§4.8解三角形(分值：55分)1.(12分)(2024·揭陽模擬)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2acosB=2c-b，點D為BC邊的中點.(1)求A；(6分)(2)若b+c=6，AD=7，求△ABC的面積.(6分)2.(13分)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c2=a2+b2+ab.(1)求角C；(6分)(2)若CD是角C的平分線，AD=27，DB=7，求CD的長.(7分)3.(15分)(2024·蚌埠模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=6.(1)若A=2π3，C=π3，求sin∠(2)若CD=2，cosA=3cosC，求四邊形ABCD的面積.(8分)4.(15分)(2024·北京模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知acosB+12b=c，b(1)求A；(7分)(2)從下列三個條件中選擇一個作為已知條件，使△ABC存在且唯一確定，并求出BC邊上的高.(8分)條件①：sinB=22；條件②：cosB=-2條件③：△ABC的面積為3+3注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

答案精析1.解(1)由2acosB＝2c－b及正弦定理得，2sinAcosB＝2sinC－sinB.由A＋B＋C＝π，得sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.∴sinB＝2cosAsinB.∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，則cosA＝12又A∈(0，π)，∴A＝π3(2)∵點D為BC邊的中點，∴2AD＝∴4AD2＝AB2＋∴28＝c2＋b2＋bc，即28＝(b＋c)2－bc，∴bc＝(b＋c)2－28＝36－28＝8，∴△ABC的面積S＝12bcsin∠BAC＝232.解(1)已知c2＝a2＋b2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理知cosC＝a2＋b又C∈(0，π)，所以C＝2π3(2)因為CD是角C的平分線，AD＝27，DB＝7，由角平分線定理知ADBD＝即b＝2a，又由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，即(37)2＝a2＋4a2＋2解得a＝3，所以b＝6，又S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，即12absin∠＝12b·CD·sin∠ACB2＋1即18＝9CD，所以CD＝2.3.解(1)在△ABD中，AB＝AD＝4，A＝2π3則∠ADB＝π6BD＝2ADcos∠ADB＝2×4×cosπ6＝43在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠sin∠BDC＝BC＝6sinπ(2)在△ABD和△BCD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝42＋42－2×4×4×cosA＝32－32cosA，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝62＋22－2×6×2×cosC＝40－24cosC，得4cosA－3cosC＝－1，又cosA＝3cosC，得cosA＝－13，cosC＝－1則sinA＝223，sinC＝四邊形ABCD的面積S＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·AD·sinA＋12CB·CD·sin＝12×4×4×223＋12×4.解(1)方法一在△ABC中，acosB＋12b＝c由正弦定理可得sinAcosB＋12sinB＝sinC因為A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.所以12sinB＝cosAsinB又因為在△ABC中，sinB≠0，所以cosA＝12又0°<A<180°，所以A＝60°.方法二在△ABC中，acosB＋12b＝c由余弦定理cosB＝a2可得a·a2＋c2整理得c2＋b2－a2＝bc，所以cosA＝c2又0°<A<180°，所以A＝60°.(2)選條件①，由(1)知0°<B<120°，在△ABC中，sinB＝22所以B＝45°.因為A＋B＋C＝180°，所以C＝75°，所以sinC＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝6＋設BC邊上高線的長為h，則h＝bsinC＝2×6＋選條件②，cosB＝－23<－1所以120°<B<180°，因為A＝60°，所以A＋B>180°，△ABC不存在.選條件③，因為S△ABC＝12bcsin