§6.6數(shù)列求和(二)課標(biāo)要求掌握錯位相減法求和、裂項相消法求和等幾種常見的求和方法.1.錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.2.裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項技巧①1n(n②1n(n③1(2n?1)(2④1n+n⑤1n1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)當(dāng)n≥2時，1n2?1＝(2)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有1anan(3)通項是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的求和利用錯位相減法，即把和的等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比得到一個新的等式，再把兩式相減即可求和.()(4)若Sn＝a+2a2+3a3+…+nan，只要把等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求得Sn.()2.化簡式子11×3+13×5+A.20222025 B.20242025 C.101120253.(2024·蘇州統(tǒng)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an＝1n+n+1，若SA.77 B.78C.79 D.804.Sn＝12+24+38+…A.2n?nC.2n?n謹(jǐn)防兩個易誤點(1)裂項時注意是否還有系數(shù)及是否前后相鄰的項相消.(2)錯位相減后構(gòu)造的等比數(shù)列的項數(shù)是否是n項.題型一裂項相消法求和例1(2024·菏澤模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝log2a2n－1，cn＝1bnbn+1，記{cn}的前n項和為Tn，求證：13思維升華裂項相消法的原則及規(guī)律(1)裂項原則一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數(shù)第幾項.跟蹤訓(xùn)練1(2025·廈門模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝2a1＝4，當(dāng)n∈N*，且n≥2時，Sn+1＝3Sn－2Sn－1.(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(2)設(shè)bn＝an(an?1)(an+1?1)題型二錯位相減法求和例2(2024·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知4Sn＝3an+4.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝(－1)n－1nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.思維升華(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.(2)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.跟蹤訓(xùn)練2(2024·湛江統(tǒng)考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項a1＝13，1a2(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)已知數(shù)列{nan}的前n項和為Sn，證明：Sn<43

答案精析落實主干知識2.①1n－1n+1②④n自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.D[11×3+13×5＝121?11215?＝121?3.D[依題意，an＝1＝n+1所以Sn＝2－1+3－2+…+n由Sn＝n+1－1＝8解得n＝80.]4.B[由Sn＝12+222+323+…得12Sn＝122+223+…+n①－②得12Sn＝12+122+123+∴Sn＝2n+1探究核心題型例1(1)解由Sn＝2an－2，①當(dāng)n＝1時，S1＝2a1－2＝a1，解得a1＝2，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－2，②①－②，得an＝2an－1，∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝a12n－1＝2n.(2)證明由(1)知a2n－1＝22n－1，∴bn＝log2a2n－1＝2n－1，bn+1＝2n+1.則cn＝1b故Tn＝1＝12∵0<14n+2≤16，∴13≤跟蹤訓(xùn)練1(1)證明當(dāng)n≥2時，Sn+1＝3Sn－2Sn－1?Sn+1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an+1＝2an，又a2＝2a1＝4，故an+1＝2an對任意n∈N*都成立，且a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)知an＝2n，則bn＝2＝12所以Tn＝1－13+13－17+…+1例2解(1)當(dāng)n＝1時，4S1＝4a1＝3a1+4，解得a1＝4.當(dāng)n≥2時，4Sn－1＝3an－1+4，所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1，而a1＝4≠0，故an≠0，故anan?1＝－3(所以數(shù)列{an}是以4為首項，－3為公比的等比數(shù)列，所以an＝4·(－3)n－1.(2)bn＝(－1)n－1·n·4·(－3)n－1＝4n·3n－1，所以Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝4·30+8·31+12·32+…+4n·3n－1，故3Tn＝4·31+8·32+12·33+…+4n·3n，所以－2Tn＝4·30+4·31+4·32+…+4·3n－1－4n·3n＝4·1?3n1?3－4＝2(3n－1)－4n·3n＝(2－4n)·3n－2，所以Tn＝(2n－1)·3n+1.跟蹤訓(xùn)練2(1)解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.因為1a2+所以1a1q故1q+1q解得q＝12或q＝－1又因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，故q＝12，所以an＝13×(2)證明由(1)得nan＝13×n則Sn＝1312Sn＝1兩式相減得12Sn＝＝1＝13因為n+22所以Sn＝232?n

6.6數(shù)列求和(二)課標(biāo)要求掌握錯位相減法求和、裂項相消法求和等幾種常見的求和方法.1.錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.2.裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項技巧①1n(n+1)=②1n(n③1(2n?1)(2④1n+n+1=⑤1n(n1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)當(dāng)n≥2時，1n2?1=1n?1-1n(2)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有1anan+1=1d(3)通項是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的求和利用錯位相減法，即把和的等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比得到一個新的等式，再把兩式相減即可求和.(√)(4)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan，只要把等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求得Sn.(×)2.化簡式子11×3+13×5+A.20222025 B.20242025 C.10112025答案D解析11×3+13×5=121?13+121=121?13.(2024·蘇州統(tǒng)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an=1n+n+1，若SA.77 B.78 C.79 D.80答案D解析依題意，an=1n+n+1=所以Sn=2-1+3-2+…+n+1-n=n+1由Sn=n+1-1=8，解得n4.Sn=12+24+38+…A.2n?nC.2n?n答案B解析由Sn=12+222+323+…得12Sn=122+223+…+n①-②得12Sn=12+122+123+…+12n-n2∴Sn=2n謹(jǐn)防兩個易誤點(1)裂項時注意是否還有系數(shù)及是否前后相鄰的項相消.(2)錯位相減后構(gòu)造的等比數(shù)列的項數(shù)是否是n項.題型一裂項相消法求和例1(2024·菏澤模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn=log2a2n-1，cn=1bnbn+1，記{cn}的前n項和為Tn，求證：13(1)解由Sn=2an-2，①當(dāng)n=1時，S1=2a1-2=a1，解得a1=2，當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-2，②①-②，得an=2an-1，∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an=a12n-1=2n.(2)證明由(1)知a2n-1=22n-1，∴bn=log2a2n-1=2n-1，bn+1=2n+1.則cn=1bnbn+1故Tn=1=121?12n∵0<14n+2≤16，∴13≤思維升華裂項相消法的原則及規(guī)律(1)裂項原則一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數(shù)第幾項.跟蹤訓(xùn)練1(2025·廈門模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=2a1=4，當(dāng)n∈N*，且n≥2時，Sn+1=3Sn-2Sn-1.(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(2)設(shè)bn=an(an?1)(an+1?1)(1)證明當(dāng)n≥2時，Sn+1=3Sn-2Sn-1?Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)，即an+1=2an，又a2=2a1=4，故an+1=2an對任意n∈N*都成立，且a1=2，所以數(shù)列{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)知an=2n，則bn=2n(2n?1)(所以Tn=1-13+13-17+…+12n?1?1-1題型二錯位相減法求和例2(2024·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=(-1)n-1nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解(1)當(dāng)n=1時，4S1=4a1=3a1+4，解得a1=4.當(dāng)n≥2時，4Sn-1=3an-1+4，所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1，即an=-3an-1，而a1=4≠0，故an≠0，故anan?1=-3(所以數(shù)列{an}是以4為首項，-3為公比的等比數(shù)列，所以an=4·(-3)n-1.(2)bn=(-1)n-1·n·4·(-3)n-1=4n·3n-1，所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4·30+8·31+12·32+…+4n·3n-1，故3Tn=4·31+8·32+12·33+…+4n·3n，所以-2Tn=4·30+4·31+4·32+…+4·3n-1-4n·3n=4·1?3n1?3-4=2(3n-1)-4n·3n=(2-4n)·3n-2，所以Tn=(2n-1)·3n+1.思維升華(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.(2)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.跟蹤訓(xùn)練2(2024·湛江統(tǒng)考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項a1=13，1a2+1(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)已知數(shù)列{nan}的前n項和為Sn，證明：Sn<43(1)解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.因為1a2+1a3=6a1，所以故1q+1q2=6，解得q=12或又因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，故q=12所以an=13×1(2)證明由(1)得nan=13×n則Sn=1312Sn=1兩式相減得12Sn==131?1因為n+22n>0，所以Sn=2課時精練(分值：55分)1.(12分)(2025·成都模擬)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn=n2(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(6分)(2)設(shè)bn=1anan+2，求數(shù)列{bn}的前(1)證明當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n2-當(dāng)n=1時，a1=S1=1，滿足上式，故an=n，所以an-an-1=n-(n-1)=1，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(2)解由(1)知an=n，故bn=1anan+2Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=1=1=34-22.(13分)(2024·佛山模擬)已知數(shù)列{an}滿足：對?m，n∈N*，am+2n=an+2m，且a3=5.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(6分)(2)證明：a13+a232(1)解am-2m=an-2n，故數(shù)列{an-2n}為常數(shù)列，其中a3=5，故a3-6=5-6=-1，故an-2n=-1，即an=2n-1.(2)證明令bn=an3n設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則Tn=13+332+…+213Tn=132+333+…①-②得23Tn=13+232+233=13+23=23-2+2故Tn=1-n+13.(15分)(2024·婁底模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，5a4+S5=60，S7=49.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(7分)(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若bn=2n+1Sn(1)解設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意可得5(即2a1所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.(2)證明由(1)可得Sn=(1+2n?1)n2所以bn=2n+1n2(Tn=b1+b2+b3+…+bn=112?122+1=1-1(4.(15分)已知數(shù)列{an}的首項a1=a(a≠0)，前n項和為Sn，且滿足Sn+1-Sn=5an4an+1(1)判斷數(shù)列1a(2)若a1=56，記數(shù)列nan的前n項和為Tn，求解(1)若1a1-1