第六章平面向量及其應用6.4.3.1余弦定理教學目標

了解余弦定理的推導過程（重點）01

掌握余弦定理的幾種變形公式及應用（重點）02

能利用余弦定理求解三角形的邊、角等問題.（重點、難點）03情境導入：一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。初中的解法依據是什么？問題導入我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.那么，表示的公式是什么？

因為涉及的是三角形的兩邊長和它們的夾角，所以我們考慮用向量的數量積來探究.問題引入問題1：在RtΔABC中，若C=90°，三邊之間滿足什么關系？問題2：若C≠90°，三邊之間還滿足上述關系嗎？問題3：三角形三邊之間的關系與什么因素有關，可以用什么方法來探究？知識鋪墊：ABCabc勾股定理邊角關系探究在中，三個角所對的邊分別是，怎樣用來表示?向量化設則結論新知探索余弦定理

三角形任一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．應用：已知兩邊和一個夾角，求第三邊．

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？由余弦定理，可得到如下推論：問題：利用余弦定理的推論可以解決三角形的哪類問題？利用余弦定理，可以由三角形的三條邊直接算出三角形的三個角.

余弦定理及其推論把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法從數量化的角度進行了刻畫.(1)判斷三角形的形狀時，一般有兩條思考路線①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數量關系.②先化角為邊，再進行代數恒等變換，求出三邊之間的數量關系.(2)判斷三角形的形狀時，常用到以下結論①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.④若sin2A＝sin2B，則A＝B或2A＋2B＝π.AaBCbcAcbAbc><=由此可以猜想：余弦定理可以判斷三角形的類型.探究：當角C為直角時，有c2=a2+b2，當角C為銳角時，這三者的關系是什么？鈍角呢？推論：當C為銳角時，c2

a2+b2當C為鈍角時，c2

a2+b2當C為直角時，c2

a2+b2課堂檢測2、已知?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=8,b=7,B=60°,則c=_______.1、在?ABC中，已知b=6,c=，A=π/6，則a=_____.4.在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，則角A=()A.30°B.60°C.120°D.150°33或53、已知?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=5,b=7,c=8,則=_______.B1．在△ABC中，a＝3，b＝3，c＝6，則△ABC的最小角是多少度？課堂練習2.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是，求第三邊c。【解析】例

.在中，已知b=60cm，c=34cm，，解這個三角形（角度精準到，邊長精確到1cm.）解：由余弦定理，得所以由余弦定理的推論，得所以利用計算器，可得例題講解余弦定理:余弦定理推論:利用余弦定理判斷角的形狀：