高一數學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規定位置粘貼考試用條形碼.答題時，務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.祝各位考生考試順利！參考公式：柱體的體積公式，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高.錐體的體積公式，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高.球的體積公式，其中表示球的半徑.第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知平面向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量加法的坐標運算直接求解即可.【詳解】.故選：A.2.化簡：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量加法的三角形法則可知.【詳解】.故選：C.3.在△中，，，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據正弦定理求解.【詳解】由題意可知，，根據正弦定理得.故選：A.4.是虛數單位，若為純虛數，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據復數乘法、純虛數的知識求得正確答案.【詳解】依題意為純虛數，所以，解得.故選：C5.復數（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數模長運算法則直接求解即可.【詳解】.故選：A.6.若球的表面積擴大到原來的倍，那么該球的體積擴大到原來的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由球的表面積和體積公式可知，球的表面積之比為半徑比的平方，體積比為半徑比的立方.【詳解】設擴大前后球半徑分別，由表面積之比為，得，則體積之比為.故選：D.7.為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】根據三角函數平移變換原則直接判斷即可.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：D.8.設m，n是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列說法正確的是（）A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m∥α，n∥α，則m⊥nC.若m⊥α，n⊥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m⊥n【答案】C【解析】【分析】在A中，m與n相交、平行或異面；在B中，m與n相交、平行或異面；在C中，由線面垂直的判定定理得m∥n；在D中，m∥n．【詳解】由m，n是兩條不同的直線，α是一個平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；在B中，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故B錯誤；在C中，若m⊥α，n⊥α，則由線面垂直的判定定理得m∥n，故C正確；在D中，若m⊥α，n⊥α，則由線面垂直的判定定理得m∥n，故D錯誤．故選C．【點睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．9.已知函數的圖象與軸的兩個相鄰交點的橫坐標為，下面4個有關函數的結論：①函數的圖象關于原點對稱；②在區間上，的最大值為；③是的一條對稱軸；④將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，若為兩個函數圖象的交點，則面積的最小值為．其中正確的結論個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據題意求出函數的表達式，再根據選項要求一一判斷即可.【詳解】，．將代入，得．又，．．不是奇函數．的圖象不關于原點對稱，①錯；當時，，由的單調性可知：，即的最大值為，②對；由，得的對稱軸方程為，不是的對稱軸，③錯；，由，得，，相鄰兩個交點的橫坐標之差為，將代入，得到交點的縱坐標為，面積的最小值為，④對．故選：B．【點睛】本題主要考查的是三角函數模型的性質和應用，以及三角函數圖像平移問題，解題的關鍵是熟練掌握三角函數模型的性質，是中檔題.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分.10.若是虛數單位，則復數=____________.【答案】【解析】【分析】根據復數代數形式的除法運算法則計算可得；【詳解】解：故答案為：11.函數的最小正周期為，則_______.【答案】【解析】【分析】根據正弦型函數最小正周期求法直接求解即可.【詳解】的最小正周期，.故答案為：.12.已知平面向量，，若共線，則___________.【答案】【解析】【分析】根據向量共線的坐標表示可直接構造方程求得結果.【詳解】共線，，解得：.故答案為：.13.用與球心距離為1的平面去截該球，所得截面面積為π，則該球的體積_____________.【答案】【解析】【詳解】截面面積為π?截面圓半徑為1，又與球心距離為1?球的半徑是，所以根據球的體積公式知V球＝故答案為14.已知圓錐的側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線與底面半徑的比為_______.【答案】##【解析】【分析】設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，計算出底面圓的周長，得出該圓錐的母線長與底面半徑的比.【詳解】設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，由題意可知，底面圓的周長為，故，，則該圓錐的母線長與底面半徑的比為.故答案為：2.15.在中，，，，點在線段上（點不與端點重合），延長到，使得，（為常數），（ⅰ）若，則___________；（ⅱ）線段的長度為____________.【答案】①.②.【解析】【分析】建立如圖平面直角坐標系，根據題意得，由得解得，此時，直線方程為，的直線方程為，聯立得，，即可解決.【詳解】如圖，以為坐標原點建系如圖，則,所以由得,整理得，由得解得或，當時，，此時重合，由可得，此時，因為點不與端點重合，所以不滿足題意，舍去，當時，，的直線方程為，的直線方程為，聯立解得，所以，所以，若，則解得，此時，故答案為:;.三、解答題：本大題共4個小題，共40分.解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.在中，內角所對的邊分別是，已知,，.（1）求：的值；（2）求：面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，利用余弦定理求得.（2）先求得，然后利用三角形面積公式求得三角形的面積.【小問1詳解】已知，由正弦定理得，由于，所以，因為，所以；【小問2詳解】由于，所以是銳角，所以，則.17.已知函數.（1）求函數的最小正周期及單調遞增區間；（2）在中，內角所對的邊分別是，若，，，求的值.【答案】（1）最小正周期，單調遞增區間為（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式化簡得到，利用正弦型函數最小正周期求法可得；令可求得單調遞增區間；（2）由可求得，利用余弦定理可求得的值.【小問1詳解】，的最小正周期；令，解得：，的單調遞增區間為.【小問2詳解】由（1）得：，，，，，解得：，由余弦定理得：，.18.如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，,是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面；（2）利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值；（3）利用向量法求得點到平面的距離.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，由于四邊形是矩形，所以，由此，以坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則；所以，因為，所以，由于，所以，由于，平面，所以平面；【小問2詳解】設平面的法向量，則，即不妨令,可得，且為平面的一個法向量，于是，所以平面與平面夾角的余弦值為；【小問3詳解】設點到平面的距離為，由（2）可知平面的法向量，，設點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為.19.已知如圖，四邊形為矩形，為梯形，平面平面，，，．（1）若為中點，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點（除去端點），使得平面與平面所成銳二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）（3）存，.【解析】【分析】（1）連接，根據直線與平面平行的判定定理進行證明；（2）使用空間向量求解線面角的正弦值；（3）使用空間向量法利用已知條件，求解得出滿足條件的點的坐標即可求解．【小問1詳解】證明：如圖，連接，四邊形為矩形，與交于點，為的中點，又因為為的中點，，而平面，平面，平面；【小問2詳解】如下圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，根據題意，則有，0，，，1，，，2，，，0，，所以，0，，，1，，，2，，假設平面的一個法