第2章

無源梯形濾波器的分析與設計主要內容：2.1直接法設計無源單口網絡2.2Foster綜合法設計無源單口網絡2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡2.4LC梯形濾波器綜合設計2第2章無源梯形濾波器的分析與設計2.1直接法設計無源單口網絡2.1.1LC網絡的策動點阻抗函數⑴LC網絡策動點阻抗函數及其零極點分布常用六種基本LC網絡策動點阻抗函數及其零極點分布

LC網絡策動點阻抗函數零極點值零極點位置1

2

3

常用六種基本LC網絡策動點阻抗函數及其零極點分布

LC網絡策動點阻抗函數零極點值零極點位置4

5

6

2.1.1LC網絡的策動點阻抗函數Z(s)為奇函數，且是奇多項式（僅含奇次冪）與偶多項式（僅含偶次冪）之比或偶多項式與奇多項式之比;N(s)與D(s)的最高冪次之差必為1

2.1.1LC網絡的策動點阻抗函數⑵LC網絡策動點阻抗函數的特點零極點特點：Z(s)的全部零點和極點都在虛軸上，且是單階的;Z(s)的零點和極點是交替出現的；在原點和在無限遠處，Z(s)必定有單階極點或單階零點。2.1.1LC網絡的策動點阻抗函數H(s)的全部極點和零點均為虛軸上交替排列的單階極點和單階零點;在s=0和s→∞處，H(s)必有單階極點或單階零點。

用以檢驗一個有理實函數H(s)能否用LC網絡來實現它。2.1.1LC網絡的策動點阻抗函數H(s)是LC網絡的策動點阻抗函數的充分必要條件：一對共軛復頻率±jω0共同形成(s2+ω02)項。極零極零極若Z(s)在原點處有單階零點，有m對共軛復數零點和n對共軛復數極點：零極零極零⑶LC網絡策動點阻抗函數的描述2.1.1LC網絡的策動點阻抗函數若Z(s)在原點處有單階極點，有m對共軛復數零點和n對共軛復數極點：2.1.1RC網絡的策動點阻抗函數⑴RC網絡策動點阻抗函數及其零極點分布常用八種基本RC網絡策動點阻抗函數及其零極點分布

RC網絡策動點阻抗函數零極點值零極點位置1

2

3

常用八種基本RC網絡策動點阻抗函數及其零極點分布

RC網絡策動點阻抗函數零極點值零極點位置4

5

6

2.1.1RC網絡的策動點阻抗函數常用八種基本RC網絡策動點阻抗函數及其零極點分布

RC網絡策動點阻抗函數零極點值零極點位置7

8

2.1.1RC網絡的策動點阻抗函數D(s)與N(s)的最高冪次相等，或D(s)較N(s)高一次;在原點處Z(s)可能有極點，但不可能有零點。在無限遠處，Z(s)可能有零點，但不可能有極點;Z(s)的零點和極點是交替出現的；Z(s)的零點和極點位于s平面的非正實軸上，且都是單階的。2.1.1RC網絡的策動點阻抗函數⑵RC網絡策動點阻抗函數的特點極零極零⑶RC網絡策動點阻抗函數的描述2.1.1RC網絡的策動點阻抗函數Z(s)的零點和極點是交替出現的;距原點最遠處（含無限遠）必為零點；在負實軸上距原點最近處（含原點上）必為極點。2.2Foster綜合法設計無源單口網絡LC福斯特網絡：只包含電感和電容元件的福斯特網絡。RC福斯特網絡：只包含電阻和電容元件的福斯特網絡。福斯特Ⅰ型網絡：根據阻抗表示式實現的福斯特網絡。福斯特Ⅱ型網絡：根據導納表示式實現的福斯特網絡。2.2Foster綜合法設計無源單口網絡2.2.1LC福斯特網絡LC福斯特Ⅰ型網絡LC福斯特Ⅱ型網絡

(1)ＬC福斯特Ⅰ型網絡的結構2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)（2）ＬC福斯特1型網絡的特點a.網絡的可實現性

凡是歸一化系數為正，在虛軸上具有相互交替的單階零點和極點的有理函數所表示的輸入阻抗都可以用LC福斯特Ⅰ型網絡來實現。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)（2）ＬC福斯特1型網絡的特點b.串聯電感L∞的作用

當s=∞時，L∞阻抗為無窮大，此時整個網絡阻抗為無窮大，因此串聯電感L∞實現了Z(s)在無限遠處的極點。若Z(s)不存在無窮極點，則不存在L∞。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)（2）ＬC福斯特1型網絡的特點c.串聯電容C0的作用

當s=0時，C0阻抗為無窮大，此時整個網絡阻抗為無窮大，因此串聯電容C0實現了Z(s)在原點處的極點。若Z(s)不存在原點處的極點，則不存在C0。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)（2）ＬC福斯特1型網絡的特點d.LC并聯電路的作用

當s=±jωpi時，該并聯電路等效阻抗Zi(±jωpi)為無窮大，此時整個網絡阻抗為無窮大，因此該并聯電路實現了Z(s)在±jωpi處的一對共軛復數極點。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)LC福斯特Ⅰ型網絡及其各元件的功能逐次移出Z(s)極點的過程2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)【例2-2-1】用LC福斯特Ⅰ型網絡實現以下策動點阻抗函數：

(1)假設H=1，求對應的LC福斯特Ⅰ型網絡；(2)假設H=10，求對應的LC福斯特Ⅰ型網絡；(3)假設H=10，如果Z(s)的表達式中的s用10s代替，求對應的LC福斯特Ⅰ型網絡。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)

解：(a)

極點和零點都為單階極點且在虛軸上交替出現，因此Z(s)為可實現的LC網絡的輸入阻抗。

極點±j1,±j3，∞零點0，±j2，±j52.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)(b)H由1變為10，則每個元件的阻抗應擴大10倍。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)(c)s用10s代替，說明電路的工作頻率增加為原來的10倍。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅰ型)

(1)ＬC福斯特Ⅱ型網絡的結構2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)（2）ＬC福斯特Ⅱ型網絡的特點a.網絡的可實現性

網絡的可實現條件與LC福斯特Ⅰ型網絡的要求相同。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)（2）ＬC福斯特Ⅱ型網絡的特點2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)b.并聯電容

的作用

當s=∞時，的阻抗為零，相當于短路，此時整個網絡阻抗為零，因此該并聯電容實現了Z(s)在無限遠處的單階零點。若Z(s)不存在無限遠處單階零點，則不存在該并聯電容。（2）ＬC福斯特1型網絡的特點2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)c.并聯電感

的作用

當s=0時，的阻抗為零，相當于短路，此時整個網絡阻抗為零，因此該并聯電感實現了Z(s)在原點處的單階零點。若Z(s)不存在原點處的單階零點，則不存在該并聯電感。（2）ＬC福斯特1型網絡的特點d.LC串聯支路的作用

當s=±jωzi時，該支路等效導納Yi(±jωzi)=∞，即阻抗Zi(±jωzi)=0，此時整個網絡阻抗為零，因此該串聯支路實現了Z(s)在±jωzi處的一對共軛復數零點。2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)LC福斯特Ⅱ型網絡及其各元件的功能逐次移出Z(s)零點的過程2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)LC福斯特Ⅰ型網絡LC福斯特Ⅱ型網絡【例2-2-3】用LC福斯特Ⅱ型網絡實現以下策動點阻抗函數：

2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)

解：

極點和零點都為單階極點且在虛軸上交替出現，因此Z(s)為可實現的LC網絡的輸入阻抗。

極點±j1,±j3，∞零點0，±j2，±j52.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)2.2.1LC福斯特網絡(Ⅱ型)

(1)RC福斯特Ⅰ型網絡的結構2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅰ型)2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅰ型)（2）RC福斯特Ⅰ型網絡的特點a.網絡的可實現性

凡是歸一化系數為正，在非正實軸上具有相互交替的單階零點和極點，而且在原點處或最靠近原點處是單階極點的有理函數所表示的輸入阻抗都可以用RC福斯特Ⅰ型網絡來實現。2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅰ型)（2）RC福斯特Ⅰ型網絡的特點

實現了Z(s)在無窮大頻率處的有限值Z(∞)。若Z(s)的分子和分母多項式最高冪次相同，則Z(∞)≠0，串聯電阻R∞必須出現；否則串聯電阻R∞不能出現。b.串聯電阻R∞的作用2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅰ型)（2）RC福斯特Ⅰ型網絡的特點

實現了Z(s)在原點處的單階極點。若Z(s)不存在原點處的單階極點，則不存在C0。c.串聯電容C0的作用2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅰ型)（2）RC福斯特Ⅰ型網絡的特點每一個RC并聯網絡實現了負實軸上位于-αpi處的極點。d.RC并聯電路的作用2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅰ型)實現無窮大頻率時的有限阻抗值實現原點處阻抗的單階極點實現負實軸s=-αpi處的單階極點2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅰ型)

(1)RC福斯特Ⅱ型網絡的結構2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅱ型)2.2.2

RC福斯特網絡(Ⅱ型)【例2-2-3】用RC福斯特Ⅰ型和Ⅱ型網絡實現以下策動點阻抗函數：

解：①討論網絡的可實現性

極點和零點都為單階極點并在非正實軸上交替出現，且原點處為極點，歸一化因子為正。

極點0，-2，-4零點-1，-3，∞2.2.2

RC福斯特網絡②RC福斯特Ⅰ型網絡設計2.2.2

RC福斯特網絡2.2.2

RC福斯特網絡③RC福斯特Ⅱ型網絡設計2.2.2

RC福斯特網絡2.2.2

RC福斯特網絡2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡連分式考爾網絡交替移出串聯和并聯元件2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡考爾Ⅰ型網絡分子分母按s降冪排列(1)分母除分子，得到商Z1(s)及余數項Z1余(s)，移出第一個串臂電感L12.3Cauer綜合法設計無源單口網絡(b)輾轉相除，對余數項Z1余(s)的導納函數Y1余(s)重復步驟(a)，移出第一個并臂電容C1

2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡(c)再次輾轉相除，對余數項Y2余(s)的阻抗函數Z2余(s)重復步驟(a)(d)重復以上步驟，直至余數項中沒有任何可移出項為止。2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡考爾Ⅱ型網絡分子分母按s升冪排列(1)分母除分子，得到商Y1(s)及余數項Y1余(s)，移出第一個并臂電感L12.3Cauer綜合法設計無源單口網絡(b)輾轉相除，對余數項Y1余(s)的阻抗函數Z1余(s)重復步驟(a)，移出第一個串臂電容C1

2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡(c)再次輾轉相除，對余數項Z2余(s)的阻抗函數Y2余(s)重復步驟(a)(d)重復以上步驟，直至余數項中沒有任何可移出項為止。2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡考爾1型網絡(2)（n≤m）（導納函數）分子分母按s降冪排列(1)（m≥n）（阻抗函數）考爾2型網絡(2)（n≤m）（導納函數）分子分母按s升冪排列(1)（m≥n）（阻抗函數）2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡2025/6/42.3Cauer綜合法設計無源單口網絡2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡解：

①討論網絡的可實現性2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡【例2-3-1】用考爾網絡兩種形式實現以下策動點阻抗函數：

極點和零點都為單階極點并在非正實軸上交替出現，且最靠近原點處是單階極點-1，歸一化因子為正。

極點-1，-3零點-2，∞②確定連分式展開對應策動點函數

n＞m+1（導納函數）2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡③考爾Ⅰ型網絡

2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡Y(s)的分子分母多項式按s的降冪排列后輾轉相除

2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡④考爾Ⅱ型網絡

Y(s)的分子分母多項式按s的升冪排列后輾轉相除

2.3Cauer綜合法設計無源單口網絡2.4LC梯形濾波器綜合設計2.4.1二端囗LC梯形網絡

零點s=0零點s=∞零點零點串臂基本電路

并臂基本電路

零點類型基本電路