PAGEPAGE1圓章末小結與提升旋轉類型1旋轉的性質及應用1.如圖,△ABC圍著點O按順時針方向旋轉90°后到達了△CDE的位置,下列說法中不正確的是(C)A.線段AB與線段CD相互垂直B.線段AC與線段CE相互垂直C.點A與點E是兩個三角形的對應點D.線段BC與線段DE相互垂直2.如圖所示,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M為DE的中點.過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.(1)當A,B,C三點在同始終線上時(如圖1),求證:M為AN的中點;(2)將圖1中△BCE繞點B旋轉,當A,B,E三點在同始終線上時(如圖2),求證:△CAN為等腰直角三角形;(3)將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3的位置時,那么(2)中的結論是否仍舊成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.解:(1)∵M為DE的中點,∴DM=EM.∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,∴AM=MN,即M為AN的中點.(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN,又∵DA=AB,∴AB=NE.∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC,∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,∴∠BCN+∠ACB=90°,∴∠ACN=90°,∴△CAN為等腰直角三角形.(3)成立.證明:由(2)可知AB=NE,BC=CE,∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE.∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+(180°-∠DBE)=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC.∴△ABC≌△NEC,再同(2)可證△CAN為等腰直角三角形,∴(2)中的結論仍舊成立.類型2垂徑定理及推論1.如圖所示,在☉O中,半徑OD⊥弦AB于點C,連接AO并延長交☉O于點E,連接EC,若AB=8,CD=2,則EC的長度為(D)A.25 B.8 C.210 D.2132.人工浮床又稱人工浮島,自20年前人類開發出第一個人工浮床之后,就將人工浮床應用于地表水體的污染治理和生態修復.近年來,我國的人工浮床技術開發及應用正好處于快速發展時期.如圖所示,是我市在某湖面上為凈化水質而搭建的一個水上圓形人工浮床示意圖,其中圓和三塊邊長為16米的正方形是浮島框架部分,被分割成的7部分將運用無土技術分別栽培7種不同的水生植物,正方形的頂點A,B,C,D都在圓上,且整個浮床成軸對稱圖形,求這個圓形人工浮床的半徑.解:設過點D的垂線與HF的交點為Q,連接BD交EF于點P,過點P作PO⊥BD交HG于點O,連接OB.在△BEP與△DQP中,∠E=∠DQP,∠EPB∴PB=PD,∴點O為圓心,∵BD=322+242=40,∴PB=20,∴PE=202-162=12,∴PH=4,∵∠E=∠BPO=90°,∴∠EBP+∠EPB=∴△PBE∽△OPH,∴PHBE=HOPE∴OG=13,∴OB=162+13∴這個圓形人工浮床的半徑為517米.類型3圓周角定理及推論典例1如圖,A,B,C是圓O上的三點,且四邊形ABCO是平行四邊形,OF⊥OC交圓O于點F,則∠BAF等于()A.12.5° B.15°C.20° D.22.5°【解析】連接OB.∵四邊形ABCO是平行四邊形,∴OCAB,又∵OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=AB,∴△AOB為等邊三角形,∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圓周角定理得∠BAF=12∠BOF=15°【答案】B【針對訓練】1.(賀州中考)如圖,在☉O中,AB是☉O的直徑,AB=10,AC=CD=DB,點E是點D關于AB的對稱點,M是AB上的一動點,下列結論:①∠BOE=60°;②∠CED=12∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10.A.1 B.2 C.3 D.42.(永州中考)如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,D是AC的中點,E是BC上的一點,若∠CED=40°,則∠ADC=100°.

類型4切線的性質與判定典例2如圖,△ABC內接于☉O,AC為☉O的直徑,PB是☉O的切線,B為切點,OP⊥BC,垂足為E,交☉O于點D,連接BD.(1)求證:BD平分∠PBC;(2)若☉O的半徑為1,PD=3DE,求OE及AB的長.【解析】(1)連接OB.∵PB是☉O的切線,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,∴BD平分∠PBC.(2)作DK⊥PB于點K.∵S△又∵BD平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,∴DK=DE,∴BEPB∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°,∴∠OBE=∠P,∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB,∴BOPB=OEBE∵BO=1,∴OE=13∵OE⊥BC,∴BE=EC,∵AO=OC,∴AB=2OE=23【針對訓練】1.(日照中考)如圖,AB是☉O的直徑,PA切☉O于點A,連接PO并延長交☉O于點C,連接AC,AB=10,∠P=30°,則AC的長度是(A)A.53 B.52 C.5 D.52.(永州中考)如圖,線段AB為☉O的直徑,點C,E在☉O上,BC=CE,CD⊥AB,垂足為D,連接BE,弦BE與線段CD相交于點(1)求證:CF=BF;(2)若cos∠ABE=45,在AB的延長線上取一點M,使BM=4,☉O的半徑為6.求證:直線CM是☉O的切線解:(1)延長CD交☉O于點G.∵CD⊥AB,∴BC=∵BC=CE,∴∴∠CBE=∠GCB,∴CF=BF.(2)連接OC交BE于點H.∵BC=CE,∴OC⊥在Rt△OBH中,cos∠OBH=BHOB∴BH=45×6=24∴OH=OB∵OHOC=185∵∠HOB=∠COM,∴△OHB∽△OCM,∴∠OCM=∠OHB=90°,∴OC⊥CM,∴直線CM是☉O的切線.類型5正多邊形與圓的有關計算1.如圖,將正六邊形ABCDEF放在平面直角坐標系中,中心與坐標原點重合,若點A的坐標為(-1,0),則點C的坐標為

12,-32.如圖,O是正六邊形ABCDEF的中心,連接BD,DF,FB.(1)設△BDF的面積為S1,正六邊形ABCDEF的面積為S2,則S1與S2的數量關系是S2=2S1;

(2)△ABF通過旋轉可與△CDB重合,請指出旋轉中心和最小旋轉角的度數.解:(1)S2=2S1.提示:連接OD,OF,OB.∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴△BDF是正三角形,易知△ABF,△BDC,△DEF,△DOF,△BOF,△BOD都是全等的,∴S2=2S1.(2)旋轉中心是O,最小旋轉角是120°.類型6弧長、扇形面積及圓錐側面積典例3如圖,AB是☉O的直徑,E為BC的中點,AB=4,∠BED=120°,則圖中陰影部分的面積之和為()A.3 B.23C.32 D.【解析】如圖,連接AE,OD,OE,∵AB是直徑,∴∠AEB=90°,又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°,∴∠AOD=2∠AED=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等邊三角形,∴∠OAD=60°,∵E為BC的中點,∠AEB=90°,∴AB=AC,∴△ABC是等邊三角形,邊長是4,△EDC是等邊三角形,邊長是2,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴BE和弦BE圍成部分的面積等于DE和弦DE圍成部分的面積,∴陰影部