PAGEPAGE1課時作業57用樣本估計總體[基礎達標]一、選擇題1.[2024·貴州遵義航天中學模擬]某學生在一門功課的22次考試中，所得分數莖葉圖如圖所示，則此學生該門功課考試成果的極差與中位數之和為()A．117B．118C．118.5D．119.5解析：22次考試成果最高為98分，最低為56分，所以極差為98－56＝42，從小到大排列，中間兩數為76,76，所以中位數為76，所以此學生該門功課考試成果的極差與中位數之和為42＋76＝118.答案：B2．[2024·山西省四校聯考]某學校組織學生參與數學測試，成果的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是()A．45B．50C．55D．60解析：∵[20,40)，[40,60)的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴該班的學生人數是eq\f(15,0.3)＝50.答案：B3．[2024·湖北黃岡質檢]已知數據x1，x2，x3，…，xn是某市n(n≥3，n∈N*)個一般職工的年收入，設這n個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，假如再加上世界首富的年收入xn＋1，則這(n＋1)個數據中，下列說法正確的是()A．年收入平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變B．年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差變大C．年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差也不變D．年收入平均數大大增大，中位數肯定變大，方差可能不變解析：∵數據x1，x2，x3，…，xn是某市n(n≥3，n∈N*)個一般職工的年收入，xn＋1為世界首富的年收入，則xn＋1遠大于x1，x2，x3，…，xn，故這(n＋1)個數據中，年收入平均數大大增大；中位數可能不變，也可能略微變大；由于數據的集中程度受到xn＋1的影響比較大，更加離散，則方差變大．答案：B4．[2024·九江模擬]已知一組數據x1，x2，…，xn的方差為2，若數據ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a＞0)的方差為8，則a的值為()A．1B.eq\r(2)C．2D．4解析：依據方差的性質可知，a2×2＝8，故a＝2.答案：C5．[2024·全國卷Ⅰ]某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番．為更好地了解該地區農村的經濟收入改變狀況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是()A．新農村建設后，種植收入削減B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農村建設后，養殖收入增加了一倍D．新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半解析：設新農村建設前，農村的經濟收入為a，則新農村建設后，農村經濟收入為2a.新農村建設前后，各項收入的對比如下表：新農村建設前新農村建設后新農村建設后改變狀況結論種植收入60%a37%×2a＝74%增加A錯其他收入4%a5%×2a＝10%增加一倍以上B對養殖收入30%a30%×2a＝60%增加了一倍C對養殖收入＋第三產業收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2＝116%a超過經濟收入2a的一半D對故選A.答案：A二、填空題6．在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數據的中位數分別是________、________.解析：甲組數據為：28,31,39,42,45,55,57,58,66，中位數為45.乙組數據為：29,34,35,42,46,48,53,55,67，中位數為46.答案：45467．[2024·麗水模擬]為了了解某校高三學生的視力狀況，隨機抽查了該校100名高三學生的視力狀況，得到頻率分布直方圖如圖所示，由于不慎將部分數據丟失，但知道后5組數據的頻數和為62，設視力在4.6到4.8之間的學生人數為a，最大頻率為0.32，則a的值為__________．解析：前三組人數為100－62＝38，第三組人數為38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，則a＝22＋0.32×100＝54.答案：548．[2024·陜西檢測]已知一組正數x1，x2，x3，x4的方差s2＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(3,3)＋xeq\o\al(2,4)－16)，則數據x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均數為________．解析：由方差公式s2＝eq\f(1,4)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x3－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x4－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，得s2＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4))－eq\o(x,\s\up6(－))2，又已知s2＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)－16)＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4))－4，所以eq\o(x,\s\up6(－))2＝4，所以eq\o(x,\s\up6(－))＝2，故eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1＋2＋x2＋2＋x3＋2＋x4＋2))＝eq\o(x,\s\up6(－))＋2＝4.答案：4三、解答題9.[2024·唐山聯考]某籃球隊在某賽季已結束的8場競賽中，隊員甲得分統計的莖葉圖如圖．(1)依據這8場競賽，估計甲每場競賽中得分的均值μ和標準差σ；(2)假設甲在每場競賽的得分聽從正態分布N(μ，σ2)，且各場競賽間相互沒有影響，依此估計甲在82場競賽中得分在26分以上的平均場數．參考數據：eq\r(32)≈5.66,eq\r(32.25)≈5.68,eq\r(32.5)≈5.70.正態總體N(μ，σ2)在區間(μ－2σ，μ＋2σ)內取值的概率約為0.954.解析：(1)μ＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，σ2＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.所以σ≈5.68.所以估計甲每場競賽中得分的均值μ為15，標準差σ為5.68.(2)由(1)得甲在每場競賽中得分在26分以上的概率P(X≥26)≈eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)(1－0.954)＝0.023，設在82場競賽中，甲得分在26分以上的次數為Y，則Y～B(82,0.023)．Y的均值E(Y)＝82×0.023＝1.886.由此估計甲在82場競賽中得分在26分以上的平均場數為1.886.10．[2024·鄭州預料]經國務院批復同意，鄭州勝利入圍國家中心城市．某校學生社團針對“鄭州的發展環境”對20名學生進行問卷調查打分(滿分100分)，得到如圖所示的莖葉圖：(1)分別計算男生、女生打分的平均分，并用數字特征評價男、女生打分的數據分布狀況；(2)如圖，依據打分區間[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]繪制的頻率分布直方圖，求最高矩形的高．解析：(1)男生打分的平均分為eq\f(1,10)×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69，女生打分的平均分為eq\f(1,10)×(68＋69＋75＋76＋70＋79＋78＋82＋87＋96)＝78，seq\o\al(2,男)＝99.6，seq\o\al(2,女)＝68，說明男生打分數據比較分散．(通過視察莖葉圖或者眾數、中位數說明，理由充分即可)(2)h＝eq\f(9,20)÷10＝0.045.[實力挑戰]11．[2024·東北三省模擬試卷]“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深化人心，據此，某網站進行了關于生態文明建設進展狀況的調查，現從參與調查的人員中隨機選出200人，并將這200人按年齡(單位：歲)分組：第1組[15,25)，第2組[25,35)，第3組[35,45)，第4組[45,55)，第5組[55,65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求出a的值；(2)求這200人年齡的平均數(同一組數據用該區間的中點值作代表)和中位數(結果保留一位小數)；(3)現在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求從第2組中恰好抽到2人的概率．解析：(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035.(2)平均數為20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(歲)．設中位數為x歲，則10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，解得x≈42.1.故這200人年齡的中位數為42.1歲．(3)第1,2組的人數分別為20,30，從第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則從第1,2組中分別抽取2人，3人，分別記為a1，a2，b1，b2，b3，則從這5人中隨機抽取3人，有(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b