§7.5空間直線、平面的垂直課標要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用.1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示如果一條直線與一個平面內的垂直，那么該直線與此平面垂直

垂直于同一個平面的兩條直線平行?a∥2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是.(2)范圍：.3.二面角(1)定義：從一條直線出發的所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面垂直

?α⊥兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的，那么這條直線與另一個平面垂直

?1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()2.(2024·惠州模擬)已知l，n是兩條不同的直線，α，β是不重合的兩個平面，則下列命題中正確的是()A.若α∥β，l?α，n?β，則l∥nB.若α⊥β，l?α，則l⊥βC.若l∥α，α⊥β，則l⊥βD.若l⊥α，l∥β，則α⊥β3.(多選)如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則下列說法正確的是()A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱錐P－ABC的四個面都是直角三角形4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上，若直線D1E與平面ABCD所成的角為π6，則AE＝1.靈活應用兩個重要結論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).2.掌握三種垂直關系的轉化線線垂直線面垂直面面垂直題型一直線與平面垂直的判定與性質例1(2024·昆明模擬)如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB＝4，AD＝2，E為DC的中點，將△ADE沿AE進行翻折，使點D與點P重合，且PB＝23.(1)證明：PA⊥BE；(2)求四棱錐P－ABCE的體積.思維升華證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質.(2)證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.跟蹤訓練1如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點，證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.題型二平面與平面垂直的判定與性質例2(2023·全國甲卷改編)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設AC＝1，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高.思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性質的應用①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.跟蹤訓練2(2024·鄭州模擬)如圖，在三棱臺ABC－A1B1C1中，AC⊥AB，平面ABB1A1⊥平面ABC，AA1＝A1B1＝BB1＝12AB＝1.證明：平面BA1C⊥平面ACC1A1題型三垂直關系的應用例3(多選)把邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折起，使二面角B－AC－D為直二面角，則下列結論正確的是()A.AC⊥BDB.AB⊥CDC.直線BD與平面ABC所成角的大小為πD.二面角A－BD－C的余弦值為－1cosθ＝cosθ1·cosθ2的應用已知AO是平面α的斜線，如圖，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，則直線AB是斜線AO在平面α內的射影，設AC是α內的任一過點A的直線，且BC⊥AC，C為垂足，又設AO與直線AB所成的角為θ1，AB與AC所成的角是θ2，AO與AC所成的角為θ，則cosθ＝cosθ1·cosθ2.典例已知PA是平面α的斜線，∠BAC在平面α內，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，則PA與平面α所成的角為.思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.(2)求線面角的關鍵是找到平面的垂線，有了垂線即可有射影，斜線與它在平面內的射影所成的角即為線面角.(3)求二面角的關鍵是找其平面角，要注意二面角的范圍是[0，π].跟蹤訓練3(多選)(2024·漳州模擬)如圖，三棱錐O－ABC中，OA＝OC＝OB＝1，OA⊥平面OBC，∠BOC＝60°，則下列結論正確的是()A.直線AB與平面OBC所成的角為45°B.直線AB與平面OAC所成的角的正弦值為6C.OC⊥ABD.二面角O－BC－A的正切值為2

答案精析落實主干知識1.(2)兩條相交直線m?αn?αm∩n＝Pl⊥ml⊥na⊥αb⊥α2.(1)射影90°0°(2)03.(1)兩個半平面(2)垂直于棱l(3)[0，π]4.(2)垂線a?αa⊥β交線α⊥βα∩β＝al⊥al?β自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.D[由l，n是兩條不同的直線，α，β是不重合的兩個平面知，在A中，若α∥β，l?α，n?β，則l與n平行或異面，故A錯誤；在B中，若α⊥β，l?α，則l與β相交、平行或l?β，故B錯誤；在C中，若l∥α，α⊥β，則l與β相交、平行或l?β，故C錯誤；在D中，若l⊥α，l∥β，則α⊥β，故D正確.]3.ABD[因為PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則PA⊥平面ABC，故A正確；而BC?平面ABC，則PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC，故B正確；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正確；假設AC⊥平面PBC，因為PC?平面PBC，則AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，故C錯誤.]4.2解析根據長方體性質知DD1⊥平面ABCD，故∠DED1為直線D1E與平面ABCD所成的角，所以∠DED1＝π6則tan∠DED1＝DD可得DE＝3，所以在Rt△AED中，AE＝D＝2<AB＝2，符合題設.探究核心題型例1(1)證明由題知AE＝BE＝22，所以AB2＝AE2+BE2，所以△ABE為直角三角形，BE⊥AE，因為PE＝DE＝2，BE＝22，PB＝23，所以PB2＝PE2+BE2，所以△PBE為直角三角形，BE⊥PE，因為AE∩PE＝E，AE，PE?平面PAE，所以BE⊥平面PAE，因為PA?平面PAE，所以PA⊥BE.(2)解如圖，取AE的中點O，連接PO，因為PA＝PE＝2，O為AE的中點，所以PO⊥AE，且PO＝2，又由(1)知BE⊥平面PAE，且PO?平面PAE，所以BE⊥PO，又AE∩BE＝E，AE，BE?平面ABCE，所以PO⊥平面ABCE，所以V四棱錐P－ABCE＝13S四邊形ABCE·PO＝13×12×(2+4)×2×2跟蹤訓練1證明(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，∴PD⊥平面ABE.例2(1)證明因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因為∠ACB＝90°，即AC⊥BC，因為A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因為BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點A1作A1O⊥CC1于點O.因為平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為A1O.因為A1C⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以A1C⊥AC，又A1C1∥AC，所以A1C⊥A1C1，又AC＝1，AA1＝2，所以A1C1＝1，CC1＝2，所以A1C＝CC所以A1O＝A1所以四棱錐A1－BB1C1C的高為32跟蹤訓練2證明在等腰梯形ABB1A1中，∵AA1＝A1B1＝BB1＝12AB＝1可得BA1＝3，在△BAA1中，AA12+BA12∴BA1⊥AA1，又∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AC⊥AB，且AC?平面ACC1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，又BA1?平面ABB1A1，∴BA1⊥AC.又∵AA1∩AC＝A，且AC，AA1?平面ACC1A1，∴BA1⊥平面ACC1A1，又∵BA1?平面BA1C，∴平面BA1C⊥平面ACC1A1.例3ACD[如圖所示，記E為AC的中點，連接BE，DE，所以AC⊥BE，AC⊥DE，又BE∩DE＝E，BE，DE?平面BED，所以AC⊥平面BED，又BD?平面BED，所以AC⊥BD，A正確；依題意，∠BED是二面角B－AC－D的平面角，所以∠BED＝π2，所以DE⊥BE，又DE⊥AC，BE∩AC＝E，BE，AC?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以DE⊥AB，因為CD∩DE＝D，所以AB與CD不垂直，B直線BD和平面ABC所成的角即為∠EBD，因為tan∠EBD＝DEBE＝1，故∠EBD＝π4，由于BC＝CD＝BA＝AD，取BD的中點G，連接AG，CG，則有CG⊥BD，AG⊥BD，故∠CGA為二面角A－BD－C的平面角，則cos∠CGA＝A＝32+32?42×微拓展典例45°解析如圖，作P在α內的正射影O，則O在∠BAC的平分線上，∠PAO為PA與平面α所成的角，所以cos∠PAC＝cos∠PAO·cos∠OAC，所以cos60°＝cos∠PAO·cos45°，所以cos∠PAO＝22故∠PAO＝45°，所以PA與平面α所成的角為45°.跟蹤訓練3ABD[因為OA⊥平面OBC，故∠ABO為直線AB與平面OBC所成的角，又OA＝OC＝OB＝1，所以tan∠ABO＝1，∠ABO＝45°，故A正確；取OC的中點E，連接AE，BE，因為△OBC為等邊三角形，所以BE⊥OC，因為OA⊥平面OBC，BE?平面OBC，所以BE⊥OA，又OA∩OC＝O，OA，OC?平面OAC，所以BE⊥平面OAC，所以∠BAE為直線AB與平面OAC所成的角，sin∠BAE＝BEAB＝3若OC⊥AB，又OC⊥OA，且AB∩OA＝A，AB，OA?平面OAB，則OC⊥平面OAB，因為OB?平面OAB，則OC⊥OB，與∠BOC＝60°矛盾，故C錯誤；取BC的中點D，連接OD，AD，因為AB＝AC＝2，OB＝OC＝1，所以AD⊥BC，OD⊥BC，故∠ODA為二面角O－BC－A的平面角，則tan∠ODA＝OAOD＝233

7.5空間直線、平面的垂直課標要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用.1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直m?l⊥α垂直于同一個平面的兩條直線平行a?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0°.(2)范圍：0，3.二面角(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直a?α⊥β兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直α?l⊥α1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內的兩條直線都垂直，則l⊥α.(×)(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(√)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.(×)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(×)2.(2024·惠州模擬)已知l，n是兩條不同的直線，α，β是不重合的兩個平面，則下列命題中正確的是()A.若α∥β，l?α，n?β，則l∥nB.若α⊥β，l?α，則l⊥βC.若l∥α，α⊥β，則l⊥βD.若l⊥α，l∥β，則α⊥β答案D解析由l，n是兩條不同的直線，α，β是不重合的兩個平面知，在A中，若α∥β，l?α，n?β，則l與n平行或異面，故A錯誤；在B中，若α⊥β，l?α，則l與β相交、平行或l?β，故B錯誤；在C中，若l∥α，α⊥β，則l與β相交、平行或l?β，故C錯誤；在D中，若l⊥α，l∥β，則α⊥β，故D正確.3.(多選)如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則下列說法正確的是()A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形答案ABD解析因為PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則PA⊥平面ABC，故A正確；而BC?平面ABC，則PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC，故B正確；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正確；假設AC⊥平面PBC，因為PC?平面PBC，則AC⊥PC，即∠PCA=90°，而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾，故C錯誤.4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上，若直線D1E與平面ABCD所成的角為π6，則AE=.答案2解析根據長方體性質知DD1⊥平面ABCD，故∠DED1為直線D1E與平面ABCD所成的角，所以∠DED1=π6則tan∠DED1=DD1DE可得DE=3，所以在Rt△AED中，AE=DE2?AD2=1.靈活應用兩個重要結論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).2.掌握三種垂直關系的轉化線線垂直線面垂直面面垂直題型一直線與平面垂直的判定與性質例1(2024·昆明模擬)如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=2，E為DC的中點，將△ADE沿AE進行翻折，使點D與點P重合，且PB=23.(1)證明：PA⊥BE；(2)求四棱錐P-ABCE的體積.(1)證明由題知AE=BE=22，所以AB2=AE2+BE2，所以△ABE為直角三角形，BE⊥AE，因為PE=DE=2，BE=22，PB=23，所以PB2=PE2+BE2，所以△PBE為直角三角形，BE⊥PE，因為AE∩PE=E，AE，PE?平面PAE，所以BE⊥平面PAE，因為PA?平面PAE，所以PA⊥BE.(2)解如圖，取AE的中點O，連接PO，因為PA=PE=2，O為AE的中點，所以PO⊥AE，且PO=2，又由(1)知BE⊥平面PAE，且PO?平面PAE，所以BE⊥PO，又AE∩BE=E，AE，BE?平面ABCE，所以PO⊥平面ABCE，所以V四棱錐P-ABCE=13S四邊形ABCE·PO=13×12×(2+4)×2×2思維升華證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質.(2)證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.跟蹤訓練1如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點，證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，∴PD⊥平面ABE.題型二平面與平面垂直的判定與性質例2(2023·全國甲卷改編)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設AC=1，AA1=2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.(1)證明因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因為∠ACB=90°，即AC⊥BC，因為A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因為BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點A1作A1O⊥CC1于點O.因為平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1-BB1C1C的高為A1O.因為A1C⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以A1C⊥AC，又A1C1∥AC，所以A1C⊥A1C1，又AC=1，AA1=2，所以A1C1=1，CC1=2，所以A1C=CC12所以A1O=A1C·A1C所以四棱錐A1-BB1C1C的高為32思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性質的應用①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.跟蹤訓練2(2024·鄭州模擬)如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，平面ABB1A1⊥平面ABC，AA1=A1B1=BB1=12AB=1.證明：平面BA1C⊥平面ACC1A1證明在等腰梯形ABB1A1中，∵AA1=A1B1=BB1=12AB=1可得BA1=3，在△BAA1中，AA12+BA12∴BA1⊥AA1，又∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AC⊥AB，且AC?平面ACC1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，又BA1?平面ABB1A1，∴BA1⊥AC.又∵AA1∩AC=A，且AC，AA1?平面ACC1A1，∴BA1⊥平面ACC1A1，又∵BA1?平面BA1C，∴平面BA1C⊥平面ACC1A1.題型三垂直關系的應用例3(多選)把邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折起，使二面角B-AC-D為直二面角，則下列結論正確的是()A.AC⊥BDB.AB⊥CDC.直線BD與平面ABC所成角的大小為πD.二面角A-BD-C的余弦值為-1答案ACD解析如圖所示，記E為AC的中點，連接BE，DE，所以AC⊥BE，AC⊥DE，又BE∩DE=E，BE，DE?平面BED，所以AC⊥平面BED，又BD?平面BED，所以AC⊥BD，A正確；依題意，∠BED是二面角B-AC-D的平面角，所以∠BED=π2，所以DE⊥BE，又DE⊥AC，BE∩AC=E，BE，AC?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以DE⊥AB，因為CD∩DE=D，所以AB與CD不垂直，B直線BD和平面ABC所成的角即為∠EBD，因為tan∠EBD=DEBE=1，故∠EBD=π4，由于BC=CD=BA=AD，取BD的中點G，連接AG，CG，則有CG⊥BD，AG⊥BD，故∠CGA為二面角A-BD-C的平面角，則cos∠CGA=AG2+CG2?Acosθ=cosθ1·cosθ2的應用已知AO是平面α的斜線，如圖，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，則直線AB是斜線AO在平面α內的射影，設AC是α內的任一過點A的直線，且BC⊥AC，C為垂足，又設AO與直線AB所成的角為θ1，AB與AC所成的角是θ2，AO與AC所成的角為θ，則cosθ=cosθ1·cosθ2.典例已知PA是平面α的斜線，∠BAC在平面α內，且∠BAC=90°，又∠PAB=∠PAC=60°，則PA與平面α所成的角為.

答案45°解析如圖，作P在α內的正射影O，則O在∠BAC的平分線上，∠PAO為PA與平面α所成的角，所以cos∠PAC=cos∠PAO·cos∠OAC，所以cos60°=cos∠PAO·cos45°，所以cos∠PAO=22故∠PAO=45°，所以PA與平面α所成的角為45°.思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.(2)求線面角的關鍵是找到平面的垂線，有了垂線即可有射影，斜線與它在平面內的射影所成的角即為線面角.(3)求二面角的關鍵是找其平面角，要注意二面角的范圍是[0，π].跟蹤訓練3(多選)(2024·漳州模擬)如圖，三棱錐O-ABC中，OA=OC=OB=1，OA⊥平面OBC，∠BOC=60°，則下列結論正確的是()A.直線AB與平面OBC所成的角為45°B.直線AB與平面OAC所成的角的正弦值為6C.OC⊥ABD.二面角O-BC-A的正切值為2答案ABD解析因為OA⊥平面OBC，故∠ABO為直線AB與平面OBC所成的角，又OA=OC=OB=1，所以tan∠ABO=1，∠ABO=45°，故A正確；取OC的中點E，連接AE，BE，因為△OBC為等邊三角形，所以BE⊥OC，因為OA⊥平面OBC，BE?平面OBC，所以BE⊥OA，又OA∩OC=O，OA，OC?平面OAC，所以BE⊥平面OAC，所以∠BAE為直線AB與平面OAC所成的角，sin∠BAE=BEAB=322=6若OC⊥AB，又OC⊥OA，且AB∩OA=A，AB，OA?平面OAB，則OC⊥平面OAB，因為OB?平面OAB，則OC⊥OB，與∠BOC=60°矛盾，故C錯誤；取BC的中點D，連接OD，AD，因為AB=AC=2，OB=OC=1，所以AD⊥BC，OD⊥BC，故∠ODA為二面角O-BC-A的平面角，則tan∠ODA=OAOD=233，故D課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.(2025·邯鄲模擬)已知α，β是不重合的兩個平面，m，n是兩條直線，且α⊥β，m?α，n?β，則“m⊥n”是“m⊥β”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β，當m⊥n如圖所示時，顯然m與平面β不垂直，反之，當m⊥β時，又n?β，根據線面垂直的性質有m⊥n，所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分條件.2.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=3，點D是側棱BB1的中點，則直線C1D與平面ABC所成角的正弦值為()A.32 B.C.77 D.答案B解析∵BB1⊥平面A1B1C1，∴C1D與平面A1B1C1所成的角為∠DC1B1.又B1C1=1，B1D=32，可得C1D=72，sin∠DC1B1=B1DC1D=217，∵平面A1B1C1∥平面ABC，∴C1D與平面ABC所成角的正弦值為sin3.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，則C1在平面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1?平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因為AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.4.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結論中不正確的是()A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA答案D解析由題意知SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，故SD⊥AC，又四棱錐S-ABCD的底面為正方形，即AC⊥BD，而SD∩BD=D，SD，BD?平面SBD，故AC⊥平面SBD，SB?平面SBD，故AC⊥SB，A正確；SD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，故SD⊥AD，又四棱錐S-ABCD的底面為正方形，即AD⊥CD，而SD∩CD=D，SD，CD?平面SCD，故AD⊥平面SCD，SC?平面SCD，故AD⊥SC，B正確；由于AC⊥平面SBD，AC?平面SAC，故平面SAC⊥平面SBD，C正確；SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，故SD⊥BD，若BD⊥SA，而SD∩SA=S，SD，SA?平面SAD，故BD⊥平面SAD，AD?平面SAD，故BD⊥AD，即∠BDA=90°，這與正方形ABCD中∠BDA=45°矛盾，D錯誤.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·廣州模擬)已知α，β，γ是三個不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，則下列命題不正確的是()A.若α⊥γ，β⊥γ，則l∥mB.若l∥m，則α∥βC.若α⊥β，γ⊥β，則l⊥mD.若l⊥m，則α⊥β答案ABD解析若α⊥γ，β⊥γ，則l∥m或l與m相交，故A錯誤；若l∥m，則α∥β或α與β相交，故B錯誤；若α⊥β，γ⊥β，則l⊥m，故C正確；若l⊥m，則α與β相交，不一定是垂直，故D錯誤.6.(2024·安徽省皖江名校聯盟聯考)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個命題中正確的是()A.直線BC與平面ABC1D1所成的角為πB.四棱錐C-ABC1D1的體積為1C.異面直線D1C和BC1所成的角為πD.二面角C-BC1-D的余弦值為-3答案ABC解析如圖所示，取BC1的中點H，連接CH，則CH⊥BC1，因為AB⊥平面BCC1B1，CH?平面BCC1B1，所以CH⊥AB，又AB∩BC1=B，AB，BC1?平面ABC1D1，則CH⊥平面ABC1D1，所以直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠C1BC=π4，故A點C到平面ABC1D1的距離為CH=22則VC?ABC1D1=13AB·BC1·CH=13×1易證BC1∥AD1，所以異面直線D1C和BC1所成的角為∠AD1C或其補角，連接AC，因為△ACD1為等邊三角形，所以異面直線D1C和BC1所成的角為π3，故C連接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD為二面角C-BC1-D的平面角，易求得DH=62又CD=1，CH=22在△CDH中，由余弦定理可得cos∠CHD=DH2+CH2三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知△ABC，若直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，且l，m為兩條不同的直線，則l，m的位置關系是.

答案平行解析依題意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，故l⊥平面ABC，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，BC，AC?平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l∥m.8.(2024·菏澤模擬)某同學畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切面圓柱體)，發現切面與圓柱側面的交線是一個橢圓(如圖所示).若該同學所畫的橢圓的離心率為32，則“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為.答案π解析如圖，設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a∠ABC即為“切面”所在平面與底面所成銳二面角的平面角，由題意得|AB|=2a，|DE|=|BC|=2b，因為ca=32，c2=a2-b2，所以a=2則cos∠ABC=|BC||AB|=2b2a=12，又∠ABC∈0，四、解答題(共28分)9.(13分)(2024·綿陽模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.(1)求四棱錐P-ABCD的體積；(5分)(2)證明：平面PAC⊥平面PBC.(8分)(1)解因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且PA⊥AB，PA?平面PAB，所以PA⊥平面ABCD，由題意得AB=2CD=2AD=2BC=2，則∠ABC=60°，所以等腰梯形ABCD的高為32所以V四棱錐P-ABCD=13S梯形ABCD·PA=13×12×3×32(2)證明因為BC=1，AB=2，∠ABC=60°，由余弦定理得AC=3，所以AB2=AC2+BC2，所以∠ACB=90°，AC⊥BC，又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，且AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PB