甘肅省臨夏州2023?2024學年高一下學期期末質量監(jiān)測數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若，則（

）A． B． C． D．2．若復數，共軛復數為，則（

）A． B． C． D．3．石墩隨處可見，形狀各異，美化了我們的環(huán)境，已知某正四棱臺石墩的上、下底面邊長分別為40cm，58cm，側棱長為41cm，則該石墩的側面積為（

）A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm2 D．12804cm24．如圖，在中，點O是BC的中點，，分別連接MO,NO并延長，與邊AB的延長線分別交于P，Q兩點，若，則（

）

A．2 B．1 C．－2 D．－15．在中，若，則此三角形為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形6．在四邊形ABCD中，，，，，則四邊形ABCD的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．57．從11，12，13，，30中任意選一個數，則這個數是奇數或能被3整除的概率為（

）A． B． C． D．8．已知A，B，C三點均在球O的表面上，，且球O的內接正方體的棱長為，則球心O到平面ABC的距離為（

）A． B．1 C．2 D．二、多選題（本大題共3小題）9．八卦圖是中國古代哲學的重要符號，被廣泛應用于易經、中醫(yī)等領域，如圖1為八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則（

）

A． B．C． D．10．下列四個式子中，計算正確的是（

）A． B．C．若，則 D．11．如圖，在棱長均為1的四棱錐中，O為底面正方形的中心，分別為側棱的中點，則（

）

A． B．平面平面OMNC． D．四棱錐的體積為三、填空題（本大題共3小題）12．一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示(單位：cm)，則此幾何體的表面積為cm2．

13．計算：．14．某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如表所示．賠付金額/元01000200030004500車輛數/輛6008011012090若每輛車的投保金額均為2500元，估計賠付金額大于投保金額的概率為；在樣本車輛中，車主是新司機的占15%，在賠付金額為4500元的樣本車輛中，車主是新司機的占30%，估計在已投保的新司機中，獲賠金額為4500元的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在復平面內，A，B，C三點對應的復數分別為1，4＋4i，－2＋4i．(1)求向量對應的復數；(2)求的面積．16．在中，，，設點P是所在平面內的任意一點，．(1)求m的最小值；(2)當m取最小值時，求在方向上的投影．17．某射擊訓練隊制訂了如下考核方案：每一次射擊中10環(huán)、中8環(huán)或9環(huán)、中6環(huán)或7環(huán)、其他情況，分別評定為A，B，C，D四個等級，各等級依次獎勵2分、獎勵0分、罰2分、罰4分．假設評定為等級為A，B，C的概率分別是，，．(1)若某射擊選手射擊一次，求其被罰分的概率；(2)若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為0分的概率．18．如圖所示，三棱柱中，側棱垂直于底面，，，，點P，D分別為AB，的中點．

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求點C到平面的距離．19．“費馬點”是由法國數學家費馬提出的一個問題．該問題是：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．”意大利數學家托里拆利給出了解答．當的三個內角均小于120°時，使得的點O即為費馬點；當內有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內角所對的邊分別為，且．(1)求A；(2)若，的面積為，求；(3)若，設點P為的費馬點．求．

參考答案1．【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式計算得解.【詳解】由，得.故選A.2．【答案】C【分析】先求出其共軛復數為，然后由復數的乘法運算求解即可.【詳解】復數，則其共軛復數為，所以.故選C.3．【答案】C【分析】由棱臺的性質和勾股定理求得棱臺的斜高，再由棱臺的側面積公式，計算可得所求值．【詳解】設，，，可得正四棱臺的斜高為，所以棱臺的側面積為．故選C．4．【答案】B【分析】利用向量共線的推論與線性關系，求解系數，再結合向量減法即可求參.【詳解】因為三點共線，所以，又因為是中點，所以，因為，所以，所以，則所以，因為三點共線，所以，又因為是中點，所以，因為，所以，所以，則所以，所以，所以.故選B.5．【答案】B【分析】根據正弦定理邊角互化，結合三角恒等變換可得求解.【詳解】由可得,又,所以,因為為的內角，所以,所以為等腰三角形.故選B.6．【答案】D【分析】根據，得到四邊形是平行四邊形，再由，可得四邊形是矩形也為菱形即為正方形即可求解．【詳解】如圖所示，，四邊形是平行四邊形，分別表示的單位向量，，平方可得，，，四邊形是矩形，又平分，四邊形是菱形，四邊形是正方形，且，此四邊形的面積等于5.故選D．

7．【答案】B【分析】根據古典概型計算即可.【詳解】從11，12，13，，30中任意選一個數，則這個數是奇數或能被3整除有共13個，所以.故選B.8．【答案】B【分析】設球心O到平面ABC的距離為，的外接圓的半徑為，球的半徑為，則，計算即可.【詳解】設球心O到平面ABC的距離為，的外接圓的半徑為，球的半徑為，球O的內接正方體的棱長為，所以，因為，所以，所以，由球的性質可知，，即，所以.故選B.9．【答案】AC【分析】根據數量積的定義求解數量積，即可判定AD；根據相等向量的定義即可求解B；根據模長的定義即可求解C.【詳解】對于A：由正八邊形可得，則，故A正確；對于B：方向相反，故不是相等向量，故B錯誤；對于C：由正八邊形可得，故C正確；對于D：，故D錯誤．故選AC．10．【答案】ACD【分析】由兩角和的正切公式計算求解即可判斷A；應用兩角差的正弦公式計算即可判斷B；由二倍角的正弦公式計算即可判斷C；應用輔助角公式化簡計算即可判斷D.【詳解】，故A正確；，故B錯誤；若，則，故C正確；，故D正確.故選ACD.11．【答案】ABC【分析】根據中位線可判斷A；根據線線平行證明線面平行，即可求解B；根據三角形的邊長關系，即可求解C；根據錐體的體積公式即可求解D.【詳解】對于A：因為分別為側棱的中點，所以,又，故，故A正確；對于B：連接，因為分別為側棱的中點，所以，因為平面,平面,所以平面,同理，因為平面,平面,所以平面,因為，平面，所以平面平面，故B正確；對于C：因為，所以，所以，又，所以，故C正確；對于D：因為，所以，故D錯誤.故選ABC.

12．【答案】【分析】幾何體是由圓錐和圓柱組成的，由圓柱與圓錐的表面積公式計算求解即可.【詳解】此幾何體是由圓錐和圓柱組成的，圓錐的底面半徑為，高，所以母線長為：，所以其側面積為：，圓柱的底面積為：，側面積為：，所以該幾何體的表面積為：.13．【答案】【分析】由復數的除法與乘方運算求解即可.【詳解】.14．【答案】0.210.18【分析】計算出賠付金額大于投保金額的頻率，得到估計賠付金額大于投保金額的概率；再求出投保的新司機人數和賠付金額為4500元的樣本車輛中的新司機人數，估計出在已投保的新司機中，獲賠金額為4500元的概率.【詳解】賠付金額大于投保金額的頻率為，估計賠付金額大于投保金額的概率為0.21，在樣本車輛中，車主是新司機的占15%，故投保的新司機人數為，在賠付金額為4500元的樣本車輛中，車主是新司機的占30%，即人，估計在已投保的新司機中，獲賠金額為4500元的概率為.15．【答案】(1)(2)12【分析】（1）由復數的幾何意義求解即可；（2）計算向量的模長，判斷出為等腰三角形，求解其面積即可.【詳解】（1）對應的復數為．對應的復數為．對應的復數為；（2）因為，，，所以，所以為等腰三角形．邊上的高為，所以．16．【答案】(1)30(2)【分析】（1）由，得，建立平面直角坐標系，表示出，求最小值即可；（2）由（1）得m取最小值時，點，然后計算在方向上的投影即可.【詳解】（1）由，得．以A為坐標原點，直線AB，AC分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則，，．設，則，所以的最小值為30，即m的最小值為30；（2）由（1）得m取最小值時，點，得，，所以，，，所以在方向上的投影為．17．【答案】(1)(2)【分析】（1）設事件分別表示“被評為等級A，B，C，D”.由題意，事件兩兩互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可；（2）設事件，且事件互斥，然后分別求出對應的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可.【詳解】（1）設事件A，B，C，D分別表示“被評定為等級A，B，C，D”．由題意可知，事件A，B，C，D兩兩互斥，所以．又因為被罰分，所以．因此其被罰分的概率為；（2）設事件，，，表示“第i次被評定為等級A，B，C，D”，，2．則“兩次射擊得分之和為0分”為事件，且事件，，互斥，，，所以兩次射擊得分之和為0分的概率為.18．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)【分析】（1）連接，利用線面平行的判定推理即得；（2）利用線面垂直的判定、性質推理即得；（3）連接，交于點E，連接BE，過點C作于，利用線面垂直的判定、性質推證平面，再借助直角三角形求出即可.【詳解】（1）如圖，連接，在中，D，P分別是，AB的中點，則，而平面，平面，所以平面；（2）因為，所以，所以，即，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，則，又，所以；（3）如圖，連接，交于點E，連接BE，過點C作，F為垂足，易知為的中點，因為平面，平面，所以，因為，所以為等腰直角三角形，所以，所以且，又，，CB，平面CBE，所以平面CBE，又平面CBE，所以，又，，平面，所以平面，即CF為點C到平面的距離，因為平面，平面，所以，所以，所以點C到平面的距離．19．【答案】