新疆生產建設兵團二中2025年數學高二下期末學業質量監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是虛數單位,復數的共軛復數(

)A． B． C． D．2．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．20 B．10 C．30 D．603．下面有五個命題：①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπA．①③ B．①④ C．②③ D．③④4．設，，則A． B．， C． D．，5．已知兩變量x和y的一組觀測值如下表所示：x234y546如果兩變量線性相關，且線性回歸方程為，則＝()A．－ B．－C． D．6．設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則（）A．B．C．D．7．為了解某社區居民的家庭年收入和年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：收入萬8.38.69.911.112.1支出萬5.97.88.18.49.8根據上表可得回歸直線方程，其中，元，據此估計，該社區一戶收入為16萬元家庭年支出為（）A．12.68萬元 B．13.88萬元 C．12.78萬元 D．14.28萬元8．定積分121xdxA．-34 B．3 C．ln9．已知函數，若是圖象的一條對稱軸的方程，則下列說法正確的是（）A．圖象的一個對稱中心 B．在上是減函數C．的圖象過點 D．的最大值是10．已知雙曲線上有一個點A，它關于原點的對稱點為B，雙曲線的右焦點為F，滿足，且，則雙曲線的離心率e的值是A． B． C．2 D．11．設是虛數單位，條件復數是純虛數，條件，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．復數的模是()A．3 B．4 C．5 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．己知，，則______.14．執行如圖所示的程序框圖則輸出的實數m的值為______．15．的展開式中，的系數為__________（用數字作答）．16．如圖，已知中，點M在線段AC上，點P在線段BM上，且滿足，若，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對的邊分別為．已知．（1）若，，求的面積；（2）求的取值范圍．18．（12分）已知．（1）討論的單調性；（2）若存在及唯一正整數，使得，求的取值范圍．19．（12分）設是數列{}的前項和，，且.(I)求數列{}的通項公式；(Ⅱ)設，求.20．（12分）如圖,平面平面為等邊三角形,,過作平面交分別于點,設.（1）求證：平面；（2）求的值,使得平面與平面所成的銳二面角的大小為.21．（12分）已知拋物線:的焦點為，準線為，與軸的交點為，點在拋物線上，過點作于點，如圖1.已知，且四邊形的面積為.（1）求拋物線的方程；（2）若正方形的三個頂點，，都在拋物線上（如圖2），求正方形面積的最小值.22．（10分）已知矩陣，矩陣B的逆矩陣.（1）求矩陣A的特征值及矩陣B.（2）若先對曲線實施矩陣A對應的變換，再作矩陣B對應的變換，試用一個矩陣來表示這兩次變換，并求變換后的結果.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用復數代數形式的乘法運算化簡z，再由共軛復數的概念得到答案.【詳解】因為，所以，故選B.該題考查的是有關復數的共軛復數問題，涉及到的知識點有復數的除法運算法則，復數的乘法運算法則，以及共軛復數，正確解題的關鍵是靈活掌握復數的運算法則.2、B【解析】

根據三視圖還原幾何體，根據棱錐體積公式可求得結果.【詳解】由三視圖可得幾何體直觀圖如下圖所示：可知三棱錐高：；底面面積：三棱錐體積：本題正確選項：本題考查棱錐體積的求解，關鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，從而準確求解出三棱錐的高和底面面積.3、B【解析】

①先進行化簡，再利用求周期的公式即可判斷出是否正確；②對k分奇數、偶數討論即可；③令h（x）=x﹣sinx，利用導數研究其單調性即可；④利用三角函數的平移變換化簡求解即可．【詳解】①函數y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，∴最小正周期T=2π2=π，∴函數y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①②當k=2n（n為偶數）時，a=2nπ2=nπ，表示的是終邊在x軸上的角，故②③令h（x）=x﹣sinx，則h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數h（x）在實數集R上單調遞增，故函數y=sinx與y=x最多只能一個交點，因此③不正確；④把函數y=3sin（2x+π3）的圖象向右平移π6得到y=3sin（2x﹣π3綜上可知：只有①④正確．故選B．本題綜合考查了三角函數的周期性、單調性、三角函數取值及終邊相同的角，利用誘導公式進行化簡和利用導數判斷單調性是解題的關鍵．4、A【解析】

利用一元二次不等式的解法以及對數函數的單調性，求出集合，，然后進行交集的運算即可。【詳解】，；，故選．本題主要考查區間表示集合的定義，一元二次不等式的解法，對數函數的定義域及單調性，以及交集的運算．5、D【解析】

先計算＝＝3，＝＝5，代入方程即可．【詳解】＝＝3，＝＝5，代入線性回歸方程可得5＝3＋，解之得＝.故選D線性回歸直線必過樣本中心．6、C【解析】

由已知函數為偶函數，把，轉化為同一個單調區間上，再比較大小．【詳解】是R的偶函數，．，又在(0，+∞)單調遞減，∴，，故選C．本題主要考查函數的奇偶性、單調性，解題關鍵在于利用中間量大小比較同一區間的取值．7、A【解析】

由已知求得，，進一步求得，得到線性回歸方程，取求得值即可．【詳解】，．又，∴．∴．取，得萬元，故選A．本題主要考查線性回歸方程的求法，考查了學生的計算能力，屬于中檔題．8、C【解析】

直接利用微積分基本定理求解即可．【詳解】由微積分基本定理可得，121x本題主要考查微積分基本定理的應用，意在考查對基礎知識的掌握情況，屬于基礎題．9、A【解析】

利用正弦函數對稱軸位置特征，可得值，從而求出解析式，利用的圖像與性質逐一判斷即可．【詳解】∵是圖象的一條對稱軸的方程，∴，又，∴，∴.圖象的對稱中心為，故A正確；由于的正負未知，所以不能判斷的單調性和最值，故B，D錯誤；，故C錯誤.故選A.本題主要考查三角函數的圖像與性質．10、B【解析】

設是雙曲線的左焦點，由題可得是一個直角三角形，由，可用表示出，，利用雙曲線定義列方程即可求解．【詳解】依據題意作圖，如下：其中是雙曲線的左焦點，因為，所以，由雙曲線的對稱性可得：四邊形是一個矩形，且，在中，，,,由雙曲線定義得：，即：，整理得：，故選B本題主要考查了雙曲線的簡單性質及雙曲線定義，考查計算能力，屬于基礎題．11、A【解析】

復數是純虛數，必有利用充分條件與必要條件的定義可得結果.【詳解】若復數是純虛數，必有所以由能推出；但若,不能推出復數是純虛數.所以由不能推出.，因此是充分不必要條件,故選A.本題主要考查復數的基本概念以及充分條件與必要條件的定義，屬于簡單題.判斷充要條件應注意：首先弄清條件和結論分別是什么，然后直接依據定義、定理、性質嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉化為包含關系來處理.12、C【解析】

直接利用復數的模的定義求得的值．【詳解】|，故選：C．本題主要考查復數的模的定義和求法，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用公式，能求出向量與的夾角的余弦值．【詳解】解：因為，，所以，，故答案為：本題考查向量的夾角的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用，屬于基礎題．14、1【解析】

先要通讀程序框圖，看到程序中有循環結構，然后代入初值，看是否進入循環體，是就執行循環體，寫清每次循環的結果；不是就退出循環，看清要輸出的是何值．【詳解】模擬執行程序，可得，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，不滿足條件，退出循環，輸出m的值為1．故答案為：1．本題考查程序框圖要掌握常見的當型、直到型循環結構；以及會判斷條件結構，并得到條件結構的結果；在已知框圖的條件下，可以得到框圖的結果．15、【解析】.16、-2【解析】.,化為,故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理和利用，得到，最后求面積；（2）由已知可得，所以，轉化為三角函數恒等變形，得到，根據角的范圍求函數的取值范圍.【詳解】解：（1）在中，∵，∴，∵，，由正弦定理得：，∴，∴，，∴．（2）.∵，∴.∴，則.本題考查了利用正余弦定理解三角形，和三角恒等變換求函數的最值，第一問也可利用余弦定理求邊，利用求面積.18、（1）的單調遞減區間是，單調遞增區間是;(2)的取值范圍是.【解析】試題分析：（1）求出函數的導函數，通過對導函數符號的討論可得函數的單調性．（2）由題意得函數在上的值域為．結合題意可將問題轉化為當時，滿足的正整數解只有1個．通過討論的單調性可得只需滿足，由此可得所求范圍．試題解析：（1）由題意知函數的定義域為．因為，所以，令，則，所以當時，是增函數，又，故當時，單調遞減，當時，單調遞增．所以上單調遞減，在上單調遞增．（2）由（1）知當時，取得最小值，又，所以在上的值域為．因為存在及唯一正整數，使得，所以滿足的正整數解只有1個．因為，所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，解得．所以實數的取值范圍是．點睛：本題中研究方程根的情況時，通過導數研究函數的單調性、最大（小）值、函數圖象的變化趨勢等，根據題目畫出函數圖象的草圖，通過數形結合的思想去分析問題，使問題的解決有一個直觀的形象，然后在此基礎上再轉化為不等式（組）的問題，通過求解不等式可得到所求的參數的取值（或范圍）．19、（Ⅰ）an＝2n．（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用數列遞推關系即可得出．(Ⅱ)利用裂項求和即可求解．【詳解】∵4Sn＝an（an+2），①當n＝1時得，即a1＝2，當n≥2時有4Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+2）②由①﹣②得，即2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），又∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n．（Ⅱ）∵，∴Tn＝b1+b2+…+bn本題考查了數列遞推關系、裂項求和、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20、（1）詳見解析（2）【解析】試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需結合平幾條件，如三角形相似，本題可根據得,而，因此（2）利用空間向量研究二面角，首先利用垂直關系建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解兩個平面的法向量，利用向量數量積求夾角，最后根據向量夾角與二面角之間關系得等量關系，求的值試題解析：（1）證明：如圖,以點為原點建立空間直角坐標系,不妨設,則,由,得,則.易知是平面的一個法向量,且,故,又因為平面,平面.（2）,設平面法向量為,則,故可取,又是平面的一個法向量,由為平面與平面所成銳二面角的度數),以及得,.解得或(舍去),故.考點：線面平行判定定理，利用空間向量研究二面角【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.21、（1）；（2）.【解析】

（1）通過借助拋物線的幾何性質，設，通過勾股定理可求得，借助線段關系可求得，再借助梯形面積公式最終可求得值，進而求得拋物線的方程；（2）先通過設而不求得方法分別表示出，，和直線的斜率為和的斜率，通過正方形的邊長關系代換出與直線的斜率的關系，將面積用含的式子整體代換表示，最終通過均值不等式處理可求得正方形面積的最小值.【詳解】（1）設，由已知，則，，四邊形的面積為，∴，拋物線的方程為：.（2）設，，，直線的斜率為.不妨，則顯然有，且.∵，∴.由得即，即.將，代入得，∴，∴.故正方形面積為.∵，∴（當且僅當時取等）.又∵，∴，∴（當且僅當時取等）.從而，當且僅當時取得最小值.結合幾何關系求解曲線方程是常見題型，解題思路是通過曲線的幾何性質和幾何關系聯立求解；直線與曲線問題是圓錐曲線中考查概率最大的一種題型，通過韋達定理求解是常規方法，本題中由于涉及坐標點較多，故采用設而不求，便捷之處在于能簡化運算，本題中通過此法搭建了與斜率的表達式，為后續代換省去不少計算步驟，但本題難點在于最終關于的因式的最值求解