§2.7指數運算與對數運算課標要求1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.2.理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.3.掌握指數、對數運算在實際問題中的應用.1.根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，這里n叫做根指數，a(3)(na)n＝.當n為奇數時，nan＝當n為偶數時，nan＝|a2.分數指數冪正數的正分數指數冪：amn＝(a>0，m，n∈N*，n正數的負分數指數冪：a?mn＝＝1nam(a>0，m，n∈0的正分數指數冪等于，0的負分數指數冪沒有意義.

3.指數冪的運算性質aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝(a>0，b>0，r，s∈R).

4.對數的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝，其中____________叫做對數的底數，叫做真數.

以10為底的對數叫做常用對數，記作.

以e為底的對數叫做自然對數，記作.

5.對數的性質與運算性質(1)對數的性質：loga1＝，logaa＝，alogaN＝(a>0，且a≠(2)對數的運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝；

②logaMN＝③logaMn＝(n∈R).

(3)對數換底公式：logab＝logcblogca(a>0，且a≠1；1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)4(?4)4＝－4.(2)若M＝N，則logaM＝logaN.()(3)2a·2b＝2ab.()(4)lg2＋lg5＝1.()2.(多選)下列運算正確的有()A.lg2＋lg3＝lg5 B.log3100＝10log310C.4log45＝5 D.log3.若a25＝425(a>0且aA.254 C.15 4.2723＋41.靈活應用指數冪化簡常用的技巧(1)ba?p(2)a＝(a1m)m，anm＝(a1(3)1的代換，如1＝a－1a(a>0)，1＝a?12(4)乘法公式的常見變形，如(a12＋b12)(a12－(a12±b12)2＝a±2a12b(a13±b13)(a23?a13b2.謹防兩個易誤點(1)凡涉及對數，其真數與底數的取值范圍一定不能忽略.(2)在使用運算公式時，注意指數和對數中的和積之間的轉化.題型一指數運算例1(1)(多選)下列各式正確的是(式中字母均是正數)()A.a46＝3aC.(62)2＝36 (2)計算：664＋2723＋(3)若a12＋a?12＝3，則a2思維升華(1)指數冪的運算首先將根式、分數的分數指數冪統一為整數的分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加.②運算的先后順序.(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.跟蹤訓練1(1)2·A.212 C.216 (2)計算：0.125?13題型二對數運算例2(1)(多選)下列運算中正確的是()A.log37logC.log222＝－1(2)(2025·八省聯考)已知函數f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，則a＝.

思維升華解決對數運算問題的常用方法(1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡.(2)將同底對數的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.跟蹤訓練2(1)(多選)設a，b，c均為不等于1的正實數，則下列等式中不成立的是()A.logab·logca＝logcbB.logab·logcb＝logcaC.loga(b＋c)＝logab＝logacD.loga(bc)＝logab·logac(2)計算：12lg25＋lg2－lg0.1－log29×log32＝.題型三指對運算的應用例3(1)(2025·皖豫天一大聯考)放射性物質的衰變規律為M＝M0×12tT，其中M0指初始質量，t為衰變時間，T為半衰期，M為衰變后剩余的質量.已知甲、乙兩種放射性物質的半衰期分別為T1，T2A.31024 B.1C.11024 D.(2)(2024·貴陽模擬)電動汽車逐漸成為當今世界的乘用車的發展方向.1898年Peukert提出鉛酸電池的容量C(單位：Ah)、放電時間t(單位：h)和放電電流I(單位：A)之間關系的經驗公式：C＝Iλt，其中λ為與蓄電池結構有關的常數(稱為Peukert常數)，在電池容量不變的條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間為15h，則該蓄電池的Peukert常數λ約為(參考數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A.1.12 B.1.13C.1.14 D.1.15思維升華利用指數、對數運算解決實際問題時認清所給函數模型、變量、參數，利用待定系數法確定參數的值，然后解決問題.跟蹤訓練3(1)蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的大數之間的計算而發明了對數.利用對數運算可以求大數的位數.已知lg5≈0.699，則231是()A.9位數 B.10位數C.11位數 D.12位數(2)某海島核污水中含有多種放射性物質，其中放射性物質3H含量非常高，它可以進入生物體內，還可以在體內停留，并引起基因突變，但難以被清除.現已知3H的質量M(kg)隨時間t(年)的指數衰減規律是：M＝M0·2－0.008t(其中M0為3H的初始質量).則當3H的質量衰減為最初的316時，所經過的時間約為(參考數據：lg2≈0.30，lgA.300年 B.255年 C.175年 D.125年

答案精析落實主干知識1.(3)aa2.nam3.ar＋sarsarbr4.logaNaNlgNlnN5.(1)01N(2)①logaM＋logaN②logaM－logaN③nlogaM自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.CD[lg2＋lg3＝lg6，故A錯誤；log3100＝2log310，故B錯誤；4log45log34·log43＝1，故D正確.]3.C[由a25＝425∴loga252＝25，∴loga25＝4.11解析2723＋4log43－lg5－lg2＝(33)23探究核心題型例1(1)ABC[對于A，a46＝對于B，4a4＝|a|＝a，故對于C，(62)2＝6對于D，a?23＝1(2)40解析664＋2723＋11000＋916?12＝((3)47解析由a12兩邊平方得a＋a－1＝7，兩邊再平方可得a2＋a－2＝47.跟蹤訓練1(1)C[2＝2＝216(2)75解析0.＝123?1＝2＋1＋8×9＝75.例2(1)BCD[對于A，log37log3對于B，ln(lne)＝ln1＝0，故B正確；對于C，log222＝log2對于D，23?2log23＝(2)e解析f(ln2)f(ln4)＝aln2aln4＝aln2＋ln4＝a3ln2＝aln23∴aln2＝2，∴a＝e.跟蹤訓練2(1)BCD[對于A，logab·logca＝lgblga·lgalgc對于B，logab·logcb＝lgblga·lgblgc，而logc對于C，若loga(b＋c)＝logab＝logac，則b＋c＝b＝c，故b＝c＝0，顯然不符合要求，故C錯誤；對于D，loga(bc)＝logab＋logac，故D錯誤.](2)－1解析原式＝lg5＋lg2－lg10?12－2log23×log3＝－12例3(1)A[由題意可得M0×121024T1＝8M0×1即1T2(2)D[由題意知C＝7.5λ×60＝25λ×15，所以257.5λ兩邊取以10為底的對數，得λlg103＝2lg2所以λ＝2lg21?lg3≈≈1.15.]跟蹤訓練3(1)B[記231＝M，則31×lg2＝lgM，則lgM＝31×(1－lg5)≈9.331，則M≈109.331∈(109，1010)，故231是10位數.](2)A[設經過的時間為t年，根據題意316M0＝M0·2－0.008t所以－0.008t＝log2316＝lg3所以t≈?2.4?0.008＝300.

2.7指數運算與對數運算課標要求1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.2.理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.3.掌握指數、對數運算在實際問題中的應用.1.根式(1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，這里n叫做根指數，a(3)(na)n=a當n為奇數時，nan=當n為偶數時，nan=|a2.分數指數冪正數的正分數指數冪：amn=nam(a>0，m，n∈N正數的負分數指數冪：a?mn=1amn=1nam(a>0，0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.3.指數冪的運算性質aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R).4.對數的概念一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.以10為底的對數叫做常用對數，記作lgN.

以e為底的對數叫做自然對數，記作lnN.

5.對數的性質與運算性質(1)對數的性質：loga1=0，logaa=1，alogaN=N(a>0，且a(2)對數的運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)=logaM+logaN；②logaMN=logaM-logaN③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)對數換底公式：logab=logcblogca(a>0，且a≠1；1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)4(?4)4=-4.((2)若M=N，則logaM=logaN.(×)(3)2a·2b=2ab.(×)(4)lg2+lg5=1.(√)2.(多選)下列運算正確的有()A.lg2+lg3=lg5 B.log3100=10log310C.4log45=5 D.log答案CD解析lg2+lg3=lg6，故A錯誤；log3100=2log310，故B錯誤；4log45log34·log43=1，故D正確.3.若a25=425(a>0且a≠1)，則logA.254 B.2 C.15答案C解析由a25=425，得loga4∴loga252=25，∴2loga2∴loga25=14.2723+4log答案11解析2723+4log43-lg5-lg2=(33)23+3-(1.靈活應用指數冪化簡常用的技巧(1)ba?p=a(2)a=(a1m)m，anm=(a1(3)1的代換，如1=a-1a(a>0)，1=a?12(4)乘法公式的常見變形，如(a12+b12)(a12-b12)=(a12±b12)2=a±2a12b(a13±b13)(a23?a13b132.謹防兩個易誤點(1)凡涉及對數，其真數與底數的取值范圍一定不能忽略.(2)在使用運算公式時，注意指數和對數中的和積之間的轉化.題型一指數運算例1(1)(多選)下列各式正確的是(式中字母均是正數)()A.a46=3a2 C.(62)2=36 答案ABC解析對于A，a46=a23=對于B，4a4=|a|=a，故對于C，(62)2=62×對于D，a?23=1a23(2)計算：664+2723+11000+答案40解析664+2723+11000+916?12=(26)16+(3)若a12+a?12=3，則a2+a答案47解析由a12+a兩邊平方得a+a-1=7，兩邊再平方可得a2+a-2=47.思維升華(1)指數冪的運算首先將根式、分數的分數指數冪統一為整數的分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加.②運算的先后順序.(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.跟蹤訓練1(1)2·A.212 B.232 C.答案C解析2·3222132=2·(2)計算：0.125?13-980+[答案75解析0.125?13-9=123?1=2+1+8×9=75.題型二對數運算例2(1)(多選)下列運算中正確的是()A.log37log3C.log222=-1 D.答案BCD解析對于A，log37log3對于B，ln(lne)=ln1=0，故B正確；對于C，log222=log212對于D，23?2log23=2322log(2)(2025·八省聯考)已知函數f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，則a＝.

答案e解析f(ln2)f(ln4)＝aln2aln4＝aln2＋ln4＝a3ln2＝aln23∴aln2＝2，∴a＝e.思維升華解決對數運算問題的常用方法(1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡.(2)將同底對數的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.跟蹤訓練2(1)(多選)設a，b，c均為不等于1的正實數，則下列等式中不成立的是()A.logab·logca=logcbB.logab·logcb=logcaC.loga(b+c)=logab=logacD.loga(bc)=logab·logac答案BCD解析對于A，logab·logca=lgblga·lgalgc=lg對于B，logab·logcb=lgblga·lgblgc，而logc對于C，若loga(b+c)=logab=logac，則b+c=b=c，故b=c=0，顯然不符合要求，故C錯誤；對于D，loga(bc)=logab+logac，故D錯誤.(2)計算：12lg25+lg2-lg0.1-log29×log32=.答案-1解析原式=lg5+lg2-lg10?12-2log23×log32=1-?題型三指對運算的應用例3(1)(2025·皖豫天一大聯考)放射性物質的衰變規律為M=M0×12tT，其中M0指初始質量，t為衰變時間，T為半衰期，M為衰變后剩余的質量.已知甲、乙兩種放射性物質的半衰期分別為T1，T2(單位：天)，若兩種物質的初始質量相同，1024天后發現甲的質量是乙的質量的8倍，則1A.31024 B.1512 C.11024答案A解析由題意可得M0×121024T1=8M0×121024即1T2-1T(2)(2024·貴陽模擬)電動汽車逐漸成為當今世界的乘用車的發展方向.1898年Peukert提出鉛酸電池的容量C(單位：Ah)、放電時間t(單位：h)和放電電流I(單位：A)之間關系的經驗公式：C=Iλt，其中λ為與蓄電池結構有關的常數(稱為Peukert常數)，在電池容量不變的條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間為15h，則該蓄電池的Peukert常數λ約為(參考數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15答案D解析由題意知C=7.5λ×60=25λ×15，所以257.5λ=103λ兩邊取以10為底的對數，得λlg103=2lg2所以λ=2lg21?lg3≈2思維升華利用指數、對數運算解決實際問題時認清所給函數模型、變量、參數，利用待定系數法確定參數的值，然后解決問題.跟蹤訓練3(1)蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的大數之間的計算而發明了對數.利用對數運算可以求大數的位數.已知lg5≈0.699，則231是()A.9位數 B.10位數C.11位數 D.12位數答案B解析記231=M，則31×lg2=lgM，則lgM=31×(1-lg5)≈9.331，則M≈109.331∈(109，1010)，故231是10位數.(2)某海島核污水中含有多種放射性物質，其中放射性物質3H含量非常高，它可以進入生物體內，還可以在體內停留，并引起基因突變，但難以被清除.現已知3H的質量M(kg)隨時間t(年)的指數衰減規律是：M=M0·2-0.008t(其中M0為3H的初始質量).則當3H的質量衰減為最初的316時，所經過的時間約為(參考數據：lg2≈0.30，lgA.300年 B.255年 C.175年 D.125年答案A解析設經過的時間為t年，根據題意316M0=M0·2-0.008t所以-0.008t=log2316=lg316lg2=lg3?lg16lg2=lg3lg2-lg16所以t≈?2.4?0.008課時精練(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.下列各式正確的是()A.(?3)2=-3 B.4C.22=2 D.a0答案C解析(?3)2=3，故A錯誤；4x4=|x|，故B錯誤；22=2，故C正確；a0=1，當a≠2.設alog34=2，則4-a等于()A.116 B.19 C.18答案B解析由alog34=2可得log34a=2，所以4a=9，所以4-a=193.(2024·武漢模擬)已知ab≠1，logam=2，logbm=3，則logabm等于()A.16 B.15 C.56答案D解析由換底公式得，logma=1logam=12，logmb所以logabm=1logm(ab4.(2025·恩施模擬)區塊鏈作為一種革新技術，已經應用于許多領域，在區塊鏈技術中，若密碼的長度設定為256比特，則密碼一共有2256種可能，因此為了破解密碼，最壞情況需要進行2256次運算.現在有一臺機器，每秒能進行2.5×1011次運算，假設機器一直正常運轉，那么在最壞情況下這臺機器破譯密碼所需的時間大約為(參考數據：lg2≈0.301，100.658≈4.5)()A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒答案A解析由題意知所需時間t=2256∴lgt=256lg2-(lg2.5+11)=256lg2-lg104+11=258lg∴t≈1065.658=100.658×1065≈4.5×1065(秒).二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.下列判斷正確的有()A.4(3?πB.lnm·lnn=ln(m+n)(其中m>0，n>0)C.a·a·a=a7D.27?1答案ACD解析對于A，4(3?π)4=|3-π|=π-3對于B，由對數性質可知ln(mn)=lnm+lnn，B錯誤；對于C，a·a·a=a·a·a12=a·a32對于D，27?13=(33)?13=3-1=13，2log126.以下運算中正確的有()A.若lg3=m，lg2=n，則log518=2B.[(1?2)2]1C.13?2-2ln(lneD.log23·log94=2答案AC解析對于A，log518=lg18lg5=lg2+lg91?lg2=2lg3+lg21?lg2=2對于B，[(1?2)2]12-(1+2)?1+(1+2)0=2-1-對于C，13?2-2ln(lnee)=9-2lne=9-2=7，故對于D，log23·log94=log23·log24log29=log23三、填空題(每小題5分，共10分)7.(2025·白銀統考)2723+log85·log152+102lg2-lg3答案10解析2723+log85·log152+102lg=(33)23+log85·log=32-log85·log52+10=9-log23=9-13+48.(2025·南通模擬)已知2m=3n=5，則4mn=答案9解析由2m=3n=5，可得m=log25，n=log35，則mn=log25log則4mn=4log2四、解答題(共27分)9.(13分)計算下列各式的值：(1)?338?23+0.002(2)(log32+log92)(log43+log83)-eln解(1)?338?23+0.=(?1)?23×278=323×?23+5001=49+105-105-20+1=-167(2)(log32+log92)(log43+log83)-e=log3=32log32×56log23-54=32×56×log32×log23-510.(14分)已知P=80.25×42+2764?13-(-2