高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．考查范圍：選擇性必修第一冊占20%，選擇性必修第二冊占50%，選擇性必修第三冊第六章至第七章第一節(jié)占30%．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.小明計劃從福建到北京旅游，沿途要經(jīng)過上海中轉(zhuǎn)，已知小明從福建到上海有3種出行方式，從上海到北京有4種出行方式，則小明從福建到北京的出行方式有（）A.6種 B.7種 C.12種 D.18種【答案】C【解析】由分步乘法計數(shù)原理可知，小明從福建到北京的出行方式有種．故選：C.2.已知數(shù)列滿足，若，則（）A. B. C.0 D.4【答案】A【解析】由數(shù)列滿足，且，令，可得；令，可得．故選：A．3.已知小明和小紅參加學(xué)校組織的興趣小組活動，已知兩人同時報名圍棋興趣小組的概率為，且在小明已報名圍棋興趣小組的條件下，小紅報名圍棋興趣小組的概率為，則小明報名圍棋興趣小組的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記小明，小紅報名圍棋興趣小組分別為事件，則，故．故選：D．4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，令，即，則，而當時，，則，故．故選：A．5.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則的公比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為且，可得，即，解得．故選：C．6.已知三棱柱如圖所示，其中，若點為棱的中點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)空間向量的線性運算法則，可得：．故選：D7.小明計劃從地到地，途經(jīng)4個旅游景點，其按照的順序方式出行，其中從地到第1個景點以及第1個景點到第2個景點，他可以選擇地鐵或者滴滴打車這兩種出行方式，從第2個景點到第3個景點以及第3個景點到第4個景點，他可以選擇滴滴打車或者共享單車這兩種出行方式，從第4個景點到地可以選擇巴士或者動車這兩種出行方式，則小明從地到地用到了四種不同的出行方式的方案有（）A.12種 B.14種 C.16種 D.18種【答案】C【解析】從地到地，一共5段路，前4段路一共有3種出行方式，最后一段路有2種出行方式，且與前3種不同，故前4段路需要用到3種不同的出行方式，由此可分類為：若從地到第1個景點以及從第1個景點到第2個景點小明選擇相同的出行方式（只能選擇地鐵），則共有種方案；若從地到第1個景點以及從第1個景點到第2個景點小明選擇不同的出行方式，則有種方案，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，則共有種不同的出行方式．故選：C．8.已知點在圓上，直線與兩坐標軸分別交于，兩點，若存在點使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓，由題意可知直線與兩坐標軸的交點為，不妨設(shè)，則，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，故以為直徑的圓與圓有交點，而，由兩圓相交得，解得．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知拋物線的焦點為，點在上，則（）A. B.的準線方程為C.若，則 D.以為直徑的圓與軸相切【答案】ACD【解析】對于A中，由拋物線，可得其焦點為，所以A正確；對于B中，拋物線的準線方程為，所以B錯誤；對于C中，因為點在上，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，所以C正確；對于D中，由拋物線的定義，可得，則線段的中點坐標（即圓心）到軸的距離為，故以為直徑的圓與軸相切，所以D正確．故選：ACD．10.小明和小強等6位同學(xué)去電影院觀影，已知電影院一排有6個位置，若這6位同學(xué)坐在一排，則（）A.不同的坐法有720種B.若小明和小強坐在一起，則不同的坐法有240種C.若小明和小強不坐在一起，則不同的坐法有240種D.若小明在小強的左邊，則不同的坐法有300種【答案】AB【解析】對于A中，不同的坐法有種，所以A正確；對于B中，若小明和小強要一起坐，則不同的坐法有種，所以B正確；對于C中，若小明和小強不坐在一起，則不同的坐法有種，所以C錯誤；對于D中，若小明在小強的左邊，則不同的坐法有種，所以D錯誤．故選：AB．11.伯努利不等式，又稱貝努利不等式，是分析不等式中最常見的一種不等式，由數(shù)學(xué)家伯努利?雅各布提出，其形式為：，則.基于上述事實，則（）A.若，則當且僅當時伯努利不等式的等號成立B.C.當且時，若不等式恒成立，則D.，【答案】ACD【解析】當時，伯努利不等式化為，令，得.由，故，故選項A正確；由伯努利不等式可知.設(shè)，則.令，解得；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立，故選項B錯誤；當時，由伯努利不等式可知.設(shè)，則的定義域為，.令，解得；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以當且僅當時等號成立，所以.當時，令，注意到，且，可知存在正數(shù)，使得當時，單調(diào)遞減，此時在為負值；同理可得，當時，在時為負值，故選項C正確；由伯努利不等式可知，所以，記，則，兩式相減可得：，故，所以，，故選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則______．【答案】6【解析】依題意，.13.已知函數(shù),若曲線在處切線與直線相互垂直，則______．【答案】【解析】由函數(shù)，可得，因為曲線在處的切線與直線相互垂直，可得，解得.故答案為：.14.在一堂數(shù)學(xué)選修課上，老師和學(xué)生玩一個數(shù)學(xué)游戲，老師將一根彩色粉筆放入四個盒子中的某一個，讓學(xué)生猜測粉筆在哪個盒子中，在學(xué)生作出選擇之后，數(shù)學(xué)老師會隨機在其他三個盒子中先揭示一個沒有粉筆的盒子，詢問學(xué)生是否改變選擇，在學(xué)生最終敲定選擇后，老師揭示答案，若該同學(xué)選擇了盒為答案，則在數(shù)學(xué)老師揭示粉筆不在盒的條件下，粉筆最終在盒的概率為______．【答案】【解析】用分別表示粉筆在四個盒子，用分別表示老師打開四個盒子，則，，，，，由全概率公式可得，而，故．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．解：（1）依題意，，故，而，故所求切線方程為，即．（2）令，解得，故當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．故當時，取到極小值，無極大值．16.已知數(shù)列的前項積為，其中．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求使得的的最小值．解：（1）由數(shù)列的前項積為，且，當時，，解得；當時，且，兩式相除，可得，則，當時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知：，可得，所以，令，可得，解得，因為，故滿足條件的的最小值為.17.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）采用賦值法，令，得；（2）展開式的通項，項的系數(shù)來源有兩部分，一是乘以的二次項，二是1乘以的三次項，所以，；（3）仍然采用賦值法，令，可得，①令，可得，②兩式相加可得，．18.已知雙曲線的漸近線方程為，且過點．（1）求的方程；（2）已知為坐標原點，，點在的左支上,點在的右支上，若三點共線，且三點共線，證明：直線與圓相切．解：（1）依題意，解得，故的方程為（2）如圖：設(shè)，當時，易知直線的方程為，與圓相切，當時，因為三點共線，故關(guān)于原點對稱，則，則，設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立，則，①直線的方程為，則到的距離，②聯(lián)立①②，解得，而圓的半徑為，故直線與圓相切．19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上有3個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，求使得關(guān)于的不等式恒成立的的最小值.解：（1）依題意，，則，若，即時，恒成立，故在上單調(diào)遞增；若，即或時，令，解得，故當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.綜上所述，若，則在上單調(diào)遞增；若或，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.