高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區2024-2025學年高一上學期期末練習數學試題一、單項選擇題.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.2.下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，函數定義域為，不具奇偶性，A不是；對于B，，B不是；對于C，函數在上單調遞減，C不是；對于D，函數定義域為，，函數是偶函數，當時，在上單調遞增，D是.故選：D.3.已知函數，在下列區間中，一定包含零點的區間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數都是R上的增函數，則函數是R上的增函數，而，所以的零點在區間內.故選：A.4.某校高一年級有名男生，名女生.為了解高一學生研學路線的選擇意向，采用分層抽樣的方法，從該校高一學生中抽取容量為的樣本進行調查，其中女生名，則的值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，所以.故選：B.5.已知，，則實數的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，因此實數的大小關系是.故選：B.6.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，由，得，A錯誤；對于C，由，得，，C正確；對于B，由，，因此，B錯誤；對于D，由，得，，D錯誤.故選：C.7.已知函數.若恒成立，則的取值可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當時，不等式，依題意恒成立，而當時，，當且僅時取等號，因此，ABC不是，D是.故選：D.8.點聲源亦稱“球面聲源”或“簡單聲源”.已知點聲源在空間中傳播時，衰減量（單位：）與傳播距離（單位：）關系式為，其中為常數.當傳播距離為時，衰減量為；當傳播距離為時，衰減量為.若，則約為（）（參考數據：）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意（）.故選：A.9.設函數的定義域為，開區間，則“，且，都有”是“在上是增函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】函數在上是增函數，則且，都有，必要性成立；取函數，區間，顯然且，都有，而函數在上不單調，充分性不成立，所以“且，都有”是“在上是增函數”的必要不充分條件.故選：B.10.已知函數，若在區間上既有最大值，又有最小值，則下列說法正確的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值【答案】D【解析】因為，當時，，易知在區間上單調遞增，且，當時，，對稱軸為，易知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，圖象如圖所示，由，得到或（舍），又在區間上既有最大值，又有最小值，由圖知，，，所以選項A，B和C錯誤，選項D正確，故選：D.二、填空題.11.計算：=________________.【答案】【解析】因為.12.已知命題：若二次函數滿足，則在區間內無零點.能說明為假命題的一個函數是__________________.【答案】（答案不唯一，，滿足時，或時，即可）【解析】令，由得到，當時，假設在區間0,3內有零點，則有①，不妨取，顯然滿足①式，此時，令，得到，所以，滿足，但在區間0,3內有零點，故滿足題意，當時，假設在區間0,3內有零點，則有②，不妨取，顯然滿足②式，此時，令，得到，所以，滿足，但在區間0,3內有零點，故滿足題意.13.已知的圖象經過點，則__________；若方程有兩個不等實數根，滿足，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題知，得到，所以，又方程有兩個不等實數根，則，又，得到，得到，由，得到或，所以.14.已知是定義在上的奇函數，當時，的圖象如圖所示，則不等式的解集為_______________.【答案】【解析】觀察圖象知，奇函數在上單調遞增，則在上單調遞增，且，不等式，當時，不等式成立；當時，，解得；當時，，解得，所以不等式的解集為.15.函數，其中表示不超過a的最大整數．給出下列四個結論：①的定義域為；②方程沒有實數根；③函數的值域為；④存在實數，使得當且時，都有．其中所有正確結論的序號是__________________．【答案】②③④【解析】對于①，當時，，函數無意義，①錯誤；對于②，由，得，而，因此方程沒有實數根，②正確；對于③，函數，令，則，，，而，隨的增大而增大，則，，因此，函數的值域為，③正確；對于④，取，，，由，得，令，則，由，得，而，當，取，此時，，，，都有，④正確，所以所有正確結論的序號是②③④.三、解答題.16.已知關于不等式的解集，集合．（1）求實數的值；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求實數的取值范圍．條件①：；條件②：．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分解：（1）由，得到，即，又因為關于不等式的解集，所以，解得，所以實數的值為.（2）選擇條件①，因為，，又，由圖知，解得.選擇條件②，因為，，又，即，由圖知，解得.17.某市在旅游旺季時，為應對景區可能出現人流量過大的情況，規定：當人流量達到景區最大承載量的時，將對該景區采取局部限流措施；當人流量達到景區最大承載量的時，將對該景區采取完全限流措施.小明計劃假期去該市甲、乙、丙三個旅游景區旅行，他調查了甲、乙、丙三個旅游景區在去年同期天的限流措施情況，見下表：假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三個景區限流情況相互獨立.（1）小明某天到甲景區旅游，估計小明遇到完全限流的概率；（2）小明任選兩天，分別到乙、丙兩景區游覽，估計小明在兩個景區至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率；（3）小明計劃在一天內從甲、乙、丙三個景區中選擇兩個景區，并分別在上午和下午游覽.若存在以下兩種情況之一，則不能完成游覽：（?。┰谏衔绲挠斡[中遇到局部限流，且下午的游覽中遇到完全限流；（ⅱ）在上午的游覽中遇到完全限流.請幫助小明制定游覽計劃，使他完成游覽的概率最大：上午游覽景區，下午游覽景區.（從“甲、乙、丙”中選擇兩個填寫）解：（1）由數表知，天中，甲景區完全限流的天數是2，所以小明遇到完全限流的概率為.（2）由數表知，乙景區不限流的概率為，丙景區不限流的概率為，所以小明在兩個景區至少遇到一次限流的概率.（3）若小明上午選甲景區，下午選乙景區能完成游覽的概率；若小明上午選甲景區，下午選丙景區能完成游覽的概率；若小明上午選乙景區，下午選甲景區能完成游覽的概率；若小明上午選乙景區，下午選丙景區能完成游覽的概率；若小明上午選丙景區，下午選甲景區能完成游覽的概率；若小明上午選丙景區，下午選乙景區能完成游覽的概率，而最大，即小明上午選甲景區，下午選丙景區能完成游覽的概率最大.18.已知函數.（1）若，求的值；（2）當時，用函數單調性定義證明在區間上增函數；（3）若，，恒成立，且函數在上單調遞增，求的最小值.解：（1）函數，由，得，所以.（2）當時，，任取，，由，得，則，即，所以函數在區間上是增函數.（3）不等式，依題意，，恒成立，而，恒有，則，又，因此，任取，，由，得，而，則，即，又，于是，則，即，因此函數在上單調遞增，所以的最小值是1.19.已知非空集合滿足如下三個性質，則稱集合滿足性質：①；②，；③，.（1）判斷下列集合是否滿足性質？；.（只需寫出結論）（2）若集合滿足性質，且存在，使得，求證：，，都有；（3）若集合滿足性質，且，，，求所有的符合題意的集合.解：（1）對集合，當，，但，令，解得，則集合不具有性質，對于集合，顯然，滿足條件①，