九省聯考數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.若集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，則$A\capB=$（）A.$\{1,2,3,4\}$B.$\{2,3\}$C.$\{1,4\}$D.$\{3\}$2.已知復數$z=2+i$，則$|z|=$（）A.$\sqrt{5}$B.$\sqrt{3}$C.$5$D.$3$3.函數$f(x)=\sinx+\cosx$的最小正周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$4.直線$y=2x+1$的斜率為（）A.$-2$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$2$5.在等差數列$\{a_n\}$中，$a_3=5$，$a_5=9$，則公差$d=$（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$6.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-1,\lambda)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，則$\lambda=$（）A.$-2$B.$2$C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$7.拋物線$y^2=4x$的焦點坐標是（）A.$(1,0)$B.$(0,1)$C.$(2,0)$D.$(0,2)$8.若函數$f(x)$為偶函數，且在$(0,+\infty)$上單調遞減，$f(2)=0$，則不等式$f(x)\gt0$的解集為（）A.$(-2,2)$B.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$C.$(-2,0)\cup(0,2)$D.$(-\infty,-2)\cup(0,2)$9.從$1$，$2$，$3$，$4$，$5$這$5$個數中任取$2$個數，則這$2$個數之和為偶數的概率是（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$10.若$x\gt1$，則函數$y=x+\frac{1}{x-1}$的最小值為（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數中，是奇函數的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\cosx$D.$y=\frac{1}{x}$2.下列說法正確的是（）A.若$a\gtb$，則$ac^2\gtbc^2$（$c\neq0$）B.若$a\gtb$，$c\gtd$，則$a-c\gtb-d$C.若$a\gtb\gt0$，$c\ltd\lt0$，則$ac\ltbd$D.若$a\gtb$，則$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}$3.一個正方體的頂點都在球面上，已知球的體積為$\frac{4}{3}\pi$，則正方體的棱長可能是（）A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$\sqrt{3}$D.$2$4.已知雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的離心率$e=2$，則下列選項正確的有（）A.$c=2a$B.$b=\sqrt{3}a$C.漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$D.漸近線方程為$y=\pmx$5.已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=n^2$，則（）A.$a_1=1$B.$a_n=2n-1$C.數列$\{a_n\}$是等差數列D.數列$\{a_n\}$是等比數列6.以下關于函數$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的說法正確的是（）A.最小正周期是$\pi$B.圖象關于直線$x=\frac{\pi}{12}$對稱C.圖象關于點$(\frac{\pi}{3},0)$對稱D.在區間$(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})$上單調遞增7.已知向量$\vec{a}=(1,m)$，$\vec{b}=(3,-2)$，且$(\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{b}$，則$m$的值可以是（）A.$8$B.$6$C.$-6$D.$-8$8.對于函數$f(x)=x^3-3x^2+1$，以下說法正確的是（）A.極大值為$1$B.極小值為$-3$C.在區間$(-\infty,0)$上單調遞增D.在區間$(2,+\infty)$上單調遞增9.在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，根據下列條件解三角形，有兩解的是（）A.$a=20$，$b=28$，$A=45^{\circ}$B.$a=30$，$b=25$，$A=150^{\circ}$C.$a=12$，$b=18$，$A=30^{\circ}$D.$a=22$，$b=20$，$A=60^{\circ}$10.已知圓$C:(x-1)^2+(y-2)^2=25$，直線$l:y=kx+1$與圓$C$相交于$A$，$B$兩點，則（）A.若$|AB|=8$，則$k=\frac{4}{3}$或$k=0$B.弦長$|AB|$的取值范圍是$[6,10]$C.圓心到直線$l$的最大距離為$\sqrt{2}$D.當$k=1$時，$\triangleABC$的面積為$2\sqrt{2}$三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的子集。（）2.命題“$\forallx\inR$，$x^2\geq0$”的否定是“$\existsx\inR$，$x^2\lt0$”。（）3.若直線$l_1:y=k_1x+b_1$與直線$l_2:y=k_2x+b_2$平行，則$k_1=k_2$且$b_1=b_2$。（）4.在等比數列$\{a_n\}$中，若$m+n=p+q$（$m$，$n$，$p$，$q\inN^+$），則$a_m\cdota_n=a_p\cdota_q$。（）5.函數$y=\log_2x$在定義域上是增函數。（）6.若向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，且$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，則$x_1x_2+y_1y_2=0$。（）7.橢圓$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gtb\gt0$）的長軸長為$2a$。（）8.函數$y=\tanx$的定義域是$\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}$。（）9.若$x\inR$，則$x^2+2x+5$恒大于$0$。（）10.若$f(x)$是奇函數，且$f(x)$在$x=0$處有定義，則$f(0)=0$。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_3=5$，求其通項公式$a_n$。答：設公差為$d$，$a_3=a_1+2d$，即$5=1+2d$，解得$d=2$，$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1$。2.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，求$\cos\alpha$和$\tan\alpha$的值。答：因為$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，$\alpha$是第二象限角，所以$\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$。3.求函數$f(x)=x^2-4x+5$的對稱軸、頂點坐標，并說明其單調性。答：對稱軸為$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times1}=2$，把$x=2$代入得$f(2)=1$，頂點坐標$(2,1)$。在$(-\infty,2)$單調遞減，在$(2,+\infty)$單調遞增。4.已知圓$C$的圓心為$(2,-1)$，半徑為$3$，求圓$C$的標準方程。答：圓的標準方程為$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，這里$a=2$，$b=-1$，$r=3$，所以方程為$(x-2)^2+(y+1)^2=9$。五、討論題（每題5分，共20分）1.有人說角的概念推廣后，“第一象限角一定是銳角”這種說法不對了，你怎么看？請舉例分析。答：這種說法不對。銳角是大于$0^{\circ}$小于$90^{\circ}$的角。但第一象限角范圍是$(2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2})$，$k\inZ$。比如$380^{\circ}$是第一象限角但不是銳角，所以推廣后第一象限角不一定是銳角。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法，并舉例說明一種方法的應用。答：可通過幾何法（比較圓心到直線距離$d$與半徑$r$大小，$d\ltr$相交，$d=r$相切，$d\gtr$相離）和代數法（聯立直線與圓方程，看判別式$\Delta$，$\Delta\gt0$相交，$\Delta=0$相切，$\Delta\lt0$相離）。比如直線$y=x$與圓$x^2+y^2=1$，圓心$(0,0)$到直線距離$d=\frac{|0-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\lt1$，所以直線與圓相交。3.在等比數列中，“公比$q\gt1$”一定能推出“數列是遞增數列”嗎？請說明理由并舉例。答：不一定。當首項$a_1\lt0$，公比$q\gt1$