專題03分組（并項）法求數列前n項和1．在等差數列{an}中，已知公差d=2，a2是a1與（1）求數列{a（2）設bn=an(【答案】（1）an=2n.（2【詳解】試題分析：（1）由題意知(a解得a1=2（2）由題意知bn從而得到Tn由于bn+1-bn=2(具體的，當n為偶數時，T=4+8+12+?+2=當n為奇數時，T=-(試題解析：（1）由題意知(a即(a解得a1所以數列{an}（2）由題意知bn所以Tn因為bn可得，當n為偶數時，T=4+8+12+?+2==當n為奇數時，T==-所以Tn考點：等差數列、等比數列，數列的求和，分類討論思想.2．已知{an}是等差數列，滿足a1=3，a4=12，數列{b（1）求數列{an}（2）求數列{bn}的前【答案】（1）an=3n(n=1,2,?)，bn=3n+【詳解】試題分析：（1）利用等差數列，等比數列的通項公式先求得公差和公比，即得到結論;（2）利用分組求和法，由等差數列及等比數列的前n項和公式即可求得數列{bn}試題解析：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，由題意得d===3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n設等比數列{bn﹣an}的公比為q，則q3===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=3n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1，∵數列{3n}的前n項和為n（n+1），數列{2n﹣1}的前n項和為1×=2n﹣1，∴數列{bn}的前n項和為；考點：1.等差數列性質的綜合應用；2.等比數列性質的綜合應用；3.數列求和．3．已知遞增等差數列an滿足a1+a5=10，（1）求bn的前n項和S（2）若Tn=nb【答案】（1）Sn=2n-【解析】（1）根據等差數列公式，列出方程組，求得a1,d的hi，得到an=2n-1（2）由（1）得到Sn=2n【詳解】（1）設數列{an}公差為d(d>0)解得a1=1d=2所以an則2log2bn=2n-2所以數列bn的前n項和S（2）由（1）知Sn又由TnT==(2+2【點睛】本題考查了等差、等比數列通項公式，等比數列的前n和公式，以及“分組法”求和的應用，其中解答中熟記等差、等比數列的通項公式和求和公式，以及合理利用“分組法”求和，準確計算是解答的關鍵，注重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.4．已知an為等差數列，bn為單調遞增的等比數列，a1=b（1）求an與b（2）求數列an+bn【答案】（1）an=n，bn=2【分析】（1）設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q，根據題意求得d和q的值，進而可求得數列an（2）求得數列an+b【詳解】（1）設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為由a2+a4=6，可得2所以an由a3b3=12，可得b3又因為數列bn為單調遞增的等比數列，則q>0，故q=2，所以b（2）由（1）可知an數列an的前n項和為1+2+?+n=數列bn的前n項和為1+2+?+故Sn【點睛】本題考查等差數列和等比數列通項公式的求解，同時也考查了分組求和法，考查計算能力，屬于基礎題.5．已知數列an的前n項和為S（1）求數列an（2）數列bn=lgan，x表示不超過x的最大整數，求b【答案】（1）an=3n-2；（【分析】（1）利用an（2）根據數列特點采用分組求和法求解.【詳解】（1）當n=1時，a1當n≥2時，an將n=1代入上式驗證顯然適合，所以an（2）因為a4=10，a34=100，所以bn所以T1000【點睛】本題考查an和Sn6．已知數列an的前n項和為Sn,a1（1）求數列an（2）若數列bn滿足bn=an+log【答案】（1）an=2n【分析】（1）由條件得到an=Sn-1+2n≥2，結合已知兩式相減得到（2）由（1）可知bn=【詳解】（1）∵an+1∴an=①②得an+1-a又a1=2,∴∴{an}是以2∴a（2）由（Ⅰ）得a∴b∴=(2=(=2(1-=【點睛】本題考查已知Sn求an，以及分組轉化法求和，重點考查基本方法，計算能力，屬于基礎題型，本題容易忽略驗證a2a1，一般求和的方法包含1.公式法求和；2.裂項相消法求和；3.7．已知數列an滿足a（1）證明an+1是等比數列，并求（2）求數列an的前n項和公式【答案】（1）證明見解析，an=2n【分析】（1）由已知得an+1+1=2（an+1），a1+1=2，從而能證明{an+1}是首項為2，公比為2的等比數列，并能求出（2）利用分組求和可求解【詳解】(1)由an+1=2an+1所以an+1是一個以2為首項，以所以an+1=2(2)S==【點睛】本題考查等比數列的證明，考查等比數列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和的合理運用．8．設an是等差數列，bn是等比數列.已知（Ⅰ）求an和b（Ⅱ）設數列cn滿足c1=1,（i）求數列a2（ii）求i=1【答案】（Ⅰ）an=3n+1；bn=3×2n（Ⅱ）（i【分析】(Ⅰ)由題意首先求得公比和公差，然后確定數列的通項公式即可；(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的結論可得數列a2nc2n-【詳解】(Ⅰ)設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為依題意得6q=24+d-2=6+2d故an=4+(n-1)×3=3n+1，所以，an的通項公式為an=3n+1，b(Ⅱ)(i)a2所以，數列a2nc(ii)i=1na=n+2==12×4【點睛】本題主要考查等差數列?等比數列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識.考查化歸與轉化思想和數列求和的基本方法以及運算求解能力.9．已知數列{an}，Sn（1）求證：數列an（2）記Tn=S【答案】（1）見解析；（2）3n+2【分析】（1）n≥2時，由3an=2Sn+n,得3an-1=2Sn-1+n-1，然后利用Sn-Sn-1=an【詳解】（1）n=1時，3a1=2當n≥2時，由3an=2S則3a即an=3所以an+1故an+12就是首項為則an+1（2）將an=32?所以T

=34【點睛】分組求和與并項求和法：把數列的每一項拆分成兩項或者多項，或者把數列的項重新組合，或者把整個數列分成兩部分等等，使其轉化成等差數列或者等比數列等可求和的數列分別進行求和，例如對通項公式為an10．設等差數列an的前n項和為Sn，公差為d（1）求數列an的通項公式（2）若bn=-1n?a【答案】（1）an=2n-1；（2）【分析】（1）根據條件，結合等差數列求和公式，可求得d值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得bn=-2n-12【詳解】解：（1）由題意得S3=3a數列an的通項公式為a（2）b當n為奇數時，T=21+3+5+7+???+2n-3當n為偶數時，T=2∴11．已知正項數列an和bn,Sn為數列an（1）分別求數列an和b（2）將數列an中與數列bn相同的項剔除后，按從條到大的順序構成數列cn，記數列cn的前n項和為【答案】（1）an=2n，bn=2【分析】（1）由4Sn=an2+2an，利用a（2）先看數列{an}中前100項內有多少項是{bn}中的項，從而可以確定{cn}【詳解】（1）因為4S所以n≥2時，4S兩式相減得4an=因為an>0，所以又4a1=a12+22n=2log2b（2）a100=200，又27=128，2所以T100【點睛】易錯點睛：本題考查由Sn求數列的通項公式，考查分組求和法．在應用公式an=Sn-Sn-1求an時要注意n≥212．已知數列{an}是一個公比為q(q>0,q≠1)的等比數列，a1=1,S（1）求數列{a（2）令bn=2log2an-7條件①：4a2,3a3,2a4成等差數列；條件注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）an=2n-1；（【分析】（1）根據所選條件求公比q，寫出等比數列通項公式.（2）由（1）得到bn=2n-9，應用分組、等差數列前n項和公式求T【詳解】（1）選①：6a3=4a2+2a4，即選②：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2(an選③：S3=a1(1-q3)1-q∴{an}（2）由（1）知：bn∴Tn∴當n=4時，Tn的最小值為-【點睛】關鍵點點睛：（1）由所選條件求公比，寫出等比通項公式.（2）利用分組求和、等差數列前n項和公式求Tn，進而求最小值13．已知等差數列an的前n項和為Sn，S5=25，且a3-（Ⅰ）求數列an（Ⅱ）若bn=-1nan+1，【答案】（Ⅰ）an=2n-1；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由S5=25，求得a3=5，再根據a3-1，a（Ⅱ）由題意得到bn=【詳解】（Ⅰ）由題意，等差數列{an}的前n因為S5=25，可得S5設數列{an}的公差為d，由a3-可得(6+d)2=4(8+4d)，整理得d2所以an（Ⅱ）由bn所以T=[-1-5-=-14．已知數列{an}的前n項和Sn滿足（1）證明：數列{a（2）設bn=13an【答案】（1）證明見詳解；（2）T【分析】（1）首先利用an=Sn-（2）根據等比數列求出數列{an}的通項公式，進而得到【詳解】（1）因為4所以n≥2時，4兩式相減得到：4(an-又4a1數列{an}（2）由（1）可知：an所以bnT=(=1-所以數列{bn}的前n15．已知數列an中，a1=1（1）求證：數列a2n（2）記Sn是數列an的前①求S2②求滿足Sn>0的所有正整數【答案】（1）證明見詳解；（2）①S2n=13n-3n-12【解析】（1）設bn=a2n-（2）①推導出a2n-32=-16?13n-1=-12②：由①的求和式子由此能求出滿足Sn＞0的所有正整數n的值．【詳解】（1）設bn因為b=13a所以數列a2n-32是以a2-（2）①由（1）得bn=a即a2n=-1得a2n-1=3a所以a2n-1+aS=-213=-2?13=13n②顯然當n∈N*時，又當n=1時，S2當n=2時，S4=-89<0S2n-1=S同理，當且僅當n=1時，S2n-1綜上，滿足Sn>0的所有正整數n為1和【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數列的證明，考查滿足數列的前n項和的正整數的最大值的求法，解題的關鍵是根據等比數列的通項公式得出a2n=13a16．數列an前n項和為Sn，滿足：a1（1）求證：數列Sn（2）求和：S1【答案】（1）證明見解析；（2）3n+1【解析】（1）由遞推關系結合an+1=S（2）由（1）求出Sn=【詳解】（1）由an+1=2Sn+2∵S1=a∴Sn>0，∴∴Sn+1+1S故數列Sn+1是以S1（2）由（1）知：Sn+1=3?3故S1+S17．已知正項等比數列{an}滿足(1)求{an}(2)求數列{n+an}的前n【答案】(1)a(2)S【分析】（1）根據等比數列的性質得到a3=2，從而求出公比，得到通項公式；（2【詳解】（1）由a1a5=4(又a1=12，所以q2=（2）S=(1+2+?+n)+(==18．已知數列an的前n項的和為Sn，且滿足(1)求數列an的通項公式an及(2)若數列bn滿足bn=Sn-31【答案】(1)an=(2)T【分析】（1）由a1=S1求出a1，由a（2）根據絕對值的定義按正負分類討論去絕對值符號，然后分組求和．【詳解】（1）由Sn=2an-由Sn=2an-即an+1=2an，即數列an則an=2（2）由（1）知：bn=2則當1≤n≤5時，Tn=32n-2當n>5時，T=2T則Tn19．已知數列an滿足：a1=1，且a(1)證明：數列bn+2為等比數列，并求出(2)求數列an的前2n【答案】(1)b(2)數列an的前2n項和為【分析】（1）根據數列的遞推公式可得bn+1（2）根據數列的遞推公式可得數列的偶數項與奇數項之間的關系，由（1）可得數列的奇數項的通項公式，利用等比數列的求和公式，進而求得答案.【詳解】（1）由題意可知：b1bn+1故bn+1+2=2(b故bn+2是以b1+2=3且bn+2=3?故b（2）由（1）知，bn=3?2n-1由題意知：an+1=an+1,n=2k-1故數列an的前2n項和S=2(a=2[3(2=6×1-20．在①a3=5，S9=63；②3a2=a已知等差數列an的前n項和為Sn，______，數列bn是公比為2(1)求數列an和b(2)數列an，bn的所有項按照“當n為奇數時，bn放在前面；當n為偶數時，an放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數列cn；b1，a1，a2，b2，b3，a3，a【答案】(1)an=n+2(2)4【分析】（1）根據條件，得出有關數列的方程組通過解方程得到數列{an}（2）通過“分組求和”即可求得．【詳解】（1）設等差數列{an}選擇①a3=5，S9=63，可知又a3所以數列{an}的公差d=選擇②3a2=a10S2則{所以an選擇③a1=3，S8則{所以an又因為b2=a2=4（2）由題意T4n+3=b1=421．已知數列an滿足2a(1)求an(2)設bn=2an-1000，求數列【答案】(1)a(2)66490【分析】（1）依題意an為等差數列，設公差為d，由a1=2,（2）由（1）可知bn=2【詳解】（1）解：因為2an=an-1+an+1n≥2，所以an+1-an=（2）解：因為bn=所以bn=1000-2=3×1000-=3000-22．已知an是等差數列，其前n項和為Sn．若(1)求an(2)設bn=2an+2an，數列【答案】(1)a(2)Tn【分析】（1）、利用等差數列通項公式及前n項和求出公差，即可求出an（2）、先求數列bn的通項公式，再利用分組求和法求解【詳解】（1）設等差數列an的公差為d∵S7=4a2又∵a1=2，∴d=2∴an的通項公式為（2）由（1）可知an∵bn=2∵T∴T∴T23．已知數列an的前n項和為Sn，且滿足a1(1)求數列an(2)若數列bn滿足bn=an+1【答案】(1)an=1【分析】(1)根據Sn與an關系可得(2)利用分組求和法與等比數列的求和公式直接求解.【詳解】解：(1)當n＝1時，2S∵a1=1，∴a2=12．可得a2兩式相減，得2an+1=故數列an是首項為1，公比為12的等比數列，則(2)由(1)知，bn故Tn24．已知正項等比數列an的前n項和為Sn，a1=2，且a2，(1)求數列an(2)設數列bn滿足bn=1an【答案】(1)an(2)Tn【分析】（1）設{an}的公比為q（2）寫出bn【詳解】（1）設{an}的公比為q因為a1=2，且a2，a所以a2+a4=2(所以an（2）由（1）bnTn=(1225．已知數列an的前n項和為Sn，數列bn(1)求數列an和b(2)若c1=b1,c2【答案】(1)an=-2(2)T2n【分析】（1）求出b1,d即得數列bn的通項公式，利用an與（2）求出c2n-1=-2n+2n+1，再利用分組求和求數列c【詳解】（1）解：令n=1,S令n=2,S2=2a2+b2=Sn=2an+n，兩式相減得an=2a即an-1是公比為2所以an（2）解：由c2n=c2n-1=c累加可得c2n-1T=c1+而c=2-2∴T2n26．已知Sn=2n+1(1)求λ及an(2)設bn=1an+log【答案】(1)λ=2，a(2)T【分析】（1）由an與S（2）由分組求和法求解【詳解】（1）①當n=1時，a1②當n≥2時，an由題意得a1=4-λ=2，故λ=2（2）bn則Tn得T27．已知數列an滿足，an+1(1)若數列bn為數列an的奇數項組成的數列，cn為數列an的偶數項組成的數列，求出c1，c(2)求數列an的前22【答案】(1)c1(2)-77【分析】（1）由題意bn=a2n-1，cn=a2n，由遞推關系計算（2）由遞推關系可證明{cn}為等差，求解{b【詳解】（1）由題意，bn=a故c1=a2=又b=a即bn+1故數列bn（2）由（1）數列bn為等差數列，且公差為-1，首項即bn又cn+1且c1=a故數列an的前22S2228．已知數列an的首項a1=(1)求證：數列1a(2)若1a1+【答案】(1)證明見解析(2)2022【分析】（1）先取倒數，然后通過構造法可證；（2）由（1）求數列1an-1【詳解】（1）由題設可得1a所以1a又1所以1an-1是以（2）由（1）可得1an-所以1顯然右邊n+1-1易知，當n=2022時，2022+1-1n=2023時，2023+1-1所以滿足條件的最大整數是2022.29．已知數列an是等差數列，a1=1，且a1，a2，a5-(1)求b1，b(2)求最小自然數n的值，使得b1【答案】(1)b1=2，(2)11【分析】（1）利用等比數列的性質求得{an}公差，得通項公式an，寫出（2）由（1）可得bn，然后分組求和法求得和b1+b2+?+bn，用估值法得【詳解】（1）設數列{an}的公差為d，由a1，a21×(1+4d-1)=(1+d)2，解得d=1，所以k=1時，集合{n|1≤n≤2,n∈N*}k=2時，集合{n|2≤n≤4,n∈N*}（2）由（1）知bkb1n=10時，2(2n-1)-n22記Tn=b所以所求n的最小值是11.30．已知公差不為0的等差數列{an}中，a1=1，a4(1)求數列{a(2)保持數列{an}中各項先后順序不變，在ak與ak+1(k=1,2,?)之間插入2k，使它們和原數列的項構成一個新的數列{【答案】(1)a(2)2101【分析】（1）公式法解決即可；（2）ak與ak+1（k=1，2，…）之間插入2k，說明在數列bn中有10項來自an，【詳解】（1）設數列{an}因為a4是a2和所以a42=因為a所以d=1或d=0（舍）所以an所以通項公式a（2）由（1）得an因為ak與ak+1（k=1,2,3......）之間插入所以在數列bn中有10項來自an，10項來自所以T31．已知數列an的前n項和為Sn，(1)求an(2)若bn=2n+1，求數列an【答案】(1)a(2)T【分析】（1）令n=1可求得a1的值，令n≥2，由Sn=2an-1（2）利用分組求和法可求得Tn【詳解】（1）解：當n=1時，a1=S當n≥2時，由Sn=2a上述兩個等式作差可得an=2a所以，數列an是首項為1，公比為2的等比數列，故a（2）解：由題意可知，Sn因為bn=2n+1，則bn+1所以數列bn的前n項和為B所以，T=S32．已知數列an滿足：a1=12，a(1)證明：數列{an+1(2)求數列an的前n【答案】(1)證明見解析(2)S【分析】(1)結合遞推公式利用等比數列的定義證明即可；(2)結合(1)中結論，利用累加法和等比數列求和公式求解出數列的通項公式，再利用分組求和即可得到結果.【詳解】（1）證明：∵a1=12∵an+2+4an=即an+2-an+1an+1-an=4．（2）由(1)知，an+1∴an=(a=1當n=1時，a1綜上所述，an=設數列an的前n項之和為Sn，則Sn33．已知等差數列{an}的前三項和為15，等比數列{bn}的前三項積為64，且(1)求{an}和{bn}(2)設cn=an,n為奇數b【答案】(1)an=3n-1(2)2336【分析】（1）根據等差，等比數列的性質，分別求公差和公比，即可求得通項公式；（2）根據（1）的結果求數列cn的通項公式，再利用分組求和法，求數列cn的前20【詳解】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，由條件可知，a1+a2+所以an等比數列中，b1b2b3所以bn（2）cn對數列3n-1,n為奇數時，3所以數列cn的奇數項是首項為2，公差為6對數列2n2,n所以數列cn的偶數項是首項為2，公比為2所以數列cn的前20c=1034．已知Sn為數列an的前n項和，(1)求數列an(2)記bn=an,n【答案】(1)a(2)2772【分析】（1）由題知數列an是等比數列，公比為2，首項為a1=2（2）結合（1）得bn=【詳解】（1）解：因為Sn所以，當n=1時，S1+2=a當n≥2時，Sn+2=2a所以an=2a所以，數列an是等比數列，公比為2，首項為a所以，數列an的通項公式為a（2）解：由（1）知an所以bn記bn前12項的和為S所以，S=21-235．在數列an中，a1=20(1)求an(2)求an的前n項和S【答案】(1)a(2)S【分析】(1)由條件求數列的前幾項，證明n≤7為等差數列，n≥8為擺動數列，再求其通項公式；(2)討論n，利用等差數列求和公式和分組求和法求和求Sn【詳解】（1）因為a1=20所以a2=a1-3=17，a3=所以當2≤n≤7時，an綜上，an是以20為首項，－3為公差的等差數列，則a當n≥8時，a8=a7-3=2-3=1可得數列an是個擺動數列，則a綜上，a（2）當n≤7時，Sn當n≥8，且n為奇數時，Sn當n≥8，且n為偶數時，Sn所以Sn綜上，S36．記數列{an}的前n項和為Sn，對任意正整數n，有2Sn＝nan，且a2＝3.(1)求數列{an}的通項公式；(2)對所有正整數m，若ak＜2m＜ak＋1，則在ak和ak＋1兩項中插入2m，由此得到一個新數列{bn}，求{bn}的前40項和.【答案】(1)a(2)1809【分析】（1）由an=Sn-（2）考慮到26<a40<27，a34=99>26，從而確定{【