課時規范練8函數的奇偶性、周期性基礎鞏固練1.(2024·天津耀華中學檢測)下列函數中,為偶函數的是()A.f(x)=xB.f(x)=xC.f(x)=1D.f(x)=x+12.(2024·河南新鄉期末)已知函數f(x)=x2-1x+A.0 B.1C.-1 D.23.已知定義域為[a-4,2a-2]的奇函數f(x)=x3-sinx+b+2,則f(a)+f(b)=()A.0 B.1C.2 D.34.(2025·江蘇南京質檢)函數f(x)是周期函數,10是f(x)的一個周期,且f(2)=2,則f(22)等于()A.2 B.-2C.0 D.105.(2024·江蘇鎮江模擬)若函數f(x)=πx-π-x+2023x,則不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0的解集為()A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.(0,1] D.[-1,1]6.(多選題)(2024·浙江麗水開學考試)設函數f(x)=ecosx,則下列選項正確的是()A.f(x)是偶函數B.f(x)是周期函數C.f(x)有最大值D.f(x)是增函數7.(多選題)已知f(x)=x3g(x)為定義在R上的偶函數,則函數g(x)的解析式可以是()A.g(x)=lg1+B.g(x)=3x-3-xC.g(x)=1D.g(x)=ln(x2+18.(2024·江西吉安模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+4)=f(x),且當x∈[0,2)時,f(x)=log2(x+1),則f(49)=.9.(2023·全國甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2為偶函數,則綜合提升練10.(2024·浙江金華模擬)已知函數f(x)=21+x-21-xA.2 B.0C.-2 D.-411.(多選題)(2024·河北唐山模擬)已知函數f(x)為R上的奇函數,且f(x+4)+f(x)=0,當0≤x≤2時,f(x)=2x+aA.a=-1B.a=-2C.f(-33)<f(40)<f(19)D.f(40)<f(-33)<f(19)12.(多選題)定義在R上的函數f(x)滿足:x為整數時,f(x)=2024;x不為整數時,f(x)=0,則()A.f(x)是奇函數B.f(x)是偶函數C.?x∈R,f(f(x))=2024D.f(x)的最小正周期為113.(2024·湖北部分名校模擬)已知函數y=f(x),對任意x∈R,都有f(x+3)f(x)=k(k為常數),且當x∈[0,3]時,f(x)=x2+1,則f(2023)=.14.(2024·陜西渭南期末)若f(x)=(x+a)lnx+1x-1為偶函數,則15.(13分)設f(x)是定義在R上的奇函數,且對任意實數x,恒有f(x+2)=-f(x),當x∈[0,2]時f(x)=2x-x2.(1)求證:f(x)是周期函數;(2)當x∈[2,4]時,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)的值.創新應用練16.(2024·山東青島期末)已知函數f(x)的定義域為R,f(x+1)為偶函數,f(x)為奇函數,當x∈[0,1]時,f(x)=ax+b,若f(-1)+f(2)=1,則∑i=12025f(iA.-12 C.1 D.2答案：1.B解析選項A中,函數定義域是{x|x≠1},不關于原點對稱,是非奇非偶函數;選項B中,函數定義域是(-∞,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x),是偶函數;選項C中,函數定義域是{1},不關于原點對稱,是非奇非偶函數;選項D中,函數定義域是{x|x≠0},f(-x)=-x-1x=-f(2.A解析由函數f(x)是奇函數,得f(x)+f(-x)=0,則x2-1x+a+x2-1-x+a=0,解得a=0.此時函數f(x)=x2-1x,3.A解析依題意得a-4+2a-2=0,解得a=2,由f(0)=b+2=0,得b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0.故選A.4.A解析因為10是函數y=f(x)的周期,所以f(22)=f(12+10)=f(12)=f(2+10)=f(2)=2.故選A5.A解析f(x)的定義域為R,因為f(-x)=π-x-πx-2023x=-(πx-π-x+2023x)=-f(x),所以f(x)是奇函數,所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化為f(x+1)≥f(4-2x),因為y=πx,y=-π-x,y=2023x在R上均單調遞增,所以f(x)在R上單調遞增,所以x+1≥4-2x,解得x≥1,故選A.6.ABC解析對于A,因為f(x)=ecosx的定義域為R,又f(-x)=ecos(-x)=ecosx=f(x),所以f(x)是偶函數,A選項正確.對于B,易知f(x+2π)=ecos(x+2π)=ecosx=f(x),所以2π是f(x)的一個周期,B選項正確.對于C,易知cosx≤1,所以f(x)≤e,所以f(x)有最大值,C選項正確.對于D,因為y=cosx在區間(0,π)內單調遞減,y=ex在R上單調遞增,所以f(x)在區間(0,π)內單調遞減,D選項錯誤.故選ABC.7.BD解析因為f(x)=x3g(x)是定義在R上的偶函數,所以f(-x)=f(x),即g(-x)=-g(x),所以g(x)是定義在R上的奇函數.對于A,函數定義域為(-1,1),A不符合題意;對于B,函數定義域為R,g(-x)=3-x-3x=-g(x),B符合題意;對于C,函數定義域為R,g(-x)=12+12-x+1=12+2x1+2x=32?11+2x≠-g(x),C不符合題意;對于D,函數定義域為R,g(-x)=ln(x故選BD.8.1解析由題知,函數f(x)的周期為4,所以f(49)=f(4×12+1)=f(1)=log2(1+1)=1.9.2解析由題意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cosx+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cosx+1.∵函數f(x)是偶函數,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cosx+1=x2+(2-a)x+cosx+1,解得a=2.10.D解析當x>0時,因為f(x)是偶函數,所以有f(x)=f(-x),即21+x-21-x=m·2-x+n·2x,即(2x)2(2-n)=m+2,要想x>0時,式子(2x)2(2-n)=m+2恒成立,只需2-n=0,當x<0時,因為f(x)是偶函數,所以有f(x)=f(-x),即21-x-21+x=m·2x+n·2-x,即(2-x)2(2-n)=m+2,要想x<0時,式子(2-x)2(2-n)=m+2恒成立,只需2-n=0,綜上所述,m-n=-4.11.AC解析已知函數f(x)為R上的奇函數,則f(0)=0,即f(0)=1+a1+1=0,解得a=-1,A正確,B錯誤;又因為f(x+4)+f(x)=0,即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),從而函數f(x)的周期為8,f(-33)=f(-1-4×8)=f(-1)=-f(1),f(40)=f(0+5×8)=f(0),f(19)=f(3+2×8)=f(3)=-f(-1)=f因為當0≤x≤2時,f(x)=2x-12x+1,所以f(1)=13,從而f(-33)=-f(1)=-13,f(40)=0,f(19)=13,所以f(-33)<f(40)12.BCD解析對于A,f(1)=2024,f(-1)=2024,f(-x)=-f(x)不恒成立,則f(x)不是奇函數,A錯誤;對于B,若x為整數,則-x也是整數,則有f(x)=f(-x)=2024,若x不為整數,則-x也不為整數,則有f(x)=f(-x)=0,綜上可得f(x)=f(-x),f(x)是偶函數,B正確;對于C,若x為整數,f(x)=2024,x不為整數時,f(x)=0,總之f(x)是整數,則f(f(x))=2024,C正確;對于D,若x為整數,則x+1也為整數,若x不為整數,則x+1也不為整數,總之有f(x+1)=f(x),f(x)的周期為1,若t(0<t<1)也是f(x)的周期,而x和x+t可能一個是整數,另一個不是整數,則有f(x)≠f(x+t),故f(x)的最小正周期為1,D正確.故選BCD.13.2解析因為對任意x∈R,都有f(x+3)f(x)=k,k為常數,所以f(x+6)f(x+3)=k,從而f(x+6)=f(x),即f(x)的周期為6,所以f(2023)=f(1)=2.14.0解析由x+1x-1>0,得x<-1或x>1,則函數的定義域為(-∞,-1)∪(1,因為f(x)=(x+a)lnx+1x-1為偶函數,所以f(-2)=f(2),所以(-2+a)ln-2+1-2-1=(2+a)ln2+12-1,(a-2)ln13=(a+2)ln3,得-(a-2)ln3=(a+2)ln3,解得a=0,當a=0時,f(x)=xlnx+1x-1,則f(-x)=-xln-x+1-x-1=-xlnx-1x+1=-xln15.(1)證明∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x)是周期函數,且T=4是其一個周期.(2)解令x∈[-2,0],則-x∈[0,2],∴f(-x)=-2x-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是定義在R上的奇函數,即f(-x)=-f(x),∴當x∈[-2,0]時,f(x)=2x+x2,由x∈[2,4],得x-4∈[-2,0],則f(x-4)=2(x-4)+(x-4)2=x2-6x+8.∵f(x)的周期是4,∴f(x)=f(x-4)=x2-6x+8,∴當x∈[2,4]時,f(x)=x2-6x+8.(3)解當x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2,∴f(0)=2×0-02=0,f(1)=2×1-12=1,當x∈[2,4]時,f(2)=22-6×2+8=0,f(3)=32-6×3+8=-1,f(4)=42-6×4+8=0,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.∵f(x)是周期為4的函數,且2026=4×506+2,∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=506×0+f(0)+f(1)=1.16.A解析因為f(x+1)為偶函數,所以f(-x+1)=f(x+1),因為f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x).當x∈[0,1]時,f(x)=ax+b,則f(0)=b,f(1)=a+b.又當x=0時,f(0)=-f(0),所以f(0)=0,所以b=0.當x=1時,f(0)=f(2)=0,f(-1)=-f(1),又因為f(-1)+f(2)=1,所以f(1)=-1,則a=-1,因此當x∈[0,1]時,f(x)=-x.因為f(x+4)=f[1-(x+3)]=f(-x-2)=-f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x),所以函數f(x)的周期是4.當x=12時,f(12)=-12;當x=1時,f(1)=-1