課時規范練4基本不等式基礎鞏固練1.(2024·湖南衡陽模擬)函數y=16x-2+x(x>A.8 B.9 C.10 D.112.(2024·四川達州二模)已知實數a,b滿足a+b2=2,則4a+2b的最小值為(A.4 B.8C.42 D.823.(2024·江蘇南通二模)設x>0,y>0,1x+2y=2,則x+1y的最小值為(A.32 B.22C.32+4.(2024·福建漳州三模)設a>0,b>0,且a+2b=1,則log2a+log2b的()A.最小值為-3 B.最小值為3C.最大值為-3 D.最大值為35.(2024·江蘇揚州模擬)已知x>0,y>0,且2x+y=1,則x+yxyA.4 B.42C.6 D.22+36.(2024·廣東韶關模擬)已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面為矩形,AB=2A1B1,高為3,且該棱臺的體積為63,則該棱臺上底面A1B1C1D1的周長的最小值是()A.15 B.14 C.13 D.127.(多選題)(2024·山西大同模擬)下列結論正確的是()A.當x>0時,x+1B.當x>2時,x+1xC.當x>0,y>0時,xy+D.當x<2時,y=x-1+1x8.(多選題)(2024·湖北黃岡模擬)已知a>0,b>0且1a+4bA.ab有最小值4B.a+b有最小值9C.2ab+a有最小值25D.16a29.函數f(x)=2x2+x+310.(2024·遼寧大連一模)對于任意的正數m,n,不等式3m+1n≥綜合提升練11.(2024·黑龍江哈爾濱模擬)已知正實數a,b滿足lga+lgb=lg(a+2b),則4a+2b的最小值是()A.5 B.9C.13 D.1812.已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn,且-a1,S2,S3成等差數列.若存在兩項am,an(m,n∈N*)使得am·an=8a1,則A.16 B.2 C.103 D.13.(2024·江蘇徐州模擬)設正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當xyz取得最大值時,2x+A.9 B.1 C.94 14.(多選題)(2024·浙江金華檢測)已知a>0,b>0,a+b=2ab-32,則(A.a>34 B.a+b≥C.ab≥94 D.15.(2024·廣東珠海模擬)已知a>0,b>0,且ab=1,則2a+4b+1816.(13分)(2025·上海嘉定階段檢測)某企業為響應國家節水號召,決定對污水進行凈化再利用,以降低自來水的使用量.經測算,企業擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費(單位:萬元)與設備的占地面積x(單位:平方米)成正比,比例系數為0.2,預計安裝后該企業每年需繳納的水費C(單位:萬元)與設備占地面積x之間的函數關系為C=20x+5(x>0),將該企業的凈水設備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為y(1)要使y不超過7.2萬元,求設備占地面積x的取值范圍;(2)設備占地面積x為多少時,y的值最小,并求出此最小值.創新應用練17.(2025·甘肅張掖模擬)已知a>b>c,若1a-b+1A.2 B.3 C.4 D.518.(2024·山東日照模擬)設x>-1,y>0且x+2y=1,則1x+1+19.(13分)(2025·北京名校高三一輪)(1)已知x>0,求函數f(x)=xx2(2)已知x<54,求函數y=16x答案：1.C解析由x>2,得x-2>0,則y=16x-2+(x-2)+2≥216x-2·(x-2)+2=2.B解析因為a+b2=2,所以2a+b=4,所以4a+2b=22a+2b≥222a·2b=222a+b=224=8,當且僅當22a=23.C解析因為1x+2y=2,所以12x+y=1,因為x>0,y>0,所以x+1y=(x+1y)(12x+y)=12+xy+12xy+1當且僅當xy=12xy,即x=1+22,y=2-24.C解析因為a>0,b>0,且a+2b=1,所以a+2b≥22ab,即ab≤18,當且僅當a=2b,即a=12,b=1所以log2a+log2b=log2ab≤log218=-3,即log2a+log2b≤-35.D解析因為x>0,y>0,且2x+y=1,所以x+yxy=1y+1x=(1y+1x)(2x+y)=2xy+yx+3≥22xy·y6.D解析設棱臺的上底面矩形邊長分別為a,b,則下底面矩形邊長分別為2a,2b,則棱臺的體積為V=13×3×(ab+ab·4ab+4ab)=63,∴ab=9,∴棱臺的上底面的周長為2(a+b)≥4ab=12,當且僅當a=b=3時,等號成立,7.AC解析由x>0,得x+1x≥2x·1x=2,當且僅當x=1時由基本不等式可得x+1x≥2x·1x=2,當且僅當x=1時,等號成立,而x>2,故等號不成立,故x+1x由基本不等式可得xy+yx≥2xy·yx=2,當且僅當取x=-5,則x-1+1x-2=-6-17<3,故y=x-1+1x-2的最小值不為3,8.ABD解析由2=1a+4b≥21a·4b,得ab≥4,當且僅當1a=4b,即a=1,b=4時,等號成立,故A正確;因為a+b=12(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2ba·4ab)=92,當且僅當ba=4ab,即a=32,b=3時,等號成立,故B正確;由1a+4b=2,得2ab-4a-b=0,所以2ab+a=5a+b=12(1a+4b)(5a+b)=12(9+ba+20ab)≥12(9+2ba·20ab9.1-26解析因為x<0,則-x>0,所以f(x)=2x2+x+3x=2x+3x+1=-(-2x+3-x)+1≤-2-2x·3-x+1=1-26,當且僅當-2x=3-x,10.7+26解析因為m,n都為正數,則不等式3m+1n≥λ2m+n可化為λ≤(2m+n)(3m+1n),又由(2m+n)(3m+1n)=7+3nm+2mn≥7+23nm·2mn=11.D解析由題意,正實數a,b滿足lga+lgb=lg(a+2b),則ab=a+2b,所以2a+1b=1,故4a+2b=(4a+2b)(2a+1b)=10+4ba+4ab≥10+24ba·4ab=18,當且僅當4b12.B解析由題設知2S2=S3-a1,即2(a1+a2)=a2+a3=q(a1+a2),又{an}為正項等比數列,所以q=2,an>0.由am·an=8a1,則a12qm+n-2=64a12,即2則1m+9n=18×(1m+9n)(m+n)=18×(10+nm+9mn)≥18×(10+2nm·913.B解析∵x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,又x,y,z均為正實數,∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+∴z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3·2y·y+4y2=2y2,∴2x+1y?2z=1y+1y?1y2=-(1y-1)∴2x+14.BCD解析對于A,取a=34,b=92,滿足a+b=2ab-32,但不滿足a>34,A錯誤;對于B,因為a+b=2ab-32,所以2ab=a+b+32≤(a+b)22,即[(a+b)-3][(a+b)+1]≥0,所以a+b≥3,當且僅當a=b=32時,等號成立,B正確;對于C,a+b=2ab-32≥2ab,令ab=t(t>0),所以4t2-4t-3≥0,即(2t+1)(2t-3)≥0,所以t≥32,即ab≥32,所以ab≥94,當且僅當a=b=32時,等號成立,C正確;對于D,1a+1b=a+bab=2ab-32ab=2-32ab,令ab=m,由C選項可知,15.1212或1解析因為ab=1,所以2aba+4abb=4a+2b=2(2a+b),所以2a+4b+182a+b=2(2a+b)+18故2a+4b+182a16.解(1)由題意得y=0.2x+80x+5(x>0),令y≤7.2即0.2x+80x+5≤7.2,整理得x2-31x+220≤0,即(x-11)(x-20)≤0,解得11≤x≤20,所以設備占地面積x的取值范圍為11(2)因為x>0,所以由基本不等式得y=0.2x+80x+5=x+55+80x+5-1≥2x+55·80x+5-1=216-1=7,當且僅當x+55=80x+517.C解析令x=a-b,y=b-c,則x+y=a-c,因為a>b>c,所以x>0,y>0.因為1a-b+1b-c=ma-c,所以(1a-b+1b-c)(a-c)=m,則m=(1x+1y)(x+y)18.3+222解析因為x>-1,y>0,所以x+1>0,2yx+1>0,x+1y>0,因為x+2y=1,所以x+1+2y=2,所以1x+1+1y=12(1x+1+1y)(x+1+2y)=12(319.解(1)因為x>0,所以f(x)=xx2+x+4可化為f(x)=1x+1+4x,由基本不等式可得,x+4x≥2x·4x=4,當且僅當x=2時,等號成立,所以f(x)=1x+1+4x≤15,當