3.3指數運算及指數函數（精講）一.根式1.如果xn＝a，那么eq\a\vs4\al(x)叫做a的n次方根；2.式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數，a叫做被開方數；3.(eq\r(n,a))n＝eq\a\vs4\al(a)．當n為奇數時，eq\r(n,an)＝eq\a\vs4\al(a)；當n為偶數時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))二.分數指數冪的意義1.分數指數冪①正分數指數冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②負分數指數冪：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的分數指數冪：0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義．2.實數指數冪的運算性質①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．三．指數函數的概念、圖象與性質1．指數函數的概念函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R，a是底數．易錯點：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a>0且a≠1的函數叫做指數型函數，不是指數函數.2．指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與性質底數a>10<a<1圖象性質定義域為eq\a\vs4\al(R)，值域為(0，＋∞)圖象過定點(0,1)當x>0時，恒有y>1；當x<0時，恒有0<y<1當x>0時，恒有0<y<1；當x<0時，恒有y>1在定義域R上為增函數在定義域R上為減函數注意指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質與a的取值有關，應分a>1與0<a<1來研究指數冪運算原則（1）指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加；②運算的先后順序．(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數．(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．二．指數函數圖象的畫法畫指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).三．指數函數的圖象與底數大小的比較1.如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b>0.由此可得到以下規律：在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大．2.有關指數函數圖象問題的解題思路(1)已知函數解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除；(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論；(3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往是利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解；(4)根據指數函數圖象判斷底數大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷．3.比較指數式的大小的方法是(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大小；(2)不能化成同底數的，一般引入“1”等中間量比較大小．4.指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化．考法一指數冪運算【例1】（2023·貴州）化簡求值（1）（2）．(3)；(4)（5）已知：，求的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)（5）【解析】（1）原式（2）原式（3）（4）（5）因為，所以，即，所以，即，所以.【一隅三反】1.（2023·安徽）計算或化簡下列各式：(1)；(2)．(3)；(4)已知，求下列各式的值：①；②．【答案】(1)(2)(3)89；(4)①；②.【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式；（4）①∵，∴，又由得，∴，所以；②（法一），（法二），而，∴，又由得，∴，所以.2．（2023·云南）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)或；(3)或；(4).【解析】（1）由，可得，所以，所以，即，所以；（2）由，可得，所以，所以或，由，可得，故，由，可得，即，所以，即，所以或；（3）因為，所以原方程可化為，即，兩邊取對數可得，即，所以或，經檢驗或是原方程的解，所以或；（4）由，可得，所以，即，經檢驗滿足題意，所以.考法二指數函數的三要素及定點【例21】（2023·廣東）函數①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指數函數的是_________．【答案】①⑤【解析】因為指數函數為且，故①⑤正確；由冪函數定義知，是冪函數，故②不正確；由指數函數的定義知，③④⑥⑦均不是指數函數；對于⑧，當時，，不是指數函數.故答案為：①⑤.【例22】（2023廣東湛江）函數的定義域為________．【答案】【解析】由題設，即，所以，可得，故函數定義域為.故答案為：【例23】（2023·上海奉賢）點、都在同一個指數函數的圖像上，則t=________．【答案】9【解析】設指數函數為，其中且，將、代入函數解析式得，解得，.故答案為：9【例24】（1）（2023春·湖北咸寧）當時，函數的值域是（） B． C． D．（2）（2023·遼寧丹東）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）A【解析】（1）因為指數函數在區間上是增函數，所以，于是，即所以函數的值域是.故選：C.（2）依題意，令，則，因為單調遞減，且所以，所以.故選：A.【例25】（1）（2023云南）函數恒過定點（2）（2023·全國·高三專題練習）函數且的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，，則的最小值為__________.【答案】（1）（2）【解析】由題設，當，即時，，所以函數過定點.故選：B（2）令，即，則，所以的圖象恒過定點，因為點在直線上，所以，又，所以，當且僅當且，即，時取等號，所以的最小值為.故答案為：.【一隅三反】1．（2023春·山東濱州）函數的定義域為【答案】【解析】由題意得，即，解得．2．（2023·上海）已知函數是指數函數，求實數a的值．【答案】4【解析】因為函數是指數函數，所以，解得，即實數a的值為4.3．（2023·江西）下列函數中，屬于指數函數的是_________．（填序號）①﹔②；③；④（a為常數，，）；⑤；⑥﹔⑦．【答案】③④【解析】對①：指數式的系數為2，不是1，故不是指數函數；對②：其指數為，不是，故不是指數函數；對③④：滿足指數函數的定義，故都是指數函數；對⑤：是冪函數，不是指數函數；對⑥：指數式的系數為，不是1，故不是指數函數；對⑦：指數的底數為，不滿足底數大于零且不為1的要求，故不是；綜上，是指數函數的只有③④.故答案為：③④.4．（2023春·北京順義）函數的定義域為___．【答案】且【解析】要使函數函數有意義，需滿足，解得且，故函數的定義域為且，故答案為：且5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數是定義域為的奇函數，且當時，．求函數的解析式.【答案】【解析】因為函數是定義域為的奇函數，所以，當時，，當時，，則，所以當時，，所以.6．（2023·寧夏銀川·校聯考二模）已知函數，，則其值域為_______．【答案】【解析】令，∵，∴，∴，又關于對稱，開口向上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，時，函數取得最小值，即，時，函數取得最大值，即，.故答案為：.7．（2023春·上海嘉定）已知函數的值域為，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】當時，；當時，.因為原函數的值域為，即，則，解得.故答案為：.8.（2023北京）函數且的圖象恒過某定點，則此定點為【答案】【解析】令，得，所以函數且的圖象恒過定點.考法三指數函數的單調性及綜合運用【例31】（2023春·河南周口）函數的單調遞增區間為______.【答案】【解析】令，則在上單調遞減，在上單調遞增，又在定義域上單調遞減，所以的單調遞增區間.故答案為：【例32】（2023湖北）函數在區間上是減函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，其圖象開向上，對稱軸為直線．函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，又在上單調遞增，，解得．故選：C.【例33】（1）（2023春·上海嘉定）不等式的解集為______．（2022·海南·校聯考模擬預測）不等式的解集為【答案】（1）（2）【解析】原式可化為，因為為減函數，所以，即，解得或，所以原不等式的解集為.故答案為：.（2）構造函數，易知函數在上為單調遞增函數．因為不等式等價于，又，所以，所以由函數的單調性知，即，解得或，所以原不等式的解集為.【例34】（2023·全國·高三專題練習）設，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，，，又函數在上單調遞增，，所以所以，故選：C【一隅三反】1.（2023新疆）已知函數|在區間上是增函數，則實數的取值范圍是_____.【答案】【解析】由的圖象向右平移1個單位，可得的圖象，因為是偶函數，且在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，因為函數|在區間上是增函數，所以，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：.2.（2022天津）求函數的單調區間.【答案】增區間為[2,+∞)，減區間為(∞,2).【解析】設t＝>0，又y＝t2－8t＋17=（t4）2+1在(0，4]上單調遞減，在(4，＋∞)上單調遞增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函數t＝在R上單調遞減，所以函數的增區間為[2,+∞)，減區間為(∞,2).3．（2023·河北）已知函數，則不等式的解集是【答案】【解析】由得，，則，根據在上單調遞增，所以，解得，即的解集為。4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上單調，則a的取值范圍是【答案】【解析】的開口向下，對稱軸是直線，所以函數在上單調遞增，依題意可知，在上單調遞增，所以，解得，所以的取值范圍是.5．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則、、的大小關系為_____________【答案】【解析】由題意可知，，故；又，，因為，故，綜合可得.故答案為:6.．（2023·江蘇宿遷）若，，且滿足，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得.因為函數在上單調遞減，所以.因為函數在上單調遞減，所以.因為函數在上單調遞減，所以.綜上，.故選：C考法四指數函數的奇偶性【例41】（2023·全國·高三專題練習）若函數為奇函數，則_________【答案】/或/或【解析】因為函數為奇函數，所以由可得，即，整理得，解得，經檢驗，當或時，滿足，故答案為：【例42】2023·全國·高三專題練習）已知函數為偶函數，則（

）A．1 B．2 C．2 D．1【答案】A【解析】因為函數為偶函數，所以，，，所以，即得可得，成立，所以.故選：A.【例43】（2023·四川綿陽·統考模擬預測）設函數在定義域上滿足，若在上是減函數，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，即，故函數在定義域上奇函數，若在上是減函數，則在上是減函數，∵，且，若，則，解得，故不等式的解集為.故選：A.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）若為奇函數，則實數______.【答案】【解析】若為奇函數，則，故，解得.故答案為：1.2．（2023·山東濰坊·統考二模）已知函數，則（

）A．是奇函數，且在R上是增函數 B．是偶函數，且在R上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數 D．是偶函數，且在R上是減函數【答案】C【解析】函數的定義域為R，因為，所以函數為奇函數，又因為函數在R上都是減函數，以函數所在R上是減函數.故選：C.3（2023·遼寧鞍山·校聯考一模）函數是定義在R上的偶函數，且，若，，則（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】因為，且是定義在R上的偶函數，所以，令，則，所以，即，所以函數的周期為2，所以.故選：B.4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為，是偶函數，是奇函數，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數為偶函數，則，即，①又因為函數為奇函數，則，即，②聯立①②可得，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故函數的最小值為.故選：B.考法五指數函數的圖像【例51】（2023春·內蒙古赤峰）若的圖像如圖，（，是常數），則（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由圖可知函數在定義域上單調遞減，所以，則，所以在定義域上單調遞增，又，即，所以.故選：D【例52】（2023·北京·人大附中校考三模）已知函數，，則大致圖象如圖的函數可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，的定義域均為，且,，所以為奇函數，為偶函數.由圖易知其為奇函數，而與為非奇非偶函數，故排除AB.當時，，排除C.故選:D．【一隅三反】1．（2023·云南）函數的圖像大致為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】若函數有意義，則，解得，所以函數的定義域為；因為，所以；所以為定義域上的偶函數，圖像關于軸對稱，可排除選項A，C；當時,,排除選項B．故選：D．2．（2023春·江蘇南京）已知函數的圖象如圖所示，則可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，由函數圖像可知，時，，而，當時，，故A錯誤；對于B，由函數的圖像可以看出，當時，函數有意義，而函數在無定義，故B錯誤；對于C，函數圖像關于原點對稱，即函數為奇函數，由為非奇非偶函數，故C錯誤；對于D，是一個奇函數，時，，符合圖象，故D正確.故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習）函數的圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】，排除BC；當時，，當時，，A不滿足，排除.故選：D4．（2023·全國·高三專題練習）函數的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，函數定義域為，，函數為奇函數，排除BD；，，故，排除A.故選：C考法六指數函數的綜合運用【例61】（2023·貴州）某工廠產生的廢氣經過