§4.10解三角形及其應用舉例(分值：70分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，則A，B兩點間的距離為()A.502m B.503mC.252m D.2522.(2025·牡丹江模擬)甲船在湖中B島的正南A處，AB=3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時乙船從B島出發，以12km/h的速度向北偏東60°方向駛去，則行駛15min時，兩船的距離是()A.7km B.13kmC.19km D.(10-33)km3.如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于()A.30° B.45° C.60° D.75°4.如圖，有一古塔，在A點測得塔底位于北偏東30°方向上的點D處，在A點測得塔頂C的仰角為30°，在A點的正東方向且距D點75m的B點測得塔底位于北偏西45°方向上(A，B，D在同一水平面)，則塔的高度CD約為(2≈1.414)()A.34.20m B.35.35mC.35.75m D.36.20m二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·蘭州模擬)某學校開展測量旗桿高度的數學建?；顒?，學生需通過建立模型、實地測量，迭代優化完成此次活動.在以下不同小組設計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有()A.在水平地面上任意尋找兩點A，B，分別測量旗桿頂端的仰角α，β，再測量A，B兩點間距離B.在旗桿對面找到某建筑物(低于旗桿)，測得建筑物的高度為h，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角α和βC.在地面上任意尋找一點A，測量旗桿頂端的仰角α，再測量A到旗桿底部的距離D.在旗桿的正前方A處測得旗桿頂端的仰角α，正對旗桿前行5m到達B處，再次測量旗桿頂端的仰角β6.(2024·重慶模擬)如圖，在海面上有兩個觀測點B，D，B在D的正北方向，距離為2km，在某天10：00觀察到某航船在C處，此時測得∠CBD=45°，5分鐘后該船行駛至A處，此時測得∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，則()A.觀測點B位于A處的北偏東75°方向B.當天10：00時，該船到觀測點B的距離為6kmC.當船行駛至A處時，該船到觀測點B的距離為6kmD.該船在由C行駛至A的這5min內行駛了2km三、填空題(每小題5分，共10分)7.如圖所示，某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角∠CAB=45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進1000米后到達S處，又測得山頂B的仰角∠DSB=75°，則山高BC為米.

8.(2024·臨沂模擬)在同一平面上有相距14公里的A，B兩座炮臺，A在B的正東方向.某次演習時，A向西偏北θ方向發射炮彈，B則向東偏北θ方向發射炮彈，其中θ為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標，接著A改向向西偏北θ2方向發射炮彈，彈著點為18公里外的點M，則B炮臺與彈著點M的距離為公里.四、解答題(共28分)9.(13分)如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內，已知飛機的高度為海拔20250m，速度為1000km/h，飛行員在A處先看到山頂C的俯角為18°30'，經過150s后又在B處看到山頂C的俯角為81°.(1)求飛機在B處與山頂C的距離；(精確到1m)(7分)(2)求山頂的海拔高度.(精確到1m)(6分)參考數據：sin18.5°≈0.32，cos18.5°≈0.95，sin62.5°≈0.89，cos62.5°≈0.46，sin81°≈0.99，cos81°≈0.16.10.(15分)(2024·濟寧模擬)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向的兩個觀測點，AB=5(3+3)海里，D點位于A觀測點北偏東45°，且B觀測點北偏西60°的位置，C點位于B觀測點南偏西60°，且BC=203海里的位置.現D點有一艘輪船發出求救信號，C點處的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時.求：(1)DB的距離；(8分)(2)該救援船到達D點所需要的時間.(7分)

答案精析1.A[因為∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠即ABsin45°＝50sin30°，解得所以A，B兩點間的距離為502m.]2.B[如圖，設行駛15min時，甲船到達M處，由題意知AM＝8×1560＝2，BN＝12×1560MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB×BNcos120°＝1＋9－2×1×3×?12所以MN＝13km.]3.B[依題意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝A＝(305)2又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD為45°.]4.B[由已知可得，在△ABD中，有∠BAD＝60°，∠ABD＝45°，BD＝75，根據正弦定理ADsin∠ABD＝可得AD＝BDsin∠BAD·sin∠ABD＝7532×在Rt△ADC中，有∠CAD＝30°，AD＝256，tan∠CAD＝CDAD所以CD＝ADtan30°＝256×33＝252≈35.35.5.BCD[對于A，如果A，B兩點與旗桿底部不在一條直線上時，就不能測量出旗桿的高度，故A不正確；對于B，如圖1，在△ABD中，由正弦定理求AD，則旗桿的高CD＝h＋ADsinβ，故B正確；對于C，如圖2，在Rt△ADC中，直接利用銳角三角函數求出旗桿的高DC＝ACtanα，故C正確；對于D，如圖3，在△ABD中，由正弦定理求AD，則旗桿的高CD＝ADsinα，故D正確.]6.ACD[對于A，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，因為B在D的正北方向，所以觀測點B位于A的北偏東75°方向，故A正確；對于B，在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，即∠BCD＝45°，則BD＝CD＝2，則BC＝22，故B錯誤；對于C，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，則∠BAD＝45°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，即對于D，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝6＋8－2×6×22×32＝2即AC＝2km，故D正確.]7.1000解析由題意得∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，則∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理得AB＝AS·sin135°sin30°＝1000×∴BC＝ABsin45°＝10002×22＝1000(米)8.10解析結合題意作出圖形，AC＝BC＝18，AB＝14，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝θ2在△ABC中，由余弦定理得cosθ＝182因為cos2θ2＝1＋cosθ2＝2536且cos在△ABM中，由余弦定理得cosθ2解得MB＝10公里.9.解(1)飛機在150秒內飛行的距離為AB＝1000×1000×1503600＝124×10在△ABC中，由正弦定理，有ABsin(81°?18.5°)∴BC＝ABsin18.5°sin62.5°≈14981(m(2)飛機、山頂的海拔高度差為BC×sin81°≈14831(m)，20250－14831＝5419(m)，即山頂的海拔高度約為5419m.10.解(1)由題意可知，∠DAB＝90°－45°＝45°，∠DBA＝90°－60°＝30°，則∠ADB＝180°－(∠DAB＋∠DBA)＝180°－(45°＋30°)＝105°，而sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°si