揚州市重點中學2024-2025學年數學高二第二學期期末統考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題中真命題的個數是（）①，；②若“”是假命題，則都是假命題；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．32．在一次期中考試中，數學不及格的人數占，語文不及格占，兩門都不及格占，若一名學生語文及格，則該生數學不及格的概率為（）A． B． C． D．3．若復數，則復數在復平面內的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在的展開式中，含的項的系數是（）A．-10 B．5 C．10 D．-55．已知中，，，，則B等于（）A． B．或 C． D．或6．點M的極坐標(4，A．(4，π3) B．(47．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2C．2 D．38．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時，均從一片荷葉跳到另一片荷葉），而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示.假設現在青蛙在荷葉上，則跳三次之后停在荷葉上的概率是（）A． B． C． D．9．正切函數是奇函數，是正切函數，因此是奇函數，以上推理（）A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．以上均不正確10．已知為等差數列,,則（）A．42 B．40 C．38 D．3611．已知，函數，若在上是單調減函數，則的取值范圍是()A． B． C． D．12．已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)<1，f(5)＝，則實數a的取值范圍為()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在正方體中，與所成角的大小為________.14．已知拋物線的焦點為，點在上，以為圓心的圓與軸相切，且交于點，若，則圓截線段的垂直平分線所得弦長為，則______．15．已知復數，則復數的實部和虛部之和為______.16．已知命題“，”為假命題，則的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數為自然對數的底數）．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若，證明：關于的不等式在上恒成立．18．（12分）已知.（1）當時，求：①展開式中的中間一項；②展開式中常數項的值；（2）若展開式中各項系數之和比各二項式系數之和大，求展開式中含項的系數.19．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O:x2+y2=4，橢圓C:x24+y2=1，A為橢圓右頂點．過原點O且異于坐標軸的直線與橢圓C交于B,C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD（1）求k1（2）記直線PQ,BC的斜率分別為kPQ,kBC，是否存在常數λ，使得（3）求證：直線AC必過點Q．20．（12分）人站成兩排隊列，前排人，后排人.（1）一共有多少種站法；（2）現將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，求有多少種不同的加入方法.21．（12分）約定乒乓球比賽無平局且實行局勝制，甲、乙二人進行乒乓球比賽，甲每局取勝的概率為．（1）試求甲贏得比賽的概率；（2）當時，勝者獲得獎金元，在第一局比賽甲獲勝后，因特殊原因要終止比賽．試問應當如何分配獎金最恰當？22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數且）.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程是.（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）判斷直線與曲線的位置關系，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】若，，故命題①假；若“”是假命題，則至多有一個是真命題，故命題②是假命題；依據全稱命題與特征命題的否定關系可得命題“”的否定是“”，即命題③是真命題，應選答案B．2、A【解析】

記“一名學生語文及格”為事件A，“該生數學不及格”為事件B，所求即為，根據條件概率的計算公式，和題設數據，即得解.【詳解】記“一名學生語文及格”為事件A，“該生數學不及格”為事件B，所求即為：故選：A本題考查了條件概率的計算，考查了學生概念理解，實際應用，數學運算的能力，屬于基礎題.3、B【解析】

把復數為標準形式，寫出對應點的坐標．【詳解】，對應點，在第二象限．故選B．本題考查復數的幾何意義，屬于基礎題．4、A【解析】

根據，把按二項式定理展開，可得含的項的系數，得到答案．【詳解】由題意，在的展開中為，所以含的項的系數，故選A．本題主要考查了二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5、D【解析】

根據題意和正弦定理求出sinB的值，由邊角關系、內角的范圍、特殊角的三角函數值求出B．【詳解】由題意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，由得，sinB，又b＞a，0°＜B＜180°，則B＝60°或B＝120°，故選：D．本題考查正弦定理，以及邊角關系的應用，注意內角的范圍，屬于基礎題．6、C【解析】

在點M極徑不變，在極角的基礎上加上π，可得出與點M關于極點對稱的點的一個極坐標。【詳解】設點M關于極點的對稱點為M'，則OM'所以點M'的一個極坐標為(4,7π6)本題考查點的極坐標，考查具備對稱性的兩點極坐標之間的關系，把握極徑與極角之間的關系，是解本題的關鍵，屬于基礎題。7、C【解析】

根據向量三角形法則求出t，再求出向量的數量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．本題考點為平面向量的數量積，側重基礎知識和基本技能，難度不大．8、C【解析】

根據條件先求出逆時針和順時針跳的概率，然后根據跳3次回到A，則應滿足3次逆時針或者3次順時針，根據概率公式即可得到結論．【詳解】設按照順時針跳的概率為p，則逆時針方向跳的概率為2p，則p+2p=3p=1，解得p=，即按照順時針跳的概率為，則逆時針方向跳的概率為，若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上，則滿足3次逆時針或者3次順時針，①若先按逆時針開始從A→B，則對應的概率為××=，②若先按順時針開始從A→C，則對應的概率為××=，則概率為+==，故選：C.本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題.9、C【解析】

根據三段論的要求：找出大前提，小前提，結論，再判斷正誤即可。【詳解】大前提：正切函數是奇函數，正確；小前提：是正切函數，因為該函數為復合函數，故錯誤；結論：是奇函數，該函數為偶函數，故錯誤；結合三段論可得小前提不正確.故答案選C本題考查簡易邏輯，考查三段論，屬于基礎題。10、B【解析】分析：由已知結合等差數列的性質可求，然后由即可求解.詳解：，，，，故選：B.點睛：(1)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想來解決問題．(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．11、C【解析】

根據函數的解析式，可求導函數，根據導函數與單調性的關系，可以得到；分離參數，根據所得函數的特征求出的取值范圍.【詳解】因為所以因為在上是單調減函數所以即所以當時，恒成立當時，令，可知雙刀函數，在上為增函數，所以即所以選C導數問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉化為（需在同一處取得最值）..12、A【解析】

根據函數的奇偶性和周期性將條件進行轉化，利用不等式的解法即可得到結論．【詳解】∵f（x）是定義在R上的以3為周期的偶函數，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故選：A．本題主要考查不等式的解法，利用函數的奇偶性和周期性進行轉化是解決本題的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

記點正上方的頂點為，在正方體中，得到即是與所成的角，進而可得出結果.【詳解】如圖，記點正上方的頂點為，在正方體中，顯然，所以即是與所成的角，易得：故答案：本題主要考查異面直線所成的角，在幾何體中作出異面直線所成的角，即可求解，屬于常考題型.14、【解析】

根據條件以A為圓心的圓與y軸相切，且交AF于點B，，求出半徑，然后根據垂徑定理建立方程求解【詳解】設，以為圓心的圓與軸相切，則半徑，由拋物線的定義可知，，又，∴，解得，則，圓A截線段AF的垂直平分線所得弦長為，即，解得．故答案為1．本題主要考查了拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系的應用，其中解答中熟練應用拋物線的定義，合理利用圓的弦長是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．15、0【解析】

先化簡求得再計算實部和虛部的和即可.【詳解】,故實部和虛部之和為.故答案為：0本題主要考查復數的基本運算與實部虛部的概念,屬于基礎題型.16、【解析】分析：先根據命題真假得恒成立，即得的最大值.詳解：因為命題為假命題，所以恒成立，所以的最大值.點睛：根據命題與命題否定的真假性關系進行轉化，即特稱命題為假命題，則對應全稱命題為真命題，再根據恒成立知識轉化為對應函數最值問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（Ⅱ）證明見解析.【解析】

（Ⅰ）根據導數求解函數單調區間的步驟，確定定義域，求導，解導數不等式或，中間涉及到解含參的一元二次不等式的解法，注意分類討論；（Ⅱ）構造函數，再利用題目條件進行放縮，得到，轉化為求函數的最小值，即可證出。【詳解】定義域為R，,令，則，則結合二次函數圖像可知，當時，；當時，；當時，；故函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（II）令，當時，，而，故，故，令，故，故函數在上單調遞減，則，則，即關于x的不等式在上恒成立.本題主要考查利用導數求函數的單調區間問題，最值問題，證明恒成立問題，涉及到轉化與化歸思想的應用。靈活構造函數是解決本題的關鍵，合理放縮也是關鍵點，意在考查學生的邏輯推理、數學運算和數學建模的能力。18、（1）①；②；（2）.【解析】

（1）當時，利用二項式定理，二項展開式的通項公式，可求出特定的項以及常數項的值；（2）根據展開式中各項系數之和比各二項式系數之和大于求出的值，再利用二項展開式的通項公式，求出展開式中含項的系數．【詳解】（1）①當時，的展開式共有項，展開式中的中間一項為；②展開式的通項公式為，令，得，所求常數項的值為；（2）若展開式中各項系數之和比各二項式系數之和大于，而展開式中各項系數之和為，各二項式系數之和為，則，即，解得.所以，展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數為.本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于中檔題．19、（1）k1k2【解析】試題分析：（1）設，則，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡即可得到所求值；（2）聯立直線的方程和圓方程，求得的坐標；聯立直線的方程和橢圓方程，求得的坐標，再求直線，和直線的斜率，即可得到結論；試題解析：（1）設，則，所以（2）聯立y=k1(x-2)解得xP聯立得(1+4k1解得，所以kBC=y所以kPQ=52k考點：橢圓的簡單性質．【方法點晴】本題考查橢圓的方程和性質，在（1）中，設出點坐標，利用對稱性得到點坐標，表達出斜率，利用點在橢圓上，整體代換的思想求出結果；考查直線方程和橢圓方程聯立，求得交點，考查直線方程和圓方程聯立，求得交點,直線的斜率和方程的運用，就化簡整理的運算能力，對運算能力要求較高，屬于中檔題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據題意，將7個人全排列，再將其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可，由排列數公式計算可得答案；（2）根據題意，分2步進行分析：①前排3人有4個空，從甲乙丙3人中選1人插入；②對于后排，分2種情況討論，求出后排的排法數目，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】（1）根據題意，將7個人全排列，再將其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可；則有種排法，（2）根據題意，分2步進行分析：①前排3人有4個空，從甲乙丙3人中選1人插入，有種排法；②對于后排，若插入的2人不相鄰有種，若相鄰有種，則后排的安排方法有種；則有種排法．本題考查排列、組合的應用，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意分類討論思想的運用.21、（1）；（2）甲獲得元，乙獲得元.【解析】

（1）甲贏得比賽包括三種情況：前局甲全勝；前三局甲勝局輸局，第局勝；前局甲勝局輸局，第