§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.若函數(shù)y=loga(x-1)是(1，+∞)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，+∞) B.(0，1)C.(-∞，1) D.(-1，1)2.已知f(x)=2x+x，則“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)f(x)=(a?2)x?1，x≤1，logaxA.(1，2) B.(2，3)C.(2，3] D.(2，+∞)4.函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意的實數(shù)x1，x2(x1≠x2)，滿足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)是減函數(shù)B.f(-5)>f(0)>f(1)C.f(0)=0D.不等式f(2x-1)<f(3-x)的解集為?二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.下列函數(shù)中滿足“對任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有f(x1A.f(x)=21-xB.f(x)=-2C.f(x)=xD.f(x)=lnx+ex6.(2024·哈爾濱模擬)以下結(jié)論正確的是()A.函數(shù)y=sinx+4sinB.函數(shù)y=x?22x+1(C.函數(shù)y=2x+1?x的值域為D.函數(shù)y=12三、填空題(每小題5分，共10分)7.若函數(shù)f(x)=|x-a+1|在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為.

8.柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法國數(shù)學(xué)家.我們把函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y)稱為柯西方程，滿足該方程的函數(shù)f(x)稱為“加性函數(shù)”.請寫出一個在R上單調(diào)遞減的加性函數(shù).

四、解答題(共28分)9.(13分)已知函數(shù)f(x)=x|x-4|.(1)把f(x)寫成分段函數(shù)，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；(6分)(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.(7分)10.(14分)(2025·重慶聯(lián)考)已知f(x)=2x?12x+1(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用定義證明；(7分)(2)解關(guān)于t的不等式f(t2-3)+f(2t)<0.(7分)每小題5分，共10分11.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，對任意x1，x2且x1≠x2，都有f(A.y=f(x)+x是增函數(shù)B.y=f(x)+x是減函數(shù)C.y=f(x)是增函數(shù)D.y=f(x)是減函數(shù)12.(多選)(2025·八省聯(lián)考)在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱為激勵函數(shù).雙曲正切函數(shù)是一種激勵函數(shù).定義雙曲正弦函數(shù)sinhx＝ex?e?x2，雙曲余弦函數(shù)coshx＝eA.雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B.雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C.雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)D.tanh(x＋y)＝tanh

答案精析1.B[顯然函數(shù)u＝x－1在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，而函數(shù)y＝loga(x－1)是(1，＋∞)上的減函數(shù)，因此對數(shù)函數(shù)y＝logau在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則0<a<1，所以實數(shù)a的取值范圍是(0，1).]2.C[因為函數(shù)y＝2x，y＝x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝2x＋x在R上為增函數(shù)，則“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”，“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”，故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要條件.]3.C[函數(shù)f(x)＝(a?2)x由對任意x1≠x2，都有f(x得函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，于是a?2>0,a>1,a?3≤所以實數(shù)a的取值范圍為(2，3].]4.D[由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，因此f(x)是增函數(shù)，A錯誤；由－5<0<1，得f(－5)<f(0)<f(1)，B錯誤；不一定有f(0)＝0，如f(x)＝2x在R上為增函數(shù)，f(0)＝1，C錯誤；由f(2x－1)<f(3－x)，得2x－1<3－x，解得x<43，D正確.5.BCD[函數(shù)f(x)滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有f(x1)?f(x2)x1?x函數(shù)f(x)＝21－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A不符合題意；函數(shù)f(x)＝－2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋4的定義域為R，且函數(shù)y＝x2＋4x＋4在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝x2＋4x＋4函數(shù)y＝lnx與y＝ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝lnx＋ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故D符合題意.]6.BCD[對于A，當(dāng)sinx＝－1時，y＝－5，A錯誤；對于B，y＝12·＝121?52x＋1，則y＝x－13≤y<12，對于C，y＝2(x－1)＋1?x＋2＝－2(1?x)2＋＝－21?x而1?x≥0，當(dāng)1?x＝14時，?∞，17對于D，2x＋1>1，則0<12x＋1<1，因此函數(shù)y＝12x＋1的值域為(0，7.a≤2解析由題設(shè)f(x)＝x顯然f(x)在[a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a－1≤1，即a≤2.8.f(x)＝－x(答案不唯一)解析設(shè)f(x)＝－x，在R上單調(diào)遞減.f(x＋y)＝－x－y，f(x)＝－x，f(y)＝－y，滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函數(shù)f(x)＝－x是在R上單調(diào)遞減的加性函數(shù).9.解(1)f(x)＝x|x－4|＝x函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.(2)由(1)中函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2，4).10.解(1)f(x)＝2x?12x＋1＝1－證明：在R上任取x1，x2且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝1?2由x1<x2可知0<2x1<所以2x1－2x2x2所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).即f(x)在R上是增函數(shù).(2)易知f(－x)＝2?x?12?所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由(1)知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0，解得－3<t<1，即關(guān)于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集為{t|－3<t<1}.11.A[不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，∵f(x1)?f(x2)x1?x2>－1?f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)?f(x1令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函數(shù).]12.ACD[對于A，令f(x)＝sinhx＝ex則f'(x)＝ex＋故雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確；對于B，令g(x)＝coshx＝ex則g'(x)＝ex由A知，g'(x)為增函數(shù)，又g'(0)＝e0?故當(dāng)x∈(－∞，0)時，g'(x)<0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，g'(x)>0，故g(x)在(－∞，0)