§6.3等比數(shù)列(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·渭南模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+12=anan+2，若a2=1，a8=9，則A.-3 B.±3 C.3 D.52.(2024·西安模擬)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1+a4+a7=2，a2+a5+a8=4，則S9等于()A.12 B.14 C.16 D.183.某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個(gè)熱氣球，在氣球上寫著“九年耕耘，碩果累累”8個(gè)大字，已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的23A.3分鐘 B.4分鐘C.5分鐘 D.6分鐘4.(2025·綿陽模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，a2=3，數(shù)列{anan+1}是公比為2的等比數(shù)列，則S9等于()A.76 B.108 C.512 D.19683二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.(2024·泰安模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a2>1，其前n項(xiàng)積為Tn，且T20=T10，則下列結(jié)論正確的是()A.a15a16=1B.{an}是遞減數(shù)列C.當(dāng)Tn取得最大值時(shí)，n=29D.當(dāng)Tn取得最大值時(shí)，n=156.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，a2=2，an+1=4an-3an-1，則下列說法正確的是()A.數(shù)列{an+1-an}為等比數(shù)列B.數(shù)列{an+1-3an}為等差數(shù)列C.an=3n-1+1D.Sn=3n?1三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·南陽模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S6S3=9，3a3+4=a5，則a6=8.(2024·揚(yáng)州模擬)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，若S30=7S10，S10+S30=80，則S20=.

四、解答題(共28分)9.(13分)(2024·北京模擬)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a2=9，S3=39.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(6分)(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn+1=2log3an，求數(shù)列{abn}的前n項(xiàng)和T10.(15分)(2025·池州模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知Snn=an+1?n2(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(7分)(2)令bn=21?an，求b1b2-b2b3+…+(-1)n+1bnb每小題5分，共10分11.(2025·昆明模擬)第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作Rt△AOB，OA=1，∠AOB=30°，再依次作相似三角形△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一個(gè)三角形的斜邊OM與OA第一次重疊為止，則所作的所有三角形的面積和為()A.32233C.3223312.在等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=-114，a3=-14，則1a1+1a2+

答案精析1.B[an＋12＝ana又a2＝1，a8＝9，故數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則a52＝a2a8＝9，故a52.B[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，可得a＝q＝2，則a3＋a6＋a9＝q(a2＋a5＋a8)＝8，所以S9＝2＋4＋8＝14.]3.B[設(shè)an表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，由已知an＝23an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝30所以前n分鐘熱氣球上升的總高度Sn＝30＝901?2顯然數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列，又S3＝90×1?≈63.3<70，S4＝90×1?23所以該氣球至少要經(jīng)過4分鐘才能上升到70m高度.]4.A[因?yàn)閿?shù)列{anan＋1}是公比為2的等比數(shù)列，則有an＋2an＝an＋1an則數(shù)列{a2n－1}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，{a2n}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)＝1×(1?5.ABD[由T20＝T10，得T20T10＝a11a12…a19a20＝(a15a16)5＝1，a15a16＝1，故A正確；又a1a30＝a2a29＝a15a16＝1，由a2>1，得0<a29<1，所以等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，故B正確；可知a15>1>a16>0，則當(dāng)Tn取得最大值時(shí)，6.ABD[∵an＋1＝4an－3an－1，∴a＝3an∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故A正確；又(an＋1－3an)－(an－3an－1)＝4an－3an－1－3an－an＋3an－1＝0，∴數(shù)列{an＋1－3an}為常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，故B正確；∴an＋1－an＝1×3n－1，且an＋1－3an＝a2－3a1＝－1，解得an＝3n?1＋1∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝30＋12＋＝12(30＋31＋…＋3n－1)＋＝12×＝3n?14＋n7.32解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則S6S3＝1?q61?又因?yàn)?a3＋4＝a5，得12a1＋4＝16a1，解得a1＝1，所以a6＝a1q5＝32.8.30解析由題意數(shù)列{an}的公比q≠－1，S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，若S30＝7S10，S10＋S30＝80，則S10＝10，S30＝70，所以(S20?10)2＝10即S202－10S20解得S20＝30或S20＝－20(舍去).9.解(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，根據(jù)題意可得a解得a1＝3,因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以a所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n.(2)依題意，bn＋1＝2log33n＝2n，所以bn＝2n－1，所以abn＝a2n－1＝32n所以Tn＝31＋33＋35＋…＋32n－1＝3(1?910.解(1)∵Snn＝an＋∴2Sn＝2nan＋n(1－n)，∴當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝2(n－1)an－1＋(n－1)(2－n)，則2(Sn－Sn－1)＝2nan－2(n－1)an－1＋2(1－n)，化簡得an－an－1＝1(n≥2)，又∵a1＝2，∴{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴an＝n＋1，∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1.(2)由(1)知bn＝21?an＝2－n∴(－1)n＋1bnbn＋1＝(－1)n＋1·12n·12n＋1＝(－1)∴b1b2－b2b3＋…＋(－1)n＋1bnbn＋1＝123－125＋127－1＝11011.D[因?yàn)?60°30°＝12設(shè)第n(n∈N*，1≤n