大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sinx$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$\cosx$B.$-\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$2.極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$的值為（）A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.若函數(shù)$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在$x_0$處（）A.一定連續(xù)B.一定不連續(xù)C.不一定連續(xù)D.極限不存在4.函數(shù)$f(x)=x^3$在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值是（）A.0B.1C.-1D.25.$\int\frac{1}{x}dx$等于（）A.$x^2+C$B.$\ln|x|+C$C.$e^x+C$D.$\sinx+C$6.下列級數(shù)中，收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}1$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}n$7.二元函數(shù)$z=x+y$關(guān)于$x$的偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$為（）A.1B.0C.xD.y8.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值是（）A.$\frac{1}{3}$B.1C.0D.$\frac{1}{2}$9.函數(shù)$y=e^{2x}$的微分$dy$是（）A.$e^{2x}dx$B.$2e^{2x}dx$C.$e^{2x}$D.$2e^{2x}$10.曲線$y=x^2$在點$(1,1)$處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.4二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是基本初等函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\lnx$C.$y=2^x$D.$y=\sinx$2.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積的充分條件有（）A.$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)B.$f(x)$在$[a,b]$上有界且只有有限個間斷點C.$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)D.$f(x)$在$[a,b]$上無界3.關(guān)于數(shù)列極限下列說法正確的是（）A.收斂數(shù)列極限唯一B.收斂數(shù)列一定有界C.有界數(shù)列一定收斂D.若$\lim_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim_{n\to\infty}b_n=B$，則$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B$4.下列求導(dǎo)公式正確的有（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\cosx)^\prime=-\sinx$C.$(e^x)^\prime=e^x$D.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$5.對于無窮級數(shù)，下面說法正確的有（）A.若級數(shù)的一般項$u_n$不趨于零，則級數(shù)發(fā)散B.收斂級數(shù)任意加括號后所得級數(shù)仍收斂C.兩個收斂級數(shù)的和仍是收斂級數(shù)D.若級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)收斂6.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微的必要條件有（）A.$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續(xù)B.$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在C.$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處方向?qū)?shù)存在7.下列積分計算正確的有（）A.$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2$B.$\int_{-1}^{1}x^3dx=0$C.$\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C$D.$\int\cos(2x)dx=\frac{1}{2}\sin(2x)+C$8.函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處取得極值的充分條件可以是（）A.$f^\prime(x_0)=0$且$f^{\prime\prime}(x_0)>0$（極小值）B.$f^\prime(x_0)=0$且$f^{\prime\prime}(x_0)<0$（極大值）C.$f^\prime(x)$在$x_0$兩側(cè)異號D.$f^\prime(x_0)$不存在9.關(guān)于函數(shù)的間斷點，說法正確的有（）A.可去間斷點是左、右極限存在且相等的間斷點B.跳躍間斷點是左、右極限存在但不相等的間斷點C.無窮間斷點是極限為無窮的間斷點D.震蕩間斷點是極限不存在且不趨于無窮的間斷點10.下列曲線中，屬于二次曲線的有（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間上可導(dǎo)，且$f^\prime(x)>0$，則$f(x)$在該區(qū)間上單調(diào)遞增。（）2.無窮小量就是很小很小的數(shù)。（）3.函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處連續(xù)，則它在該點一定可導(dǎo)。（）4.定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）5.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$是發(fā)散的。（）6.二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)一定可微。（）7.若$f(x)$是奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。（）8.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上的原函數(shù)唯一。（）9.數(shù)列$\{(-1)^n\}$是收斂數(shù)列。（）10.函數(shù)$|x|$在$x=0$處不可導(dǎo)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)極限的$\epsilon-\delta$定義。答案：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)$\epsilon$，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$0<|x-x_0|<\delta$時，都有$|f(x)-A|<\epsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時的極限，記作$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。2.簡述分部積分法。答案：設(shè)$u=u(x)$，$v=v(x)$具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則$(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime$，移項得$uv^\prime=(uv)^\prime-u^\primev$，兩邊積分得$\intuv^\primedx=uv-\intu^\primevdx$，即$\intudv=uv-\intvdu$，這就是分部積分公式。3.簡述判斷級數(shù)收斂的比較判別法。答案：設(shè)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$是兩個正項級數(shù)，且$u_n\leqv_n(n=1,2,\cdots)$。若$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂；若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$發(fā)散，則$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$發(fā)散。4.簡述函數(shù)連續(xù)的定義。答案：設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$的某一鄰域內(nèi)有定義，如果$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$，那么就稱函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處連續(xù)，即$\lim_{x\tox_0^-}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)=f(x_0)$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的間斷點類型。答案：化簡$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1(x\neq1)$。$\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2$，但函數(shù)在$x=1$處無定義，所以$x=1$是可去間斷點。2.討論級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$（$p$級數(shù)）的斂散性。答案：當(dāng)$p>1$時，$p$級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收斂；當(dāng)$p\leq1$時，$p$級數(shù)發(fā)散。可通過積分判別法等證明，如當(dāng)$p=1$是調(diào)和級數(shù)發(fā)散，$p>1$時積分判別可知收斂。3.討論二元函數(shù)$z=x^2+y^2$的極值情況。答案：求偏導(dǎo)數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$。令$\frac{\partialz}{\partialx}=0$，$\frac{\partialz}{\partialy}=0$，得駐點$(0,0)$。又$A=\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=2$，$B=\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=0$，$C=\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=2$，$AC-B^2=4>0$且$A>0$，所以在$(0,0)$處有極小值$0$。4.討論函數(shù)$f(x)=\sinx$在區(qū)間$[0,2\pi]$上的單調(diào)性與極值。答案：求導(dǎo)得$f^\prime(x)=\cosx$。在$[0,\frac{\pi}{2})$，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；在$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$，$f^\prime(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；在$(\frac{3\pi}{2},2\pi]$，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。極大值$f(\frac{\pi}{2})=1$，極小值$f(\frac