PAGEPAGE1課時作業13改變率與導數、導數的計算一、選擇題1．(2024·泰安一模)給出下列結論：①若y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2)；②若y＝－eq\f(1,\r(x))，則y′＝eq\f(1,2x\r(x))；③若f(x)＝eq\f(1,x2)，則f′(3)＝－eq\f(2,27)；④若y＝ax(a>0)，則y′＝axlna.其中正確的個數是(D)A．1 B．2C．3 D．42．已知函數f(x)＝eq\f(x,ex)(e是自然對數的底數)，則其導函數f′(x)＝(B)A.eq\f(1＋x,ex) B.eq\f(1－x,ex)C．1＋x D．1－x解析：函數f(x)＝eq\f(x,ex)，則其導函數f′(x)＝eq\f(ex－xex,e2x)＝eq\f(1－x,ex)，故選B.3．若函數f(x)＝x3－x＋3的圖象在點P處的切線平行于直線y＝2x－1，則點P的坐標為(C)A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，即3x2－1＝2?x＝1或－1，又f(1)＝3，f(－1)＝3，所以P(1,3)或(－1,3)，經檢驗，點(1,3)，(－1,3)均不在直線y＝2x－1上，故點P的坐標為(1,3)或(－1,3)．4．(2024·合肥市質量檢測)已知直線2x－y＋1＝0與曲線y＝aex＋x相切(其中e為自然對數的底數)，則實數a的值是(B)A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．e解析：由題意知y′＝aex＋1＝2，則a>0，x＝－lna，代入曲線方程得y＝1－lna，所以切線方程為y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1?a＝1.5．曲線y＝2lnx上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離為(A)A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．2解析：設與直線2x－y＋3＝0平行且與曲線y＝2lnx相切的直線方程為2x－y＋m＝0.設切點為P(x0，y0)，∵y′＝eq\f(2,x)，∴斜率k＝eq\f(2,x0)＝2，解得x0＝1，因此y0＝2ln1＝0，∴切點為P(1,0)，則點P到直線2x－y＋3＝0的距離d＝eq\f(|2－0＋3|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，∴曲線y＝2lnx上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是eq\r(5).6．(2024·福州質檢)過點(－1,1)與曲線f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直線有(C)A．0條 B．1條C．2條 D．3條解析：設切點P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)＝3x2－2x－2，當a≠－1時，可得切線的斜率k＝3a2－2a－2＝eq\f(a3－a2－2a＋1－1,a－－1)，所以(3a2－2a－2)(a＋1)＝a3－a2－2a，即(3a2－2a－2)(a＋1)＝a(a－2)(a＋1)，所以a＝1，此時k＝－1.又(－1,1)是曲線上的點且f′(－1)＝3≠－1，故切線有2條．7．已知函數f(x)＝ex－mx＋1的圖象為曲線C，若曲線C存在與直線y＝ex垂直的切線，則實數m的取值范圍是(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e)) D．(e，＋∞)解析：由題意知，方程f′(x)＝－eq\f(1,e)有解，即ex－m＝－eq\f(1,e)有解，即ex＝m－eq\f(1,e)有解，故只要m－eq\f(1,e)>0，即m>eq\f(1,e)即可，故選B.8．給出定義：設f′(x)是函數y＝f(x)的導函數，f″(x)是函數f′(x)的導函數，若方程f″(x)＝0有實數解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數y＝f(x)的“拐點”．已知函數f(x)＝3x＋4sinx－cosx的拐點是M(x0，f(x0))，則點M(B)A．在直線y＝－3x上 B．在直線y＝3x上C．在直線y＝－4x上 D．在直線y＝4x上解析：f′(x)＝3＋4cosx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋cosx，結合題意知4sinx0－cosx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直線y＝3x上．故選B.二、填空題9．(2024·全國卷Ⅲ)曲線y＝(ax＋1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為－2，則a＝－3.解析：y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲線在點(0,1)處的切線的斜率為－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.10．已知函數f(x)是偶函數，當x>0時，f(x)＝(2x－1)lnx，則曲線y＝f(x)在點(－1，f(－1))處切線的斜率為－1.解析：當x>0時，f′(x)＝2lnx＋eq\f(2x－1,x)，則f′(1)＝1，∵函數f(x)是偶函數，∴f′(－1)＝－1.11．若函數y＝2x3＋1與y＝3x2－b的圖象在一個公共點處的切線相同，則實數b＝0或－1.解析：設公共切點的橫坐標為x0，函數y＝2x3＋1的導函數為y′＝6x2，y＝3x2－b的導函數為y′＝6x.由圖象在一個公共點處的切線相同，可得6xeq\o\al(2,0)＝6x0且1＋2xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)－b，解得x0＝0，b＝－1或x0＝1，b＝0.故實數b＝0或－1.三、解答題12．已知函數f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程．(2)求經過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．解：(1)因為f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)設曲線與經過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，因為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，所以切線方程為y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切線過點P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，所以xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以經過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0.13．已知函數f(x)＝e2x－2ex＋ax－1，曲線y＝f(x)上存在兩條斜率為3的切線，則實數a的取值范圍為(B)A．(3，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2))) D．(0,3)解析：f(x)＝e2x－2ex＋ax－1的導函數為f′(x)＝2e2x－2ex＋a，由題意可得2e2x－2ex＋a＝3的解有兩個，即有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2)))2＝eq\f(7－2a,4)，即為ex＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(7－2a),2)或ex＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(7－2a),2)，即有7－2a>0且7－2a<1，解得3<a<eq\f(7,2).14．已知函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求曲線C上隨意一點處的切線斜率的取值范圍；(2)若曲線C存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍．解：(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，即曲線C上隨意一點處的切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k(k≠0)，則由(2)中條件并結合(1)中結論可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k<0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．eq\a\vs4\al(尖子生小題庫——供重點班學生運用，一般班學生慎用)15．(2024·安徽江南十校聯考)若曲線C1：y＝x2與曲線C2：y＝eq\f(ex,a)(a>0)存在公共切線，則a的取值范圍為(D)A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e2,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，2)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞))解析：曲線y＝x2在點(m，m2)的切線斜率為2m，曲線y＝eq\f(ex,a)(a>0)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,a)en))的切線斜率為eq\f(1,a)en，假如兩條曲線存在公共切線，那么2m＝eq\f(1,a)en.又由直線的斜率公式得到2m＝eq\f(m2－\f(1,a)en,m－n)，則有m＝2n－2，則由題意知4n－4＝eq\f(1,a)en有解，即y＝4x－4，y＝eq\f(1,a)ex的圖象有交點．若直線y＝4x－4與曲線y＝eq\f(1,a)ex相切，設切點為(s，t)，則eq\f(1,a)es＝4，且t＝4s－4＝eq\f(1,a)es，可得切點為(2,4)，此時eq\f(1,a)＝eq\f(4,e2)，故要使滿意題意，需eq\f(1,a)≤eq\f(4,e2)，則a≥eq\f(e2,4)，故a的取值范圍是a≥eq\f(e2,4).故選D.16．(2024·安徽淮南一模)已知函數f(x)＝x2－lnx.(1)求函數f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)在函數f(x)＝x2－lnx的圖象上是否存在兩點，使以這兩點為切點的切線相互垂直，且切點的橫坐標都在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上？若存在，求出這兩點的坐標，若不存在，請說明理由．解：(1)由題意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－eq\f(1,x)，f′(1)＝2－1＝1，則所求切線方程為y－1＝1×(x－1)，即y＝x.(2)假設存在兩點滿意題意，且設切點坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，不妨設x1<x2，結合題意和(1)中求得的導函數解析式可得(2x1－eq\f(1,x1))(2x2－eq\f(1,x2))＝－1，又函數f′(x)＝2x－eq\f(1,x)在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\