高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省寧德市2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則.故選：C.2.“每個三角形的重心都在其內部”的否定是（）A.每個三角形的重心都在其外部B.每個三角形的重心都不在其內部C.至少有一個三角形的重心在其內部D.至少有一個三角形的重心不在其內部【答案】D【解析】“每個三角形的重心都在其內部”的否定是“至少有一個三角形的重心不在其內部”.故選：D3.冪函數是偶函數，則的值是（）A. B. C.1 D.4【答案】C【解析】因為是冪函數，所以，即，解得或，當時，可化為，易知的定義域為，關于原點對稱，且，所以是偶函數，滿足題意；當時，可化為，顯然，故不是偶函數，不滿足題意；綜上：.故選：C.4.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數，有，可得，等價于，解得，故函數的定義域為.故選：A.5.若函數在區間上為增函數，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為3 D.的最大值為3【答案】C【解析】由得，，二次函數圖象開口向下，對稱軸為直線,由函數在區間上為增函數得，，解得，所以的最小值為3且無最大值.故選：C.6.已知集合，，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.若，則，即；若，則解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：B7.若函數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，解得.故選：C8.已知，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】因為，所以，所以．因為，，所以，，所以，當且僅當，即，時，等號成立，則，即的最小值是1．故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列判斷正確的是（）A.方程組的解集為B.“四邊形是梯形”是“四邊形有一組對邊平行”的充分不必要條件C.若，則的取值集合為D.“”是存在量詞命題【答案】BCD【解析】對于A，方程組的解集為，A錯誤；對于B，梯形有一組對邊平行，但有一組對邊平行的四邊形不一定是梯形，B正確；對于C，當時，，由，得，C正確；對于D，是存在量詞命題，D正確的.故選：BCD10.若與分別為定義在R上的偶函數、奇函數，則函數的部分圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為與分別為定義在上的偶函數、奇函數，所以，所以函數為奇函數，所以的圖象關于原點對稱.故選：AC.11.如圖，在中，，，點分別邊上，點均在邊上，設，矩形的面積為，且關于的函數為，則（）A.的面積為 B.C.先增后減 D.的最大值為【答案】ACD【解析】取的中點，連接，則，且，所以的面積為A正確.過作，垂足為，設與交于點，由等面積法可得，則.由，得，則，所以，則，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為，B錯誤，C，D均正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.用符號“”或“”填空：（1）若為所有亞洲國家組成的集合，則泰國__________；（2）__________，__________.【答案】①.②.③.【解析】因為泰國屬于亞洲，所以泰國；因為表示有理數，不是有理數，是有理數，所以，，故答案為：，，.13.已知甲地下停車庫收費標準如下：（1）停車不超過1小時免費；（2）超過1小時且不超過3小時，收費5元；（3）超過3小時且不超過6小時，收費10元；（4）超過6小時且不超過9小時，收費15元；（5）超過9小時且不超過12小時，收費18元；（6）超過12小時且不超過24小時，收費24元．小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，若他在當天18：30將車開出車庫，則他需交的停車費為______．乙地下停車庫的收費標準如下：每小時2元，不到1小時按1小時計費．若小林將車停入乙車庫（停車時長不超過24小時），要使得車停在乙車庫比甲車庫更優惠，則小林停車時長的最大值為______．【答案】①.15②.7【解析】小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，在當天18：30將車開出車庫，則停車時長為8小時8分鐘，滿足超過6小時且不超過9小時，所以需交停車費15元；設小林的停車時長為小時，則在乙車庫需交停車費為元，根據題意知當停車時長超過9小時后，乙車庫停車比甲車庫停車更貴，當停車時長超過6小時且不超過9小時，要使得乙車庫停車比甲車庫停車更優惠，則，解得，所以小林的停車時長最大值為7小時.故答案為：15；7.14.已知函數，若與的單調性相同，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】當，即時，在上為增函數；當，即時，在上為減函數.當時，，當，即時，在上為減函數；當，即時，在上為增函數.當a=2時，，x>0，故當時，與的單調性相同，都為增函數.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數滿足.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.解：（1）令，得，則.故.（2）由（1）得為二次函數，圖象開口向上，對稱軸為直線.當時，取得最小值，且最小值為0.∵，∴的最大值為9.∴在上的值域為.16.（1）若為奇函數，當時，，求f1；（2）用列舉法表示集合：；（3）求不等式組的解集.解：（1）因為為奇函數，所以，因為當時，，所以f-1=2，所以.（2）若，則，且，因為，則，解得，所以，；（3）由，得，得或.由，得，得.故不等式組的解集為或.17.（1）已知，，且，求的最大值；（2）證明：、、，.（1）解：因為，，且，由基本不等式可得，可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最大值為；（2）證明：因為、、都是正數，由基本不等式可得，，，由不等式的基本性質可得，當且僅當時，等號成立.故.18.已知函數，，（1）用函數單調性的定義證明：函數在區間上單調遞減.（2）當時，寫出hx的單調區間.（3）若hx在上為單調函數，求的取值范圍.（1）證明：當時，.設是區間上任意兩個實數，且，則，于是，由函數單調性的定義可知，函數在區間上單調遞減.（2）解：當時，，則由一次函數和二次函數的圖象和性質可知，的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.（3）解：由，解得或.由題意得在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，因為在上為單調函數，所以在上為增函數，所以，即的取值范圍是.19.若存在有限個，使得，且不是偶函數，則稱為“缺陷偶函數”，且為的偶點.（1）求函數的偶點.（2）若均為定義在上的“缺陷偶函數”，試舉例說明可能是“缺陷偶函數”，也可能不是“缺陷偶函數”.（3）對任意，函數都滿足.①比較與的大小；②若是“缺陷偶函數”，求取值范圍.解：（1）由，得，則，解得，所以函數的偶點為.（2）取，易證