?1

14.215.216.1

17.3?i；

2．

18.解：(1)∵acosC+(c+2b)cosA=0，

∴由正弦定理可得：sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0，

可得sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosA=0，

可得sin(A+C)+2sinBcosA=0，即sinB+2sinBcosA=0，

∵sinB≠0，

∴cosA=?12，

∵A∈(0,π)，

∴A=2π3．

(2)由a=23，b+c=4，由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA19.(1)已知向量a，b，|a|=2，|b|=1，a，b夾角為120°．

則a?b=2×1×(?12)=?1，

則|2a?b|=4a2?4a?b+b2=16+4+1=21；

(2)已知向量λa+b與向量a?3b互相垂直，

則(λa+b)?(a?3b)=0，

即λa2?3b2+(1?3λ)a?b=0，

即λ=47．

20.解：(1)因?yàn)閙=(1,3sinB?cosB)21.(1)由題意，e1,e2是與x軸和y軸同向的單位向量，

因?yàn)棣?60°，則?e1,e2?=60°，又OM=2e1+3e2，

則|OM|=(2e1+3e2)2=4e12+12e1?e2+9e