高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學校2024-2025學年高一上學期期末聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，根據交集的運算，所以.故選：D.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“，”的否定為，.故選：C.3.在半徑為4的圓中，弧長為的弧所對的圓心角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】弧長為的弧所對的圓心角為.故選：D.4.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知是偶函數，排除，又且，排除C.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.6.函數的零點所在的區間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為冪函數和函數在上單調遞增，所以在上單調遞增.因為冪函數在上單調遞增，所以，因為指數函數在上單調遞減，所以，.由零點存在定理知零點所在區間為.故選：B.7.已知冪函數的圖象過點，函數，則“”的一個充分不必要條件為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設冪函數，因為其圖象過點，所以，解得，所以，所以，又滿足，所以在上單調遞減，所以，所以的取值范圍是，因為為的真子集，故為一個充分不必要條件，其他選項不合要求.故選：C.8.已知定義在上的函數滿足，且當時，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數滿足，所以，可得的周期為，又當時，，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若，則B.終邊在軸上的角的集合為C.若為鈍角，則不一定是第三或第四象限角D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，故，故A正確；對于B，終邊在軸上的角，如取，顯然，故B錯誤；對于C，若為鈍角，如取，則，不是第三或第四象限角，故C正確；對于D，，則，所以，故D正確.故選：ACD.10.下列函數中，在區間上單調遞增，且為偶函數的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】在區間上單調遞增，但是奇函數，故A錯誤；在上單調遞增，且是偶函數，故B正確；在上單調遞減，是偶函數，故C錯誤；在上單調遞增，是偶函數，故D正確.故選：BD.11.已知是定義在上的偶函數，且當時，，則（）A.當時，B.的單調遞增區間為、C.若，，則的取值范圍是D.方程的所有實數根之積為【答案】ACD【解析】對于A選項，當時，，則，又由為偶函數可得，故A正確；對于B選項，由題意，函數的圖象如圖所示，的遞增區間有3個，故B錯誤；對于C選項，因為，，所以只需對于任意，，由圖知，即，故C正確；令，則，解得，即，若，即，解得或；若，即，解得，所以方程所有實數根之積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的定義域為__________.【答案】【解析】由，即，所以函數的定義域為.13.已知正數滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】因為，所以，當且僅當即時，取得最小值.14.函數的圖象的對稱中心坐標為__________.【答案】【解析】解法一：設圖象的對稱中心坐標為，則，所以，整理可得，此式對定義域內的任意值都成立，則必有，所以，回代可得，解得，故對稱中心坐標為.解法二：易知函數的定義域為，且，故圖象的對稱中心橫坐標為，將其代入中，可得，所以圖象的對稱中心坐標為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）當時，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當時，，又集合，所以，所以解或.（2）因為，所以.又，故解得.所以實數的取值范圍是.16.如圖，在平面直角坐標系中，銳角的終邊與單位圓交于點，將角的終邊按逆時針方向旋轉后得到角的終邊，并與單位圓交于點．（1）求點的坐標；（2）求的值．解：（1）由得，，又，所以，由題可知，所以，，所以點的坐標為．（2）由（1）可知．所以．17.某大學校園選擇了一個八邊形區域設計一個校園景觀，如圖所示，圖中四個三角形為全等的等腰直角三角形，主干路總面積（圖中陰影部分和中間白色正方形面積之和）為，在重合的部分處建一正方形特色涼亭，涼亭造價為600元；在四個空角（圖中四個三角形）建造水池和噴泉，造價為1600元；四個矩形路（圖中陰影部分）不處理，造價忽略不計.設長為（單位：），長為（單位：）.（1）求關于的函數關系式；（2）設校園景觀總造價為（單位：元），求的最小值.解：（1）由題意可知，即，又，得，解得，所以關于函數關系式為.（2）由題意可得，涼亭總造價為元，水池和噴泉總造價為元，所以校園景觀總造價.當且僅當，即時等號成立，經檢驗，所以當時，取最小值40000元.18.已知函數的圖象過點.（1）求的解析式和最小正周期；（2）求的單調遞增區間；（3）若關于的不等式在區間上有解，求實數的取值范圍.解：（1）由題意得，，，，即，，，所以的最小正周期為.（2）設，因為的單調遞增區間是，所以由，解得，所以函數的單調遞增區間為.（3）不等式在區間上有解，即為在區間上有解，因為，所以，當，即時，取得最小值，所以只需，故實數的取值范圍是.19.定義一種新運算“”，.（1）計算，并判斷與的大小關系；（2）若函數有最小值，且最小值大于0，求所有滿足題意整數的值；（3）已知關于的不等式的解集為中的整數恰有4個，求實數的取值范圍.解：（1）因為.所以.，，所以.（2），令，則問題轉化為二次函數在區間上有最小值，且最小值