廣東省汕尾市部分學(xué)校2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．2．若，則函數(shù)有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值3．函數(shù)若對(duì)任意，（），都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．5．在中，，且的面積為，則角的大小為（

）A． B． C．或 D．或6．已知正四棱錐的底面積為64，側(cè)棱長，則該四棱錐的高為（

）A． B． C．8 D．7．某公司為了調(diào)查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知所抽取的所有員工的體重的方差為120，女員工的平均體重為，標(biāo)準(zhǔn)差為6，男員工的平均體重為，標(biāo)準(zhǔn)差為4.若樣本中有21名男員工，則女員工的人數(shù)為（

）A．28 B．35 C．39 D．488．在四棱錐中，底面是邊長為3的正方形，，平面平面，且該四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則一定是鈍角三角形B．若，，則有兩解C．若，則為等腰三角形D．若為銳角三角形，則10．已知平面向量，則下列說法正確的有（

）A．一定可以作為一個(gè)基底B．一定有最小值C．一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是11．如圖，棱長為2的正方體的外接球的球心為O，E、F分別為棱AB、的中點(diǎn)，G在棱BC上，則（

）A．對(duì)于任意點(diǎn)G，平面EFGB．存在點(diǎn)G，使得平面EFGC．直線EF被球O截得的弦長為D．過直線EF的平面截球O所得的截面圓面積的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)，（其中，為常數(shù)，且）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的值為，的取值范圍是．13．已知向量滿足，則．14．在三棱錐中，，其余棱長均相等，，分別為AB，PC的中點(diǎn)，垂直于的一個(gè)平面分別交棱PA，PB，CB，CA于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的面積為．(1)求角B的大小；(2)若，，是的一條中線，求線段的長．16．設(shè)為常數(shù)，函數(shù)．(1)設(shè)，求函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間；(2)若函數(shù)為偶函數(shù)，求此函數(shù)在上的值域．17．如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，平面？試證明你的結(jié)論．18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)設(shè)，求與平面所成角的正弦值.19．已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)令（其中），求函數(shù)的值域.

參考答案1．【答案】B【分析】首先分析題意，設(shè)出復(fù)數(shù)，求出復(fù)數(shù)的模找變量之間的關(guān)系，整體代入求解即可.【詳解】設(shè)則，所以，，即，則故選B.2．【答案】D【分析】由題意，，，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋裕?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)有最大值.故選D.3．【答案】A【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，（），都有成立，所以是減函數(shù)，則解得.故選A.【易錯(cuò)警示】分段函數(shù)的單調(diào)性，除了滿足在每一段上都單調(diào)之外，還要保證端點(diǎn)值符合單調(diào)性的要求.4．【答案】A【分析】根據(jù)，可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得的關(guān)系，再根據(jù)投影向量的公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕裕驗(yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴牵裕矗裕忠驗(yàn)椋耘c的夾角是.故選A.5．【答案】D【分析】結(jié)合已知利用面積公式得，利用特殊角的函數(shù)值求解即可.【詳解】的面積，解得，因?yàn)椋越堑拇笮榛?故選D.6．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖象利用勾股定理求解.【詳解】如圖：正四棱錐的底面積為64，則，又頂點(diǎn)S在在底面上的射影是四邊形的中心，過點(diǎn)作于，連接，則，又側(cè)棱長為，所以該四棱錐的高為.故選A.7．【答案】C【分析】設(shè)女、男員工的權(quán)重分別為和，根據(jù)方差公式可求出結(jié)果.【詳解】由題意，記樣本中女員工的平均體重和標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，所占權(quán)重為，男員工的平均體重和標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，所占權(quán)重為，所以樣本中全部員工的平均體重為，方差，化簡得，即，解得或（舍），所以女員工的人數(shù)為：，故選C.8．【答案】C【分析】由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，利用勾股定理求出、，再求出點(diǎn)到底面的距離，依題意可得球心在經(jīng)過底面中心且與底面垂直的直線上，設(shè)到底面的距離為，利用勾股定理求出，即可得到外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L為的正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，則，又，，，解得（負(fù)值舍去），所以，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，即點(diǎn)到底面的距離為，設(shè)，則，，球心在經(jīng)過底面中心且與底面垂直的直線上，設(shè)到底面的距離為，那么，，由可解得，故，即外接球的半徑，故球的表面積為.故選C.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】先求出、的長度，再確定外接球的球心在經(jīng)過底面中心且與底面垂直的直線上，利用勾股定理求出外接球的半徑.9．【答案】AD【分析】利用余弦定理可判斷A；利用正弦定理可判斷B；利用余弦定理統(tǒng)一成邊化簡后可判斷C；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以為鈍角，故A正確；在，，，，，則由正弦定理得，，得，所以無解，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋矗砜傻茫曰颍礊榈妊切位蛑苯侨切危蔆錯(cuò)誤；若為銳角三角形，則，所以，則，故D正確.故選AD.10．【答案】BC【分析】對(duì)A：借助基底的定義與向量共線定理計(jì)算即可得；對(duì)B：借助模長定義計(jì)算即可得；對(duì)C：借助模長與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；對(duì)D：找出反例即可得.【詳解】若，即，即，此時(shí)不能作基底，故A錯(cuò)誤；，即有最小值，故B正確；若，則有即，即，即，解得，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；由A知，若，則，即只能同向不能反向，故的夾角不可能為，故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，取為的中點(diǎn)時(shí)，證明平面即可判斷；C選項(xiàng)，求出球心到EF的距離，利用垂徑定理求解；D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)中的求解得到球心O到截面的距離，從而求出截面面積最小值.【詳解】當(dāng)與重合時(shí)，平面，平面，此時(shí)直線與平面相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，則，因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，因?yàn)椋矫妫瑒t平面，因?yàn)槠矫妫裕恚驗(yàn)椋矫妫云矫妫雌矫妫蔅正確；取的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，所以，同理可得，則，因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，所以，，則，球的半徑為，所以直線被球截得的弦長為，故C正確；設(shè)截面圓半徑為，球心到截面的距離為d，則.因?yàn)椋瑒t，所以截面圓面積，即截面圓面積的最小值為，D正確.故選BCD.12．【答案】；【分析】根據(jù)偶函數(shù)可知必為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，由此求得，根據(jù)方程的根得，，即可求解.【詳解】函數(shù)在上為偶函數(shù)，又函數(shù)，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，故必有一個(gè)零點(diǎn)為，，；結(jié)合為偶函數(shù)，函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程在有唯一的實(shí)數(shù)根，所以在有唯一的實(shí)數(shù)根，解得，時(shí)，，時(shí)，故且，，故；故答案為：；,．【方法總結(jié)】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)，求參數(shù)的值或取值范圍：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)，通過解方程(組)或不等式(組)確定參數(shù)的值或取值范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，化為a＝g(x)的形式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題；(3)數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)解析式(方程)作移項(xiàng)等變形，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì)求解．13．【答案】2【分析】把平方后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?.14．【答案】2【分析】將三棱錐置于如圖所示的長方體中，由面面平行的性質(zhì)定理，判定定理和線面垂直的判定定理證明四邊形EFGH為矩形，再設(shè)，，，表示出EFGH的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】將三棱錐置于如圖所示的長方體中，其中，又平面EFGH，平面，所以平面平面EFGH，又平面平面，平面平面，所以，同理，所以；同理，所以四邊形EFGH為平行四邊形，連接，，則，，所以平面，又平面，所以，所以，所以四邊形EFGH為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形EFGH的面積，當(dāng)時(shí)，．故答案為：2.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積公式和余弦定理得到，得到答案；（2）由，兩邊平方結(jié)合向量的運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由題意，可得的面積，由余弦定理，即，所以，即，又，所以；為的中點(diǎn)，則，又，，，所以，故，即線段的長度為.【方法總結(jié)】求三角形面積的方法：解三角形求出有關(guān)量，利用公式求面積，常用的面積公式為S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令，，解得，．所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)椋郑驗(yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以對(duì)于任意，均有成立，即，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立，只有當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)．因?yàn)椋裕裕裕创撕瘮?shù)在上的值域?yàn)椋娟P(guān)鍵點(diǎn)撥】（1）利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到對(duì)于任意，均有成立，即可求出的值，從而得到解析式，再根據(jù)的范圍求出的范圍，最后由余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.17．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，即可證明平面，平面，從而得到平面平面，即可得證；（2）連接，不妨設(shè)，依題意可得，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則有，，，所以，則與共面，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，即平面；（2）連接，不妨設(shè)，則，所以，因?yàn)槿庵膫?cè)棱垂直于底面，所以平面平面，又，即，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面，即平面，平面，所以，要使平面，只需即可，又，所以，即，（負(fù)值舍去），即時(shí)，平面.18．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，取的中點(diǎn)，證得，結(jié)合，得到，證得平面，得到，再由，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）不妨設(shè)，由是的中點(diǎn)，證得，再由，證得平面，設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，得到為與平面所成的角，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫移矫妫裕驗(yàn)椋遥矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫裕〉闹悬c(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，再由為的中位線，可得，所以，即垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕B接，因?yàn)椋瑒t，所以，所以為等腰三角形，所以，因?yàn)榍移矫妫云矫妫唬?）不妨設(shè)，則，因?yàn)椋傻茫詾榈妊苯侨切危遥忠驗(yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)椋遥矫妫云矫妫O(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，連接，所以為與平面所成的角，由，可得，所以，又由，可得，所以，即與平面所成角的正弦值為.【方法總結(jié)】求空間角的常用方法：定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量、平面法向量與平面法向量）的余弦值，通過轉(zhuǎn)化求出結(jié)果.19．【答案】(1)偶函數(shù)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（