§7.5空間直線、平面的垂直(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.(2025·邯鄲模擬)已知α，β是不重合的兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，且α⊥β，m?α，n?β，則“m⊥n”是“m⊥β”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=3，點(diǎn)D是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)，則直線C1D與平面ABC所成角的正弦值為()A.32 B.C.77 D.3.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，則C1在平面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部4.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·廣州模擬)已知α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，則下列命題不正確的是()A.若α⊥γ，β⊥γ，則l∥mB.若l∥m，則α∥βC.若α⊥β，γ⊥β，則l⊥mD.若l⊥m，則α⊥β6.(2024·安徽省皖江名校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個(gè)命題中正確的是()A.直線BC與平面ABC1D1所成的角為πB.四棱錐C-ABC1D1的體積為1C.異面直線D1C和BC1所成的角為πD.二面角C-BC1-D的余弦值為-3三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知△ABC，若直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，且l，m為兩條不同的直線，則l，m的位置關(guān)系是.

8.(2024·菏澤模擬)某同學(xué)畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切面圓柱體)，發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個(gè)橢圓(如圖所示).若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為32，則“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為.四、解答題(共28分)9.(13分)(2024·綿陽模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.(1)求四棱錐P-ABCD的體積；(5分)(2)證明：平面PAC⊥平面PBC.(8分)10.(15分)(2024·淮安模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，G為△A1BC的重心，∠A1AB=∠A1AC=60°.(1)求證：B1B⊥BC；(7分)(2)已知A1A=2，P∈平面ABC，且C1P⊥平面A1BC.求證：AG∥C1P.(8分)每小題5分，共10分11.(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，則A1A與平面ABCA.12 B.1 C.2 12.(2025·長沙模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M是棱CC1的中點(diǎn)，正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足DP⊥BM，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為.

答案精析1.A[用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β，當(dāng)m⊥n如圖所示時(shí)，顯然m與平面β不垂直，反之，當(dāng)m⊥β時(shí)，又n?β，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有m⊥n，所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分條件.]2.B[∵BB1⊥平面A1B1C1，∴C1D與平面A1B1C1所成的角為∠DC1B1.又B1C1＝1，B1D＝32，可得C1D＝72，sin∠DC1B1＝B1DC1D＝217，∵平面A1B1C1∥平面ABC，∴C1D與平面ABC所成角的正弦值為3.A[由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.]4.D[由題意知SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，故SD⊥AC，又四棱錐S－ABCD的底面為正方形，即AC⊥BD，而SD∩BD＝D，SD，BD?平面SBD，故AC⊥平面SBD，SB?平面SBD，故AC⊥SB，A正確；SD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，故SD⊥AD，又四棱錐S－ABCD的底面為正方形，即AD⊥CD，而SD∩CD＝D，SD，CD?平面SCD，故AD⊥平面SCD，SC?平面SCD，故AD⊥SC，B正確；由于AC⊥平面SBD，AC?平面SAC，故平面SAC⊥平面SBD，C正確；SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，故SD⊥BD，若BD⊥SA，而SD∩SA＝S，SD，SA?平面SAD，故BD⊥平面SAD，AD?平面SAD，故BD⊥AD，即∠BDA＝90°，這與正方形ABCD中∠BDA＝45°矛盾，D錯(cuò)誤.]5.ABD[若α⊥γ，β⊥γ，則l∥m或l與m相交，故A錯(cuò)誤；若l∥m，則α∥β或α與β相交，故B錯(cuò)誤；若α⊥β，γ⊥β，則l⊥m，故C正確；若l⊥m，則α與β相交，不一定是垂直，故D錯(cuò)誤.]6.ABC[如圖所示，取BC1的中點(diǎn)H，連接CH，則CH⊥BC1，因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，CH?平面BCC1B1，所以CH⊥AB，又AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1D1，則CH⊥平面ABC1D1，所以直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠C1BC＝π4，故A點(diǎn)C到平面ABC1D1的距離為CH＝22則VC?ABC1D1＝13AB·BC1·CH＝易證BC1∥AD1，所以異面直線D1C和BC1所成的角為∠AD1C或其補(bǔ)角，連接AC，因?yàn)椤鰽CD1為等邊三角形，所以異面直線D1C和BC1所成的角為π3，故C連接DH，由BD＝DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD為二面角C－BC1－D的平面角，易求得DH＝62又CD＝1，CH＝22在△CDH中，由余弦定理可得cos∠CHD＝DH2+CH7.平行解析依題意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC，故l⊥平面ABC，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC?平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l(xiāng)∥m.8.π解析如圖，設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2＝1∠ABC即為“切面”所在平面與底面所成銳二面角的平面角，由題意得|AB|＝2a，|DE|＝|BC|＝2b，因?yàn)閏a＝32，c2＝a2所以a＝2b，則cos∠ABC＝|BC||AB|＝2b2a＝12，又∠9.(1)解因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，且PA⊥AB，PA?平面PAB，所以PA⊥平面ABCD，由題意得AB＝2CD＝2AD＝2BC＝2，則∠ABC＝60°，所以等腰梯形ABCD的高為32所以V四棱錐P－ABCD＝13S梯形ABCD·PA＝13×12×3×32(2)證明因?yàn)锽C＝1，AB＝2，∠ABC＝60°，由余弦定理得AC＝3，所以AB2＝AC2+BC2，所以∠ACB＝90°，AC⊥BC，又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，且AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.10.證明(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，連接A1G并延長，交BC于點(diǎn)D，連接AD，由G為△A1BC的重心，得D為BC的中點(diǎn).由AB＝AC，A1A＝A1A，∠A1AB＝∠A1AC，得△A1AB≌△A1AC，則A1B＝A1C，因此AD⊥BC，A1D⊥BC，又AD∩A1D＝D，AD，A1D?平面A1AD，于是BC⊥平面A1AD，而A1A?平面A1AD，則BC⊥A1A，又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC.(2)由A1A＝AB＝2，∠A1AB＝60°，得△A1AB為正三角形，同理△A1AC也為正三角形，則A1B＝A1C＝BC＝2，從而三棱錐A－A1BC的所有棱長均為2，該四面體為正四面體，由G為△A1BC的重心，得AG⊥平面A1BC，在菱形ACC1A1中，AC1過A1C的中點(diǎn)，即直線AC1與平面A1BC的交點(diǎn)為A1C的中點(diǎn)，因此G不在直線AC1上，又C1P⊥平面A1BC，所以AG∥C1P.11.B[方法一分別取BC，B1C1的中點(diǎn)D，D1，則AD＝33，A1D1＝3，可知S△ABC＝12×6×33＝93S△A1B1設(shè)正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的高為h，則V三棱臺(tái)ABC?A1B1C解得h＝43如圖，分別過A1，D1作底面的垂線，垂足為M，N，設(shè)AM＝x，則AA1＝A＝x2DN＝AD－AM－MN＝23－x，可得DD1＝D＝(23結(jié)合等腰梯形BCC1B1可得BB12＝6?2即x2+163＝(23－x)2+163解得x＝43所以A1A與平面ABC所成角的正切值為tan∠A1AD＝A1方法二將正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P－ABC，則A1A與平面ABC所成的角即為PA與平面ABC所成的角，因?yàn)镻A則V三棱錐P?可知V三棱臺(tái)ABC?A1B1C1＝2627V三棱錐P－設(shè)正三棱錐P－ABC的高為d，則V三棱錐P－ABC＝13d×12×6×6×32＝18，解得d取△ABC的中心為O，則PO⊥底面ABC，且AO＝23，所以PA與平面ABC所成角的正切值tan∠PAO＝POAO＝1.12.4+25解析如圖，分別取A1D1，B1C1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，EF，CF，因?yàn)镃D⊥平面BCC1B1，BM?平面BCC1B1，所以BM⊥CD.在Rt△BCM，Rt△