第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《三角形的中位線》專項檢測卷（附答案）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如1圖，在中，，，點、分別在邊、上，，連接，點、、分別為、、的中點．(1)觀察猜想：1圖中，數線段與的量關系是______，位置關系是______；(2)探究證明：如2圖在中，，，點、分別在邊、上，，連接，點、、分別為、、的中點．把繞點逆時針方向旋轉到3圖的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：在（2）的基礎上，把繞點在平面內自由旋轉，若，，請你求出周長的最大值．2．如圖①，在中，，，，，分別是，的中點，連接．將繞點逆時針旋轉得到，點，的對應點分別是，，直線與邊交于點（不與點、重合）．(1)觀察發現線段的長為________；在繞點旋轉的過程中，與的數量關系為________；(2)探究遷移當點、、三點共線時，如圖②，求的長；(3)拓展應用在繞點旋轉的過程中，與交于點，當與的一邊平行時，請直接寫出的長．3．如圖，在和中，，．連接，點為中點，連接，．(1)如圖，點和點分別在線段和上，直接寫出與的數量關系是________，________．(2)將繞點順時針旋轉，如圖，中與的數量關系及的度數是否仍然成立？請說明理由．(3)將繞點順時針旋轉到如圖所示位置，使得點在直線上，連接，與交于點，其他條件不變，線段，和有怎樣的數量關系？請說明理由．4．【問題提出】（1）如圖1，點是直線外一點，于點，點在直線上，，連接，，則點到直線的最短距離為______；【問題探究】（2）如圖2，在中，，點、、分別為、和的中點，連接、．求證：四邊形是矩形；【問題解決】（3）如圖3，和是某植物園的兩塊三角形花圃，且點、、在同一條直線上，，，．點是上的動點（不與端點重合），連接，現要沿搭建一道籬笆墻，并在區域種植另外一種植物，將的中點設為入口，再沿鋪設一條觀賞小路（寬度忽略不計），為節省鋪設觀賞小路的成本，要求的長盡可能的短．已知，當觀賞小路的長度最短時，求的長．5．綜合與實踐【問題背景】有兩個三角形，一個是直角三角形，一個是等邊三角形．，，；等邊，兩個三角形的點互相重合，可以繞點轉動，點是的中點，連接．【解決問題】（1）如圖，當時，若點在線段上，，，則__________．【觀察猜想】（2）如圖，直接寫出與的數量關系：__________．【類比探究】（3）如圖，當，點在線段上方時，其他條件不變，延長交于點，探究的度數是否為定值？若是定值，請求出的度數；若不能求出的度數，請說明理由．【拓展提升】（4）若，，當點，，在同一條直線上時，請直接寫出線段的長．6．如圖，已知正方形，點E、H分別在上，與相交于點O．(1)如圖1，當時，求證：；(2)如圖2，在（1）的條件下，平移圖1中線段，使A點與D重合，H點在延長線上點F處，連接，取中點P，連接，求證：；(3)如圖3，與相交于點O，當，，時，請直接寫出的長．7．如圖1，在Rt中，，點分別是邊的中點，連接．將繞點按順時針方向旋轉，記旋轉角為．【問題發現】①當時，___________；②當時，___________；【拓展探究】試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．【問題解決】當旋轉至三點共線時，直接寫出線段的長．8．“無刻度直尺”是尺規作圖的工具之一，它的作用在于連接任意兩點、作任意直線、延長任意線段等．結合圖形的性質，只利用無刻度直尺也可以解決一些幾何作圖問題．(1)如圖1，四邊形為正方形，點E為邊的中點，請僅用無刻度的直尺畫出邊的中點F（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)如圖2，四邊形為菱形，點E，F分別是，的中點，請僅用無刻度的直尺作以為邊的矩形（保留作圖痕跡，不寫作法）；(3)如圖3，中，，垂足為M，交邊于點N．僅用無刻度的直尺在圖中作，垂足為H（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(4)如圖4，點E、F分別在平行四邊形的邊上，．連接，請過點A作的垂線，垂足為G（僅用無刻度直尺作圖并保留作圖痕跡，不寫畫法）．9．【初步探究】如圖1，在矩形中，點E，F分別是的中點，連接，求的值；【深入研究】如圖2，在四邊形中，，，點F是的中點，點E在邊上，，與交于點G，求證：；【拓展延伸】如圖3，在【深入研究】的條件下，連接，且，求證：．10．如圖1，兩個正方形和共一個直角頂點，連接、交于點，連接、、、．(1)當，時，①作圖：請在圖1中分別取、、的中點、、（不要求尺規作圖），并直接寫出和的關系：______；②若，求此時的長；(2)當，求的最小值．11．【問題背景】同學們以“等腰三角形的旋轉”為主題，開展如下探究活動：【操作探究】（）如圖，為等邊三角形，將繞點逆時針旋轉得到，連接，是的中點，連接，求證：；【遷移探究】（）如圖，將（）中的等邊繞點逆時針旋轉，得到，連接，是的中點，連接，求出此時的度數及與的數量關系．12．在正方形旁，正方形如圖（1）放置，其中、、在同一條直線上．(1)是中點，求證：；(2)如圖（2），將正方形逆旋轉（），連接、．①若，，則的值為；②如圖（3）若是中點，連接，交于點，求證：．13．圖①、圖②、圖③是的正方形網格，每個小正方形的頂點叫做格點，每個小正方形的邊長都為1．的頂點均在格點上，點D是邊的中點．只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，并保留作圖痕跡．(1)在圖①中，在邊上找到一點E，連接，使．(2)在圖②中，作邊的高線，連接．(3)在圖③中，在邊上找到一點G，連接，使．14．在中，將線段繞點順時針旋轉度得到線段，連接．(1)如圖1，若，延長交于點，，用含的等式表示；(2)如圖2，若，，點，分別為線段，的中點，連接，點為中點，連接．求證：；(3)如圖3，若，，．點為內部一點，點關于三邊的對稱點分別為，，，連接，，交于點．點為直線上一點，連接，，當取得最小值，且與是以和為一組對應邊的相似三角形時，直接寫出的長度．15．某數學“綜合與實踐”小組在研究等腰三角形時發現：如圖中，中，，連接，，點M、N、P分別為、、的中點．(1)如圖1，若A，O，C三點在同一直線上，且，此時_______．猜想的形狀并說明理由．(2)如圖2，若A，O，C三點在同一直線上，且，請計算的值；并證明．(3)固定，將繞點O旋轉，最大值為_______．參考答案1．(1)，(2)直角三角形，理由見解析(3)【分析】（1）由，，可得，根據題意可得：是的中位線，是的中位線，得到，，，，推出，，，由，可得，推出，即可求解；（2）由旋轉知，，證明，得到，根據三角形的中位線定理可得，，推出，，結合，即可求解；（3）由（2）可得，，，，推出，根據中位線定理得到，，推出，得到最大時，的周長最大，當點在的延長線上時，最大值為，進而得到，，根據勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）解：，，，即，點、、分別為、、的中點，是的中位線，是的中位線，，，，，，，，，，，即，數線段與的量關系是，位置關系是，故答案為：，；（2）解：是直角三角形，理由如下：由旋轉知，，，，，，點、、分別為、、的中點，是的中位線，是的中位線，，，，，，，，是直角三形；（3）由（2）可得，，，，，點、、分別為、、的中點，是的中位線，是的中位線，，，，，，且，最大時，的周長最大，當點在的延長線上時，最大值為，，，根據勾股定理得：，周長的最大值為．【點睛】本題考查了直角三角形的判定與性質，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，勾股定理，解題的關鍵是掌握相關知識．2．(1)；(2)(3)或【分析】本題考查了旋轉的性質，解直角三角形，中位線的性質，正方形的性質與判定，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵；（1）勾股定理求得，進而根據中位線的性質可得，連接，證明，即可得出結論；（2）根據（1）得出，根據等腰三角形的性質可得，設，則，，根據勾股定理建立方程，即可求解；（3）分兩種情況討論，當時，證明四邊形是正方形，根據得出，進而求得，根據，求得的長，當時，得出，設，在中，勾股定理建立方程，解方程得出，進而根據，即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴∵，分別是，的中點，∴是的中位線，∴；∴如圖，連接，∵將繞點逆時針旋轉得到，點，的對應點分別是，，∴，又∵∴，∴；故答案為：；．（2）解：如圖，由（1）知，∴，∵，∴，∵，∴，又，∴，即，設，則，在中，∴解得：，即（3）解：如圖，當時，∴，又∵，∴四邊形是矩形，又∵∴四邊形是正方形，∴，，∴∵∴∵，∴∴∴；當時，如圖，∴又∵∴∴∴∵∴，又∴∴設，則，在中，∴解得：∴綜上所述，或．3．(1)(2)成立，見解析(3)，見解析【分析】（1）根據直角三角形的性質得，從而得，，再利用三角形的外角性質及三角形的內角和定理即可得解；（2）作點關于的對稱點，點關于的對稱點，連接，延長和交于點，延長交于點，則，，從而和是等邊三角形，又證明，得．，再利用三角形的中位線的判定及性質及三角形的內角和定理即可得解；（3）作點關于的對稱點，點關于的對稱點，連接，，則，證明，得，再利用三角形的中位線的判定及性質即可得解．【詳解】（1）解：∵點為中點，，∴，∵點為中點，∴，∴，，∵，．∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：結論：，．理由如下：如圖，作點關于的對稱點，點關于的對稱點，連接，延長和交于點，延長交于點，則，，∴和是等邊三角形，∴，∴，∴．∴，∴．∵點是的中點，，∴，．同理可證，，∴．∴，．（3）解：結論：．理由如下：如圖，作點關于的對稱點，點關于的對稱點，連接，，則，∴．∴和是等邊三角形，∴，∴，∴．∵點是的中點，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形的中位線線的判定及性質，軸對稱的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，等邊三角形的判定及性質，熟練掌握三角形的中位線線的判定及性質，軸對稱的性質，直角三角形的性質是解題的關鍵．4．（1）12；（2）見解析；（3）．【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用垂線段最短求得點到直線的最短距離；（2）先證明四邊形是平行四邊形，再根據它有一個角是直角，證得結論成立；（3）先證明是等腰直角三角形，再利用中位線的性質證得和，證得四邊形是矩形，再利用矩形的性質得出，，設，接著手表示出，，再借助三角函數求得，再用表示出，然后利用線段的和求最的長度最短．【詳解】解：（1）于點，，，∴，∴點到直線的最短距離為12．（2）證明：點、、分別為、和的中點，和是的中位線，，，四邊形是平行四邊形．，四邊形是矩形．（3）連接，分別取、的中點、，連接，過點作于點，交于點．，是等腰直角三角形，．在中，點、分別是、的中點，是的中位線，，則．點是的中點，點是的中點，是的中位線，則，．G、O、H三點共線，當點在上運動時，點在上運動，當時，最短，即點與點重合時，的長度最短．連接并延長交于點，則的長度最短時，點與點重合，此時．∵，，∴，∴四邊形是矩形，，．在中，設，則，．在中，，，．的長度最短時，．當觀賞小路的長最短時，的長為．【點睛】本題考查了勾股定理，平行四邊形的判定與性質，中位線的性質，矩形的判定與性質，解直三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是根據矩形的性質與判定求線段長．5．（）；（）；（）是定值，，理由見解析；（）或．【分析】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，中位線定理，等邊三角形的性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）由，，則，然后通過勾股定理即可求解；（）取中點，取中點，則，，然后證明即可；（）取中點，取中點，設與交于點，則，所以，同理可證，再通過三角形的內角和定理即可求解；（）分當共線時和當共線時兩種情況分析即可．【詳解】解：（）∵，，∴，∴，∵，則，∴，故答案為：；（）如圖，取中點，取中點，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∵點是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（）如圖，是定值，，理由，取中點，取中點，設與交于點，∴，∴，同理可證：，∴，∵，∴；（）當共線時，如圖，作于點，則，則，∴，∴，∴；當共線時，如下圖，同理可得：，綜上，或．6．(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】（1）證明，即可求證；（2）在上截取，如圖，則是等腰直角三角形，證明，可得，從而得到，再利用三角形中位線定理，即可得出結論；（3）過點作交于點，作交延長線于，則四邊形是平行四邊形，得出，勾股定理求出，即可求出，再證明，可得，再證明，可得，設，則，在中，根據勾股定理可得的值，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，，，，，在和中，，，．（2）證明：在上截取，如圖，則是等腰直角三角形，，，，即，根據平移可得由（1）知，∴，，，，，∵點是的中點，∴是的中位線，，即；（3）解：如圖3，過點作交于點，作交延長線于，則四邊形是平行四邊形，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，即，設，則，在中，，解得：，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形性質，等腰直角三角形判定和性質，平行四邊形的判定與性質，全等三角形判定和性質，勾股定理等，添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．7．[問題發現]①；②；[拓展探究]的大小無變化；見解析；[問題解決]或【分析】[問題發現]先利用勾股定理求得，再利用中點的意義分別求得與，然后求出它們的比；[拓展探究]先證明，再求出與，然后得出結論；[問題解決]分“點在線段上”、“點在線段上”兩種情形，分別證明，列出比例求出．【詳解】解：[問題發現]①當時，如圖1，∵在Rt中，，∴，∵點分別是邊的中點，∴，，∴，故答案為：；②當時，如圖，由旋轉的性質可知：，，∴，，∴，故答案為：；[拓展探究]無變化．理由：如圖1中，∵是的中位線，∴，如圖2中，∵在旋轉過程中形狀大小不變，∴仍然成立，又∵，∴，∴，∴的大小無變化．[問題解決]當點在線段上時，如圖，與[拓展探究]同理可證，∴，∵，∴∵，，∴，∴，∴，解得：；當點在線段上時，如圖，同理可證，∴，∵，，，∴，∴，∴，解得：，綜上所述，或．【點睛】本題考查了利用旋轉的性質求線段的長，相似三角形的判定與性質，中位線定理等知識，解題關鍵是利用相似三角形的判定證明三角形相似，并列出比例求出待線段的長．8．(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）根據正方形的中心對稱性作圖即可；（2）根據菱形的性質和三角形中位線定理構造中點四邊形，根據矩形的判定即可得到答案；（3）根據平行四邊形的中心對稱性構造平行四邊形，即可得到答案；（4）根據菱形判定和性質、平行四邊形的判定和性質進行作圖即可．【詳解】（1）解：如圖，點F即為所求，（2）四邊形即為所求，（3）如圖，點即為所求，（4）如圖，點G即為所求，【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、正方形的性質、矩形的判定、三角形中位線定理等知識，熟練掌握相關平行四邊形的性質是解題的關鍵．9．【初步探究】；【深入研究】見解析；【拓展延伸】見解析【分析】（1）由三角形中位線的性質可得，再證明，由相似三角形的性質可得結論；（2）過點F作，交于點H，連接，由三角形中位線的性質可得．從而求得，再證明四邊形是平行四邊形，可得．再由，點H是的中點，可得，求得，最后由等腰三角形的判定可得．即可得證；（3）過點E作于點I，連接，過點F作，設，則．由勾股定理求得．再證明垂直平分，可得．再證明，可得，從則可得結果．【詳解】[初步探究]解：∵點E，F分別是的中點，∴，∴，∴．[深入研究]證明：如圖1，過點F作，交于點H，連接，∵，∴．∵點F是的中點，∴H是的中點，∴．∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，點H是的中點，∴，∴∴，∴．[拓展延伸]證明：如圖2，過點E作于點I，連接，過點F作，可得四邊形是矩形，．由[深入研究]知，，設，∴．在中，．∵，∴．∵點F是的中點，∴垂直平分，∴．∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形中位線的性質及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半以及中位線定理等知識點，熟練掌握以上知識和添加輔助線是解題的關鍵．10．(1)①作圖見解析，；②(2)【分析】（1）①，先證明是的中位線，是的中位線，推出；再證明，得到，，即可推出，再證明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解；（2）如圖，分別取、、、的中點、、、，連接同理（1）①可得；當三點共線時，有最小值，最小值為的長，即有最小值，最小值為的長，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答．【詳解】（1）解：，理由如下：∵點、、分別是、、的中點，∴是的中位線，是的中位線，∴；∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，∴，即，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②由①知：，∴，∴，∴，∵四邊形和四邊形都是正方形，，，∴，∵，∴，∴，∴，即（負值舍去）；（2）解：如圖，分別取、、、的中點、、、，連接同理（1）①可得是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，∴；∴∵，∴當三點共線時，有最小值，最小值為的長，即有最小值，最小值為的長，同理（1）①得，，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值為．【點睛】本題考查了四邊形中點問題的綜合，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形中位線的判定與性質，正方形的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．11．（）證明見解析；（），【分析】（）由旋轉的性質可得，三點共線，進而由是的中點得為的中位線，即可求證；（）由等邊三角形和旋轉的性質得，，，即得，得到是等腰直角三角形，得，進而得，再根據等腰直角三角的性質得，即得到，即可求解．【詳解】（）證明：∵將繞點逆時針旋轉得到，∴，，即三點共線，∵是的中點，∴為的中位線，∴；（）解：∵為等邊三角形，∴，，由旋轉可得，，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵是的中點，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質，等邊三角形的性質，旋轉的性質，等腰三角形三角形的判定和性質，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關鍵．12．(1)見解析(2)①40；②見解析【分析】（1）連接，可得出是直角三角形，進一步得出結論；（2）①連接，設與交于點O，可證得，從而得出，進而得出，根據勾股定理可得出結果；②延長至點P，使得，連接交于點Q，證明，得，然后證明，進而可以解決問題．【詳解】（1）證明：如圖（1），連接，∵四邊形是正方形，∴，∴，同理，∴，在中，∵點H是的中點，∴；（2）①解：如圖（2），連接，設與交于點O，∵四邊形和四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：40；②證明：如圖（3），延長至點P，使得，連接交于點Q，∵四邊形是正方形，∴，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵是的中位線，∴，∴，∴．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．13．(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)作圖見詳解【分析】（1）根據矩形的性質，中位線的判定和性質作圖即可；（2）根據全等三角形的性質，直角三角形兩銳角互余即可求解；（3）根據全等三角形的性質，線段垂直平分線的性質得到是直角三角形，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接格點交于點，連接，∵四邊形是矩形，∴點是中點，∴是中位線，∴，∴點即為所求點的位置；（2）如圖所示，取，連接交于點，連接，∴，∵，∴，∴，即，∴線段即為所求線段；（3）解：如圖所示，取，延長交于點，（對頂角相等），連接，∴，，∵，，即垂直平分，∴，∴，∴，即，∴是直角三角形，且點是中點，∴，故點即為所求點的位置．【點睛】本題主要考查格點作圖，矩形的性質，中位線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半等知識的綜合，掌握以上知識，數形結合分析是關鍵．14．(1)(2)證明見解析(3)或【分析】（1）由，，利用線段垂直平分線得，得出，利用旋轉得出，，得，可得，最后利用余角即可得；（2）連接，延長至點，使，連接，過點作，交于點，連接，，先利用等腰直角三角形中點證明，，再證明，可證明△是等腰直角三角形，且，，則，再證明是等腰直角三角形，且，，，則可證四邊形是平行四邊形，得出為線段的中點，利用中位線得，最后利用線段的和差即可證明；（3）連接，，，，，過點作于點，利用對稱證明，，再證明，可得，由垂線段最短可知，當、、共線，且時，最短，最小值為，此時，過點作于點，計算出，，，再利用等面積法和勾股定理求出，，由旋轉知，，由與是以和為一組對應邊的相似三角形，分別探究當時，點在線段上，只需滿足，；和當時，點在射線上，只需滿足，，進行計算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵將線段繞點C順時針旋轉度得到線段，∴，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖，連接，延長至點，使，連接，過點作，交于點，連接，，由旋轉知，，∵點是的中點，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴△是等腰直角三角形