2022屆新高考數學一輪練習56高考大題專練（六）概率與統計的綜合運用Word版含解析（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（每題3分，共15分）1.一個袋子里有5個紅球和3個藍球，隨機取出一個球后再放回，重復3次。求取到至少2個紅球的概率。2.投擲兩個公正的六面骰子，求兩個骰子點數之和為7的概率。3.某班級有30名學生，其中有18名女生和12名男生。隨機選擇5名學生參加比賽，求至少有3名女生的概率。4.一項研究表明，某種疾病的發病率是0.2%。進行大規模篩查時，陽性結果表示患有該疾病的概率是多少？5.一組數據中有20個觀測值，其平均數為50，標準差為5。假設數據服從正態分布，求觀測值在45到55之間的概率。二、填空題（每題3分，共15分）6.拋擲一枚硬幣三次，求正面朝上次數為2的概率。7.一項考試中，及格的概率是0.8。有5名學生參加考試，求至少有3名學生及格的概率。8.某商店銷售一種商品，每天的銷售量服從泊松分布，平均銷售量為10件。求某天銷售量超過15件的概率。9.一組數據的平均數為50，中位數為55。假設數據服從正態分布，求這組數據的標準差。10.投擲一個公正的四面骰子，求出現偶數面的概率。三、解答題（每題10分，共30分）11.一項研究表明，某種疾病的發病率是0.5%。進行大規模篩查時，陽性結果表示患有該疾病的概率是多少？已知篩查的陽性率為0.8，求篩查結果為陽性時，實際患有該疾病的概率。12.某班級有50名學生，其中有25名男生和25名女生。隨機選擇5名學生參加比賽，求至少有3名女生的概率。13.一組數據中有30個觀測值，其平均數為70，標準差為8。假設數據服從正態分布，求觀測值在60到80之間的概率。四、應用題（每題15分，共30分）14.某公司生產的產品中，有5%的次品。隨機抽取10件產品進行檢驗，求至少有3件次品的概率。15.某商店銷售一種商品，每天的銷售量服從二項分布，銷售成功的概率為0.6。求某天銷售量超過8件的概率。五、分析題（每題20分，共20分）16.某學校舉行數學競賽，參賽學生中，有60%的學生能夠解答出所有題目。隨機選擇5名學生參加比賽，求至少有3名學生能夠解答出所有題目的概率。八、計算題（每題5分，共25分）17.一個袋子里有6個紅球和4個藍球，隨機取出兩個球，求取到兩個紅球的概率。18.投擲兩個公正的六面骰子，求兩個骰子點數之和為8的概率。19.某班級有40名學生，其中有20名女生和20名男生。隨機選擇5名學生參加比賽，求至少有2名女生的概率。20.一項研究表明，某種疾病的發病率是0.1%。進行大規模篩查時，陽性結果表示患有該疾病的概率是多少？21.一組數據中有25個觀測值，其平均數為60，標準差為4。假設數據服從正態分布，求觀測值在55到65之間的概率。九、證明題（每題10分，共30分）22.證明加法原理：如果事件A和事件B是互斥的，那么事件A和事件B發生的概率等于事件A發生的概率加上事件B發生的概率。23.證明乘法原理：如果事件A和事件B是獨立的，那么事件A和事件B同時發生的概率等于事件A發生的概率乘以事件B發生的概率。24.證明二項分布的期望值等于np，其中n是試驗次數，p是每次試驗成功的概率。十、綜合題（每題15分，共30分）25.某公司生產的產品中，有3%的次品。隨機抽取5件產品進行檢驗，求至少有1件次品的概率。26.某商店銷售一種商品，每天的銷售量服從泊松分布，平均銷售量為8件。求某天銷售量超過10件的概率。十一、案例分析題（每題20分，共20分）27.某學校舉行數學競賽，參賽學生中，有70%的學生能夠解答出所有題目。隨機選擇5名學生參加比賽，求至少有4名學生能夠解答出所有題目的概率。十二、實驗設計題（每題25分，共25分）28.設計一個實驗，驗證拋擲一枚硬幣時，正面朝上和反面朝上的概率是否相等。十三、編程題（每題30分，共30分）29.編寫一個程序，模擬拋擲一枚硬幣1000次，計算正面朝上和反面朝上的次數，并輸出結果。十四、探究題（每題35分，共35分）30.探究正態分布曲線的形狀與參數μ和σ的關系，并解釋其含義。十五、創新題（每題40分，共40分）31.設計一個概率模型，用于預測某商品在未來一段時間內的銷售量。一、選擇題1.C2.B3.D4.A5.B二、填空題6.0.3757.0.58.0.43759.0.682610.0.9544三、解答題11.【解答】解：設事件A為“取到至少2個紅球”，事件B為“取到2個紅球”，事件C為“取到3個紅球”。根據概率的加法原理，有P(A)=P(B)+P(C)。計算P(B)和P(C)：P(B)=C(3,2)(5/8)^2(3/8)=0.421875P(C)=(5/8)^3=0.3125所以P(A)=0.421875+0.3125=0.73437512.【解答】解：設事件D為“兩個骰子點數之和為7”，計算P(D)：P(D)=C(6,1)(1/6)(1/6)=0.16666713.【解答】解：設事件E為“至少有3名女生”，計算P(E)：P(E)=C(5,3)(18/30)^3(12/30)^2+C(5,4)(18/30)^4(12/30)+(18/30)^5=0.6575四、應用題14.【解答】解：設事件F為“至少有3件次品”，計算P(F)：P(F)=C(10,3)(0.05)^3(0.95)^7+C(10,4)(0.05)^4(0.95)^6+(0.05)^5=0.01278715.【解答】解：設事件G為“銷售量超過8件”，計算P(G)：P(G)=1P(銷售量不超過8件)=1C(8,0)(0.6)^0(0.4)^8C(8,1)(0.6)^1(0.4)^7C(8,8)(0.6)^8(0.4)^0=0.335938五、分析題16.【解答】解：設事件H為“至少有3名學生能夠解答出所有題目”，計算P(H)：P(H)=C(5,3)(0.6)^3(0.4)^2+C(5,4)(0.6)^4(0.4)+(0.6)^5=0.68921六、計算題17.【解答】解：設事件I為“取到兩個紅球”，計算P(I)：P(I)=C(6,2)/C(10,2)=0.318.【解答】解：設事件J為“兩個骰子點數之和為8”，計算P(J)：P(J)=C(6,2)(1/6)^2=0.13888919.【解答】解：設事件K為“至少有2名女生”，計算P(K)：P(K)=C(5,2)(20/40)^2(20/40)^3+C(5,3)(20/40)^3(20/40)^2+C(5,4)(20/40)^4(20/40)+(20/40)^5=0.812520.【解答】解：設事件L為“陽性結果表示患有該疾病的概率”，計算P(L)：P(L)=0.1%/(0.1%+99.9%(10.1%))=0.009921.【解答】解：設事件M為“觀測值在55到65之間”，計算P(M)：P(M)=(6555)/(4sqrt(25))sqrt(2pi)e^(((6055)^2)/(24^2))=0.6826七、證明題22.【證明】證明：設事件N和事件O是互斥的，即P(N∩O)=0。根據概率的定義，有：P(N∪O)=P(N)+P(O)P(N∩O)=P(N)+P(O)0=P(N)+P(O)所以，事件N和事件O發生的概率等于事件N發生的概率加上事件O發生的概率。23.【證明】證明：設事件P和事件Q是獨立的，即P(P∩Q)=P(P)P(Q)。根據概率的定義，有：P(P∪Q)=P(P)+P(Q)P(P∩Q)=P(P)+P(Q)P(P)P(Q)所以，事件P和事件Q同時發生的概率等于事件P發生的概率乘以事件Q發生的概率。24.【證明】證明：設二項分布的期望值為E(X)，試驗次數為n，每次試驗成功的概率為p。根據二項分布的定義，有：E(X)=np所以，二項分布的期望值等于np。八、綜合題25.【解答】解：設事件R為“至少有1件次品”，計算P(R)：P(R)=1(10.03)^5=0.18522426.【解答】解：設事件S為“銷售量超過10件”，計算P(S)：P(S)=1P(銷售量不超過10件)=1e^(8)(8^10/10!)=0.265927九、案例分析題27.【解答】解：設事件T為“至少有4名學生能夠解答出所有題目”，計算P(T)：P(T)=C(5,4)(0.7)^4(0.3)+(0.7)^5=0.5256十、實驗設計題28.【解答】解：實驗設計如下：1.準備一枚硬幣。2.拋擲硬幣1000次，記錄每次拋擲的結果（正面或反面）。3.計算正面朝上和反面朝上的次數。4.輸出結果。十一、編程題29.【解答】解：編程實現如下：1.使用隨機數器1000個隨機數，表示拋擲硬幣的結果。2.統計正面朝上和反面朝上的次數。3.輸出結果。十二、探究題30.【解答】解：探究如下：1.繪制不同參數和的正態分布曲線。2.觀察曲線的形狀與參數和的關系。3.解釋其含義。十三、創新題31.【解答】解：設計如下：1.收集歷史銷售數據。2.建立概率模型，如時間序列模型。3.預測未