第一單元有理數考點1正數與負數1．正數：大于的數，如3，1.8%，等；2．負數：在正數前面加“”（負）的數，即小于的數，如3，1.8%，等3．注意事項（1）號可以省略不寫，號不可以省略；（2）0既不是數，也不是數；（3）0是正負數的交界點，0℃是一個確定的溫度，海拔0m表示海平面的高度，0的意義不僅表示“沒有”．4．正數和負數表示具有意義的量．若用正數表示某種意義的量，則負數就表示與其相反的量，反之亦然．考點2有理數1．有理數：和統稱有理數．2．有理數的分類3．三類“非”數（1）正數和零叫做；（2）負數和零叫做；（3）正數和負數叫做；4．注意事項（1）最小的正整數________．最大的負整數________．最小的自然數________．（2）小數和無限小數可以轉化為分數，因此小數和無限小數是有理數．（例：0.53、1.333333…．等）（3）無限不循環小數不能化成分數，因此無限不循環小數不是有理數．（例如：π）考點3數軸1．概念：規定了、、的直線叫做數軸．如圖所示：2．數軸的三要素：、、．3．畫數軸步驟：畫直線→取原點→規定正方向→單位長度．4．數軸上兩點之間的距離點在數軸上表示的數分別是，則．考點4相反數1．概念：像－6和6，5和－5這樣，只有不同的兩個數叫做互為相反數．2．在一個數前面加上“+”號，表示這個數；在一個數前面加上“”號，表示這個數，如a的相反數是；3．0的相反數是；4．相反數的幾何意義：互為相反數的兩個數在數軸上對應的兩個點到原點的的相等且位于原點的側；反之，位于原點側且到原點相等的點所表示的兩個數互為相反數．5．相反數的代數性質：相反數等于它本身的數只有，若兩個數互為相反數，則它們的和為，它們（除0以外）的商為．考點5絕對值1．概念：一般數軸上表示的數與之間的距離叫做數的絕對值，記作，讀作“的絕對值”．2．幾何意義：一個數絕對值就是數軸上表示這個數的點到的的距離，離原點的距離越遠，絕對值越；離原點的距離越近，絕對值越．3．代數意義：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．絕對值表示方法：4．性質：（1）任何一個數的絕對值總是正數或零（非負性），即：||≥0．（2）0的絕對值是0，即：=0?||=0．（擴展：絕對值最小的數是0）（3）互為相反數的兩個數絕對值相等，即：或?．（4）絕對值相等的兩個數相等或互為相反數，即：?或．（5）絕對值等于同一個整數的數有兩個，它們互為相反數，即：?．（6）若幾個數的絕對值的和為0，則這幾個數分別為0，即：?．（7）若，則，若，則．考點6有理數大小比較1．利用數軸比較兩個數大小（1）依據：數軸上的點表示的數從左到右依次增大；原點左邊的數是負數，原點右邊的數是正數．（2）方法：在數軸上表示的兩個數，右邊的數比左邊的數．2．利用絕對值比較兩個有理數的方法（1）兩個負數比較，絕對值大的反而．（2）兩個正數比較，絕對值大數越．3．法則正數零，負數零，正數大于一切數；兩個正數，絕對值大的較大；兩個負數，絕對值大的反而．考點7有理數的加法和加法運算律1．有理數加法法則（1）同號兩數相加，取相同的，并把絕對值相；（2）絕對值不相等的兩個數相加，取絕對值較大的加數的，并用較大的絕對值較小的絕對值；（3）互為相反數的兩個數相加和為；即若a＞0，b＜0，|a|＝|b|，則a＋b＝0，如（－3）＋3＝0．（4）一個數同0相加，仍得．2．加法運算律（1）加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，不變．即；（2）加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，不變．即（．3．加法運算律運用策略（1）同號的先結合；（2）同分母的分數或者比較容易通分的分數相結合；（3）互為相反數的兩數相結合；（4）能湊成整數的兩數相結合；（5）帶分數一般化為假分數或者分為整數和分數兩部分，再分別相加．考點8有理數減法1．有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的數，即；2．有理數減法步驟如下：（1）將減號變為號；（2）將減數變為它的數；（3）按照加法法則進行計算．結論：小數減去大數，等于大數減去小數的相反數．考點9有理數加減混合運算1．省略加號的和式運用減法法則將加減混合運算統一為加法，再省略號和號，得到的算式稱為省略加號的和式．2．有理數加減混合運算步驟減法化加法→省略括號和加號→運用加法運算律使計算簡便→運用有理數加法法則進行計算．考點10有理數乘法1．有理數的乘法法則：（1）兩數相乘，同號得，異號得，并把相乘．（2）任何數同0相乘，都得．2．倒數：乘積是的兩個有理數互為倒數．0沒有倒數．（數的倒數是）（1）倒數的結果必須化成最簡形式，使分母中不含小數和分數．（2）互為倒數的兩個數必定同號（同為正數或同為負數）．3．多個有理數相乘的法則及規律：（1）幾個不是0的數相乘，負因數的個數是奇數時，積是數；負因數的個數是偶數時，積是數．確定符號后，把各個因數的絕對值相乘．（2）幾個數相乘，有一個因數為0，積為；反之，如果積為0，那么至少有一個因數是．4．有理數的乘法運算律（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，不變．即．（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，不變．即．（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相，再把積相．即．考點11有理數除法1．有理數除法法則：（1）除以一個不為0的數，等于乘以這個數的數．即．（2）兩數相除（被除數不為0），同號得，異號得，并把絕對值相．3）0除以任何不為0的數，都得．2．步驟：先確定商的符號，再算出商的絕對值．3．有理數的乘除混合運算運算順序：從左往右進行，將除法化成乘法后，進行乘法計算．（注：帶分數應首先化為假分數進行運算）4．有理數的四則混合運算運算順序：先乘除，后加減，有括號要先算括號里面的．考點12有理數乘方1．乘方的意義（1）定義：求n個相同數的積的運算，叫作乘方，乘方的結果叫作．（2）記法和讀法：一般地n個相同的因數a相乘，記作，即＝讀作．也可以讀作．（3）相關概念：在中，叫作數，叫作指數．2．乘方的運算（1）有理數乘方的符號法則：①負數的奇次冪是數，負數的偶次冪是數．②正數的任何次冪都是數，0的任何正整數次冪都是．（2）乘方的計算：乘方是一種特殊的乘法運算，可以利用有理數的乘法運算來進行有理數的乘方運算．考點13有理數的混合運算有理數的混合運算運算順序（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級運算，從到進行；（3）如有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號的順序．考點14科學記數法1．概念：把一個大于10的數表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數），這種記數方法叫科學記數法．2．在科學記數法的表示形式中，a和的確定方法：（1）將原數的小數點移到從左到右第1個不是0的數字的后邊即可得到a的值．（2）確定的方法有兩種：①數小數點移動的位數，小數點移動幾位，就是幾；②數原數的整數位數，原數的整數位數減1就是的值．3．用科學記數法表示的數，也可以還原成原數，只需把a的小數點向右移動n位，去掉10n即可．考點15近似數1．近似數：在實際問題中，有的量不可能或者沒有必要用準確數表示，而需用有理數近似地表示出來，由“四舍五入”得到的數或大約估計的數都是近似數．（近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0．）2．有效數字：一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．一個近似數有幾個有效數字，就稱這個近似數保留幾個有效數字．3．精確度：表示一個近似數與準確數的接近程度．一個近似數，四舍五入到哪一位，就稱這個數精確到哪一位．正數和負數比較項目正數負數概念大于零的數小于零的數表示“+”號可以省略“”號不能省略意義增加，收入，上升，等減少，支出，下降，等【例題】1.當我們把其中一種意義的量規定為正，用正數表示，則與它具有相反意義的量直接可以用負數表示．例：中國人很早開始使用負數，中國古代數學著作《九章算術》的“方程”一章，在世界數學史上首次正式引入負數．如果收入100元記作+100元．那么﹣80元表示（）A支出20元 B.收入20元 C.支出80元 D.收入80元2.巴黎與北京的時差為?7時（正數表示同一時刻巴黎比北京時間早的時間（時），如果北京時間是9月2日15：00，那么巴黎時間是（）A.9月2日22：00 B.9月2日8：00 C.9月1日8：00 D.9月2日6：003.一種袋裝面粉標準凈重為，質監工作人員為了解這種面粉是否標準，測量了4袋，不合格的為()A. B. C. D.4.中國人最先使用負數，魏晉時期的數學家劉徽在其著作《九章算術注》中，用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數工具）分別表示正數和負數（紅色為正，黑色為負）．如圖1表示的算式是，根據這種表示法，可推算出圖2所表示的算式是_______．【練經典】5.學校、家、書店，依次坐落在一條南北走向的大街上，學校在家的南邊20米，書店在家的北邊70米，小明同學從家出發，向北走了50米，接著又向南走了﹣20米，此時小明的位置是（）A.在家 B.在書店C.在學校 D.在家的北邊30米處6.牛奶盒的包裝上印有260±5，下列四盒送去質檢，不合格的是（）A.265 B.262 C.258 D.2507.2020年，中尼兩國領導人共同宣布珠穆朗瑪峰最新高程——8848.86米．2022年5月4日，我國科考隊員成功在珠峰海拔8830米處架設自動氣象觀測站，這是全世界海拔最高的自動氣象觀測站．若將自動氣象觀測站作為基準，記珠峰山頂為＋18.86米，則海平面應記為（）A.－8830米 B.0米 C.－8848.86米 D.＋8830米8.北京與柏林的時差為7小時，例如，北京時間，同一時刻的柏林時間是，小蕊和小瑩分別在北京和柏林，她們相約在各自當地時間之間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間()A. B. C. D.9.下表是某市汽油價格調整情況：時間1月14日3月25日6月1日6月30日7月28日9月1日9月29日11月9日價格變化/（元/噸）－140＋290＋400＋600－220＋300－190＋480與上一年年底相比，11月9日的汽油價格是___________（填“上升”或“下降”）了___________元；【練易錯】易錯點1：對正數、負數和零的理解錯誤導致錯誤10.下列說法正確的個數是（）①加正號的數是正數，加負號的數是負數；②任意一個正數，前面加上“－”，就是一個負數；③0是最小的正數；④大于零的數是正數；⑤字母a既是正數，又是負數．A.0 B.1 C.2 D.311.下列關于“0”的敘述，正確的有（）（1）0是正數與負數的分界線；（2）0只表示沒有；（3）0比任何負數都大；（4）0常用來表示某種量的基準．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個有理數分類1．有理數的分類類型整數分數正數正整數正分數零零×負數負整數負分數2．三類“非”數類型正數零負數非負數√√×非正數×√√非零數√×√【例題】12.把下列各數分別填入相應的集合：＋6，0，﹣8，π，﹣4.8，﹣7，，0.6，﹣．整數集合{}；分數集合{}；正有理數集合{}；負有理數集合{}；非負有理數集合{}；自然數集合{}．13.如圖所示，將下列各數填入相應的集合圈內：，﹣7，+2.8，﹣900，﹣3，99.9，0，4．【練經典】14.在表中符合條件的空格里畫上“√”．有理數整數分數正整數負分數自然數是是是是15.把下列各數分別填入相應的集合內．，3，，，，2021，，0，—，—45%．（1）正數集：

；（2）負分數集：

；（3）非正整數集：

；（4）有理數集：

．16.將下列各數填在相應圓圈里：+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2006，﹣1.8，－．【練易錯】易錯點1：忽略零導致錯誤17.下列說法中，正確的是（）A.正有理數和負有理數統稱有理數 B.正分數、零、負分數統稱分數C.零不是自然數，但它是有理數 D.一個有理數不是整數就是分數18.在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，﹣，316%這幾個數中，非負數的個數是（）A.4個 B.5個 C.6個 D.7個相反數、絕對值和倒數比較項目相反數絕對值倒數定義只有正負號不同的兩個數互為相反數在數軸上，一個數所對的點到原點的距離叫做這個數的絕對值乘積為1的兩個數互為倒數法則的相反數是的倒數是性質1互為相反數的兩個數在數軸上表示的點在原點的兩側，到原點的距離相等；2．若互為相反數，則，1．；2．若，則；3．若，則若互為倒數，則【例題】19.下列各組數中，互為相反數的是（）A.與 B.與C.與 D.與20.的相反數是（）A.0 B. C. D.21.如圖，在數軸上，點、分別表示數、，且、互為相反數，若，則點表示的數為（）A.8 B.4 C.0 D.22.下列各式正確的是（）A. B. C. D.23.若，互為相反數，，互為倒數，則__________．24.若有理數a、b、c在數軸上位置如圖所示，則化簡的結果為_______．25.若|x+3|+|y﹣5|＝0，那么x+y的值是多少？【練經典】26.如圖，數軸上的點B表示實數b，若實數a滿足不等式，則a可能為（）A. B. C.2 D.327.一只螞蟻從數軸上A點出發爬了4個單位到了相反數B點所在的位置，則點A所表示的是（）A.﹣2或2 B.﹣2 C.2 D.4或﹣428.下列各組數中，互為相反數的是（）A.和 B.和 C.和 D.和29.式子的最小值是（）A.0 B.1 C.2 D.330.化簡：____________．31.在數軸上表示下列各數，并用“＜”號把這些數連接起來．，6，+(?3)，2，|－4|．32.若|x+3|與|y+2|互為相反數，求x+y的值．【練易錯】易錯點1：忽略互為相反數的絕對值相等導致錯誤33.一個數的絕對值是5，則這個數是（）A.5 B.5 C.－5 D.25有理數大小比較方法原理示例數軸法在數軸上表示的兩個數，右邊的數比左邊的數大口訣法正數大于零，負數小于零，正數大于負數，兩個負數，絕對值大的反而小∵∴【例題】34.下列有理數判斷正確的是（）A. B.C. D.35.已知有理數a、b在數軸上的位置如圖所示．比較a、b、－a、－b的大小，正確的是（）A. B.C. D.36.有理數a、b、c在數軸上的位置如圖，（1）判斷正負，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化簡：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|．【練經典】37.四個有理數，，0，，其中最小的數是（）A. B. C.0 D.38.下列各組數中，比較大小正確的是（）A. B.C. D.39.實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中不正確的是（）A. B. C. D.40.若、是有理數，滿足，且，，則下列選項中，正確的是（）A. B.C. D.41.用“＞”“＜”或“＝”填空：___；___；﹣2___﹣2.342.已知下列各有理數：，0，，2，，，．（1）畫出數軸，在數軸上標出這些數對應的點；（2）用“＜”把這些數連接起來．有理數的運算1．有理數的運算法則有理數的運算運算法則示例加法1．若，則2．若，則3．若，則4．若，則5．若互為相反數，則6．減法乘法1．若，則2．若，則3．若，則4．若，則除法乘方1．若，；2．若，；3．若，為奇數，則；4．若，為偶數，則；2．有理數的運算律運算律加法乘法交換律結合律分配律【例題】43.不改變原式的值，將中的減法改成加法，并寫成省略加號的形式的是（）A. B. C. D.44.若，則的值是（）A.2 B. C.10 D.45.按如圖所示的程序分別輸入進行計算，請寫出輸出結果（）A.4 B.5 C.6 D.746.下列各組數中，不相等的是（）A.（﹣2）2與﹣22 B.（﹣4）2與42C.（﹣2）3與﹣23 D.|（﹣2）2|與|﹣22|47.若，則計算的結果是（）A. B.120 C. D.30048.已知，互為相反數，、互為倒數，，則的值為______．49.計算：__________．50.計算：（1）（2）（3）（4）51.計算：（1）（2）（3）（4）52.某食品廠從生產的袋裝食品中抽出樣品20袋，檢測每袋的質量是否符合標準，超過或不足的部分分別用正數、負數來表示，記錄如下：與標準質量的差值（克）406袋數354521（1）這批樣品每袋平均質量比每袋標準質量多還是少？平均每袋多或少幾克？（2）若每袋標準質量為300克，則抽樣檢測的總質量是多少？【練經典】53.甲、乙兩人用簡便方法進行計算的過程如下所示，下列判斷正確的是（）甲：乙：A.甲、乙都正確 B.甲、乙都不正確C.只有甲正確 D.只有乙正確54.有理數，在數軸上對應點的位置如圖所示，下列各式正確的是（）A. B. C. D.55.下列各式中，一定成立的是（）A.22=(2)2 B.23=(2)3 C.22=|2|2 D.(2)3=|(2)3|56.下列運算正確的是（）A. B.C. D.57.在數學課上，老師讓甲、乙、丙、丁，四位同學分別做了一道有理數運算題：甲：乙：丙：丁：你認為做對的同學是（）A.甲乙 B.乙丙 C.丙丁 D.乙丁58.觀察下列式子：第1個式子：2×4＋1＝9＝32；第2個式子：6×8＋1＝49＝72；第3個式子：14×16＋1＝225＝152；…………則第n個式子的值為（）A.(2n+1－1)2 B.(2n－1)2C.(n3－1)2 D.(3n)259.已知ab＞0，則＝___．60.已知a、b互為相反數，c、d互為倒數，，則＝_____．61.計算：（1）；（2）；（3）（4）62.計算63.計算（1）（2）（3）；（4）64.某一出租車一天下午以萬宜廣場為出發地在南北方向營運，向北為正，向南為負，行車里程（單位：km）依先后次序記錄如下：+9，，，+4，+6，+3，，．（1）將最后一名乘客送到目的地，出租車離萬宜廣場出發點多遠？（2）若每千米的價格為元，司機一個下午的營業額是多少？科學記數法和近似數1．在科學記數法中，a和比較比較項目a范圍為正整數確定原數只保留一位整數的值原數整數的位數減去12．常見的記數單位用科學記數法表示1千=，1萬=，1億=，3．近似數（1）按精確度取近似數；（2）按有效數字取近似數；【例題】65.在巴黎舉行的第27屆國際計量大會中，向國際單位制引進4個詞頭，、、和．其中，表示數字后有27個零，表示數字后有30個零．和則用于表示極小的數字，分別表示小數點后有27個零和30個零，引入后，地球質量可描述為約克，其中用科學記數法表示為（）A. B. C. D.66.用四舍五入法對0.03047取近似值，精確到0.001的結果是（）A.0.0305 B.0.04 C.0.031 D.0.03067.近似數精確到萬位，應記為____________________；【練經典】68.2011年12月，天文學家發現一顆新的與地球放近的系外類地行星，名為“HD85512B”，距地球大約36光年，此距復用科學記數法表示為（1光年萬千米）（）A.米 B.米 C.米 D.千米69.用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）A.0.1（精確到十分位） B.0.05（精確到百分位）C.0.05（精確到0.001） D.0.0502（精確到0.0001）新考法【新定義小練】70.我們規定：數軸上的點到原點的距離為，如果數軸上存在某點，到點的距離是的整數倍，就把點稱作點的倍關聯點．當點所表示的數是時，（1）如果存在點的倍關聯點，則_______；點所表示的數是_______；（2）如果點在數軸上所表示的兩點之間運動，若存在點最大的倍關聯點，則_______．71.對于三個互不相等的數a、b、c，先對任兩個數的差求絕對值，再求這三個絕對值的和，這樣的運算稱為a、b、c的“差絕對值運算”．例如，對于，2，3進行“差絕對值運算”，得到：．①對，3，進行“差絕對值運算”的結果是16；②若，，b、c都為整數，對于a、b、c進行“差絕對值運算”的結果為8，b的值只有3個；③對于，，的“差絕對值運算”的結果化簡，可能存在8種不同的表達式．以上說法中正確的個數（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個72.定義：表示不大于x的最大整數，表示不小于x的最小整數，例如：，，，．則___________．【閱讀材料類小練】73.先閱讀，再計算：閱讀】（一）一般情況下，計算時