高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽區青苗國際學校常營校區2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為集合，，所以，故選：A.2.下列關系中正確的個數是（）①；②；③；④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對①：為有理數，則成立，①正確；對②：為實數，則不成立，②錯誤；對③：為自然數，成立，③正確；對④：是無理數，不是整數，則不成立，④錯誤；故正確的有2個.故選：B.3.“”是“關于x的函數單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，由一次函數的性質得，函數單調遞增，故充分；若函數單調遞增，則，故必要；所以“”是“關于x的函數單調遞增”的充要條件，故選：C4.設，，則兩數最精確的關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，故選：A.5.若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對于A：當，時滿足，但是，故A錯誤；對于B：當，時滿足，但是，故B錯誤；對于C：當，時滿足，但是，故C錯誤；對于D：若，則，所以，則，故D正確；故選：D6.一元二次不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】不等式可化為，解得，不等式的解集為．故選：．7.下列四組函數中，表示同一函數的一組是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】對于A中，函數的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以不是同一函數，故A錯誤；對于B中，函數的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以不是同一函數，故B錯誤；對于C中，函數的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以不是同一函數，故C錯誤；對于D中，函數定義域為，的定義域為，且，所以它們是同一函數，故D正確；故選：D.8.函數y＝|x－3|－|x＋1|的()A.最小值是0，最大值是4 B.最小值是－4，最大值是0C.最小值是－4，最大值是4 D.沒有最大值也沒有最小值【答案】C【解析】因為y＝|x－3|－|x＋1|，所以最小值是－4，最大值是4，選C.9.若實數，且，則（）A.有最大值為 B.有最小值為C.有最小值為 D.無最小值【答案】B【解析】因為，所以當且僅當即時取“”，故選：B.10.已知函數f（x）是R上的增函數，A（0，-1），B（3，1）是其圖象上的兩點，那么|f（x+1）|<1解集的補集是（）A.（-1，2） B.（1，4）C.（-∞，1]∪[4，+∞） D.（-∞，-1]∪[2，+∞）【答案】D【解析】不等式可變形為，∵，是函數圖象上兩點，∴，，∴等價于不等式，又因為函數是上的增函數，∴等價于，解得，∴不等式的解集為：，∴其補集為：．故選：D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．11.已知集合，，若，則的取值范圍是___________.【答案】[2,+∞)【解析】∵集合，，，∴.∴的取值范圍是[2,+∞).故答案為：[2,+∞).12.用符號語言表示命題：對于所有的實數x，滿足：__________；該命題的否定為：___________.【答案】①，；②，.【解析】命題“對于所有的實數x，滿足”的符號語言表示：，；該命題的否定為：，.故答案為：，；，.13.已知，則的最小值為________．【答案】4【解析】因為，所以，當且僅當，即時等號成立.故答案為：414.若不等式對一切恒成立，則a的取值范圍是______________.【答案】【解析】當時，則化為（不恒成立，舍），當時，要使對一切恒成立，需，即，即a的取值范圍是.故答案為：.15.已知是偶函數，當時，，則當時，_________．【答案】【解析】由，則，且函數是偶函數，故當時，故答案為：16.若，若則________.【答案】或【解析】當時，由，得，解得．當時，由，得，即，所以解得或（舍去）．故答案為：或．三、解答題：本大題共4小題，共30分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設集合,，且,求x的值.解：，，,根據集合的性質，當，解得：或，當時，解得或0，根據集合的互異性可知，，故，或．18.某廣告公司要為客戶設計一幅周長為l（單位：m）的矩形廣告牌，如何設計這個廣告牌可以使廣告牌的面積最大？解：設廣告牌的長為，則寬為.設廣告牌的面積為.則.當時，y取最大值.此時寬為.∴當這個廣告牌為邊長為的正方形時，面積最大.19.已知冪函數圖像關于軸對稱，且在上是減函數，（1）求的值.（2）若，求的取值范圍.解：（1）因為冪函數在上單調遞減，所以，解得，又，所以，當時，，當時，，因為函數圖像關于軸對稱，所以是偶數，因此；（2）由（1）可得，故為，因為在上均為減函數，所以等價于：或或解得或，故的取值范圍為或.20.已知函數，．（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；（2）當時，證明：函數在上單調遞減；（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．（1）解：函數為奇函數，理