§4.2同角三角函數基本關系式及誘導公式課標要求1.理解同角三角函數的基本關系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π1.同角三角函數的基本關系(1)平方關系：.

(2)商數關系：.

2.三角函數的誘導公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-π2+正弦sinα余弦cosα正切tanα-tanα口訣奇變偶不變，符號看象限1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角.()(2)若α，β∈R，則sin2α＋cos2β＝1.()(3)若α∈R，則tanα＝sinαcosα恒成立.(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，則sinα＝13.(2.(多選)已知x∈R，則下列等式恒成立的是()A.sin(－x)＝sinx B.sin3π2?C.cosπ2＋x＝－sinx D.cos(x－π3.已知sinα－cosα＝54，則sin2αA.－916 B.－C.716 D.4.已知α是第三象限角，sinα＝－35，則tanα＝.1.熟記同角三角函數的基本關系式的幾種變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαα≠2.謹防兩個易誤點(1)在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.(2)“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化，應用時要注意題型一同角三角函數基本關系式例1(1)(2025·昭通模擬)若sinθ＝－2cosθ，則sinθ(sinθ＋cosθ)等于()A.－65 B.－2C.25 D.(2)(2024·沈陽模擬)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝15，則tanαA.－34 B.3C.－43 D.思維升華(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanαα≠(2)形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα，asin2α＋b(3)對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.跟蹤訓練1(1)(2024·廣州模擬)已知sinα－cosα＝22，則tanα＋1A.－14 C.14 (2)(2023·全國乙卷)若θ∈0，π2，tanθ＝12，則sinθ－cosθ＝題型二誘導公式例2(1)若sin(π＋α)＝13，則sin(π－α)＋cosπA.－23 B.C.223 (2)(2024·滄州模擬)已知cosπ4＋x＝A.－13 B.C.223 思維升華誘導公式的兩個應用(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.跟蹤訓練2(1)(2024·鎮江模擬)已知α為銳角，且cosα＋π6＝A.35 B.－4C.45 D.±(2)tan(π?α)cos(2π?α)sin題型三同角三角函數基本關系式和誘導公式的綜合應用例3(1)(2024·商洛模擬)已知sin(5π＋α)＝5sin9π2＋α，則sin2α＋sinA.－926 B.11C.1526 D.(2)已知α∈0，π2，β∈π2，π，且sinπ2＋α＝3cosβ?π2，3sin(π＋思維升華(1)利用同角三角函數基本關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形.(2)注意角的范圍對三角函數值符號的影響.跟蹤訓練3(1)若sin(3π＋α)＝12，α∈π，3π2，則tan(A.－12 B.－C.－3 D.－3(2)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則A.255 B.C.31010

答案精析落實主干知識1.(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα2.－sinα－sinαsinαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.CD[sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sin3π2?x＝－cosxcosπ2＋x＝－sinxcos(x－π)＝－cosx，故D成立.]3.A[∵(sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝2516，∴sin2α＝－9164.3解析由題意得cosα＝－45，故tanα＝sin探究核心題型例1(1)C[因為sinθ＝－2cosθ，所以tanθ＝－2，所以sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin＝tan2(2)C[方法一sinα＋cosα＝15則(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝125即sinαcosα＝－1225又因為α∈(0，π)，故sinα>0，cosα<0，α∈π2故(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝4925因為α∈π2則sinα－cosα＝75結合sinα＋cosα＝15sinα＝45，cosα＝－3則tanα＝－43方法二sinα＋cosα＝15?cosα＝15－sin代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋15?sin化簡得25sin2α－5sinα－12＝0，解得sinα＝45所以cosα＝15－sinα＝－3所以tanα＝sinαcosα＝－跟蹤訓練1(1)D[sinα－cosα＝22則(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝12解得sinαcosα＝14tanα＋1＝si＝1sinα(2)－5解析因為θ∈0，π2，則sinθ>0，cosθ又因為tanθ＝sinθ則cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－5所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－55例2(1)A[sin(π＋α)＝－sinα＝13，sinα＝－1sin(π－α)＋cosπ2?α＝sinα＋sinα＝2sinα＝－(2)A[因為cosπ4所以sin5π＝sinπ＋＝－sinπ＝－sinπ＝－cosπ4＋x＝－跟蹤訓練2(1)C[因為α為銳角，且cosα＋所以α＋π6所以sinα＝1?co＝1?3所以sin5π＝sinπ?＝sinα＋π(2)－1解析原式＝?tan＝tanα·cos2＝－1.例3(1)C[因為sin(5π＋α)＝5sin9π2所以－sinα＝5cosα，可得tanα＝sinαcos所以原式＝sin2＝2sin＝2×(?5)＋(?5(2)2π解析由題意得cos由①2＋3×②2得，cos2α＋9sin2α＝3，又cos2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝14又α∈0，π2，所以sinα＝則α＝π6將α＝π6代入①，得sinβ＝1因為β∈π2所以β＝5π6，則β－α＝2π跟蹤訓練3(1)D[因為sin(3π＋α)＝12所以sinα＝－12，又α∈π，所以cosα＝－1?sin2α＝－32，tan所以tan(2025π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝－33.(2)C[由已知得3sin消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化簡得sin2α＝910又α為銳角，∴sinα>0，則sinα＝310

4.2同角三角函數基本關系式及誘導公式課標要求1.理解同角三角函數的基本關系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanαα≠π2+1.同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2α+cos2α=1.(2)商數關系：sinαcosα=tan2.三角函數的誘導公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-π2+正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口訣奇變偶不變，符號看象限1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)sin(π+α)=-sinα成立的條件是α為銳角.(×)(2)若α，β∈R，則sin2α+cos2β=1.(×)(3)若α∈R，則tanα=sinαcosα恒成立.((4)若sin(kπ-α)=13(k∈Z)，則sinα=13.(×2.(多選)已知x∈R，則下列等式恒成立的是()A.sin(-x)=sinxB.sin3π2?C.cosπ2+D.cos(x-π)=-cosx答案CD解析sin(-x)=-sinx，故A不成立；sin3π2?x=-cosxcosπ2+x=-sinxcos(x-π)=-cosx，故D成立.3.已知sinα-cosα=54，則sin2α等于(A.-916 B.-716 C.716 答案A解析∵(sinα-cosα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-sin2α=2516，∴sin2α=-94.已知α是第三象限角，sinα=-35，則tanα=答案3解析由題意得cosα=-45，故tanα=sinαcos1.熟記同角三角函數的基本關系式的幾種變形(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα)；cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα)；(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.(2)sinα=tanαcosαα≠2.謹防兩個易誤點(1)在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.(2)“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化，應用時要注意題型一同角三角函數基本關系式例1(1)(2025·昭通模擬)若sinθ=-2cosθ，則sinθ(sinθ+cosθ)等于()A.-65 B.-25 C.25答案C解析因為sinθ=-2cosθ，所以tanθ=-2，所以sinθ(sinθ+cosθ)=sinθ(sinθ+cosθ)si(2)(2024·沈陽模擬)已知α∈(0，π)，且sinα+cosα=15，則tanα等于(A.-34 B.34 C.-43 答案C解析方法一sinα+cosα=15則(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=125即sinαcosα=-1225又因為α∈(0，π)，故sinα>0，cosα<0，α∈π2故(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925因為α∈π2，π，則sinα-cosα=結合sinα+cosα=15sinα=45，cosα=-3則tanα=-43方法二sinα+cosα=15?cosα=15-sin代入sin2α+cos2α=1，得sin2α+15?sin化簡得25sin2α-5sinα-12=0，解得sinα=45所以cosα=15-sinα=-3所以tanα=sinαcosα思維升華(1)利用sin2α+cos2α=1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα=tanαα≠(2)形如asinα+bcosαcsinα+dcosα，asin2α+(3)對于sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα，可以知一求二.跟蹤訓練1(1)(2024·廣州模擬)已知sinα-cosα=22，則tanα+1tanα的值為A.-14 B.-4 C.14 D答案D解析sinα-cosα=22則(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=12解得sinαcosα=14tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα(2)(2023·全國乙卷)若θ∈0，π2，tanθ=12，則sinθ-cosθ答案-5解析因為θ∈0，π2，則sinθ>0，cosθ又因為tanθ=sinθcosθ=12，則cosθ且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sinθ=55或sinθ=-5所以sinθ-cosθ=sinθ-2sinθ=-sinθ=-55題型二誘導公式例2(1)若sin(π+α)=13，則sin(π-α)+cosπ2?αA.-23 B.23 C.223 答案A解析sin(π+α)=-sinα=13，sinα=-13，sin(π-α)+cosπ2?α=sinα+sinα=2sin(2)(2024·滄州模擬)已知cosπ4+x=13，則sin5πA.-13 B.13 C.223 答案A解析因為cosπ4+x所以sin5π4?=-sinπ=-sinπ=-cosπ4+x思維升華誘導公式的兩個應用(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.跟蹤訓練2(1)(2024·鎮江模擬)已知α為銳角，且cosα+π6=35，則sin5πA.35 B.-45 C.45答案C解析因為α為銳角，且cosα+π6=35，所以所以sinα+π=1?352所以sin5π6?=sinα+π6(2)tan(π?α)cos(2π?α答案-1解析原式=?tanα·cosα·(?cosα)cos(π+α題型三同角三角函數基本關系式和誘導公式的綜合應用例3(1)(2024·商洛模擬)已知sin(5π+α)=5sin9π2+α，則sin2α+sin2α等于A.-926 B.1126 C.1526 答案C解析因為sin(5π+α)=5sin9π2所以-sinα=5cosα，可得tanα=sinαcos所以原式=sin2α+sin2=2×(?5)+(?5)(2)已知α∈0，π2，β∈π2，π，且sinπ2+α=3cosβ?π2，答案2π解析由題意得cos由①2+3×②2得，cos2α+9sin2α=3，又cos2α+sin2α=1，所以sin2α=14又α∈0，π2，所以sinα=12，則α將α=π6代入①，得sinβ=1因為β∈π2，π，所以β=5π6，則β-α思維升華(1)利用同角三角函數基本關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形.(2)注意角的范圍對三角函數值符號的影響.跟蹤訓練3(1)若sin(3π+α)=12，α∈π，3π2，則tan(2025π-α)等于A.-12 B.-32 C.-3 D.答案D解析因為sin(3π+α)=12所以sinα=-12，又α∈π，所以cosα=-1?sin2α=-32，tan所以tan(2025π-α)=tan(π-α)=-tanα=-33(2)已知α為銳角，且2tan(π-α)-3cosπ2+β+5=0，tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0，則sinα的值是A.255 B.277 C.3答案C解析由已知得3sin消去sinβ，得tanα=3，∴sinα=3cosα，代入sin2α+cos2α=1，化簡得sin2α=910又α為銳角，∴sinα>0，則sinα=310課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2024·成都模擬)若角α的終邊位于第二象限，且sinα=12，則sinπ2+αA.12 B.-12 C.32 D答案D解析∵sinα=12，且角α∴cosα=-1?sin2α=-1?則sinπ2+α=cosα2.以下四個數中，與sin2026°的值最接近的是()A.-12 B.12 C.-22答案C解析sin2026°=sin(360°×5+226°)=sin226°=sin(180°+46°)=-sin46°，∵sin45°=22，∴sin2026°的值最接近-23.若tanθ=23cosθ，則sinθ等于(A.35 B.12 C.55 D答案B解析因為tanθ=sinθcosθ=2所以sinθ=23cos2θ=23(1-sin2所以2sin2θ+3sinθ-2=0，即(2sinθ-1)(sinθ+2)=0，解得sinθ=12或sinθ=-2(舍去)4.(2025·信陽模擬)若cosα?π2sin2α=32，則sin4αA.3?223 BC.79 D.答案D解析由cosα?π2sin2α=得cosα=33，則cos2α=1sin2α=1-cos2α=23故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2=1-2×23×13=二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.在△ABC中，下列等式一定成立的是()A.sinA+BB.sin(2A+2B)=-cos2CC.tan(A+B)=-tanCD.sin(A+B)=sinC答案CD解析sinA+B2=sinπ2?sin(2A+2B)=sin[2(π-C)]=sin(2π-2C)=-sin2C，故B錯誤；tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC，故C正確；sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，故D正確.6.(2024·呂梁模擬)已知sinα-cosα=55，0≤α≤π，則下列選項中正確的有(A.sinαcosα=25 B.sinα+cosα=C.tanα=12 D.cos2α=-答案ABD解析由sinα-cosα=55得(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=15所以sinαcosα=25，故A因為sinαcosα=25，α∈[0，π所以sinα>0，cosα>0，又因為(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=95所以sinα+cosα=355，故由sinα-cosα=55，sinα+cosα=3得sinα=255，cosα=所以tanα=2，故C錯誤；cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=?55×355=-3三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知sinα+π3=1213，則cos答案12解析因為sinα+π3所以cosπ6?=sinα+π38.(2024·廣州模擬)若tan(2024π-α)=-2，則sin2α+sin2αtanα答案6解析因為tan(2024π-α)=-2，所以tanα=2，sin2α+sin2αtanα=sin2α+2sinαcosαsinαcosα=sin2α四、解答題(共28分)9.(13分)已知f(α)=sin(α(1)化簡f(α)；(4分)(2)若α=-31π3，求f(α)的值；(4分(3)若cos?α?π2=15，α∈π，3π2，求f(解(1)f(α)=sin(=?sinα·cos(2)若