大學組合數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.從5個不同元素中取3個的組合數是（）A.10B.15C.20D.602.多重集\(\{3\cdota,2\cdotb\}\)的排列數是（）A.10B.15C.20D.303.方程\(x_1+x_2+x_3=5\)（\(x_i\geq0\)，\(i=1,2,3\)）的非負整數解的個數是（）A.10B.15C.20D.214.5個人圍圓桌而坐，不同的坐法有（）A.120種B.24種C.60種D.30種5.設\(S=\{1,2,3\}\)，則\(S\)上的置換\(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\)的逆置換是（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}\)6.用紅、藍兩種顏色給3個球染色，不同的染色方案有（）A.4種B.8種C.6種D.10種7.從1到100中能被3或5整除的整數個數是（）A.47B.48C.49D.508.有4個不同的球放入3個不同的盒子，無空盒的放法有（）A.36種B.72種C.144種D.216種9.一個\(n\)邊形的對角線的條數是（）A.\(\frac{n(n-1)}{2}\)B.\(\frac{n(n-3)}{2}\)C.\(n(n-1)\)D.\(n(n-3)\)10.已知\(a_n=2a_{n-1}+3\)，\(a_1=1\)，則\(a_3\)的值為（）A.11B.17C.23D.29二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是組合數學中的計數方法（）A.加法原理B.乘法原理C.容斥原理D.鴿巢原理2.多重集\(\{2\cdota,1\cdotb,3\cdotc\}\)的\(3-\)組合有（）A.\(\{a,a,b\}\)B.\(\{a,b,c\}\)C.\(\{a,c,c\}\)D.\(\{b,c,c\}\)3.下列關于排列和組合的說法正確的是（）A.排列與順序有關B.組合與順序無關C.\(P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}\)D.\(C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)4.用3種顏色給4個方格染色（可重復），滿足相鄰方格不同色的染色方法有（）A.18種B.24種C.30種D.36種5.以下屬于組合恒等式的有（）A.\(C(n,r)=C(n,n-r)\)B.\(C(n,r)+C(n,r-1)=C(n+1,r)\)C.\(\sum_{k=0}^nC(n,k)=2^n\)D.\(C(n,k)=\frac{n}{k}C(n-1,k-1)\)6.關于母函數，下列說法正確的是（）A.可以用來求解遞歸關系B.普通母函數用于求解組合問題C.指數母函數用于求解排列問題D.母函數是一種形式冪級數7.有5個球放入4個盒子，下列放法正確的是（）A.恰有一個空盒的放法有\(C(4,1)\timesC(5,2)\times3!\)種B.有兩個空盒的放法有\(C(4,2)\times(C(5,3)\times2!+C(5,2)\timesC(3,2)\times\frac{2!}{2!})\)種C.無空盒的放法有\(C(5,2)\times4!\)種D.全放入一個盒子的放法有4種8.下列哪些是Ramsey數（）A.\(R(2,3)\)B.\(R(3,3)\)C.\(R(4,4)\)D.\(R(5,5)\)9.關于遞歸關系，說法正確的是（）A.常系數線性齊次遞歸關系有標準求解方法B.非齊次遞歸關系可通過找到特解和通解求解C.遞歸關系可以描述序列的規律D.所有遞歸關系都有通項公式10.從1到20中選取3個數，使得它們的和是3的倍數，選取方法有（）A.\(C(6,3)+C(7,3)+C(7,3)\)B.\(C(6,1)\timesC(7,1)\timesC(7,1)\)C.\(C(20,3)\div3\)D.\(C(6,3)+C(7,3)+C(7,3)+C(6,1)\timesC(7,1)\timesC(7,1)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.\(C(n,r)\)和\(P(n,r)\)都滿足\(n\geqr\)。（）2.多重集的排列數一定大于其組合數。（）3.容斥原理是用于計算多個集合并集元素個數的方法。（）4.遞歸關系的解一定是唯一的。（）5.用紅、藍兩色給\(n\)個珠子串成項鏈，不同的染色方案數和線排列數相同。（）6.母函數中的系數可以表示組合或排列的個數。（）7.\(n\)個元素的全排列中，奇置換和偶置換的個數相等。（）8.若\(R(m,n)\)是Ramsey數，則\(R(m,n)=R(n,m)\)。（）9.從\(n\)個不同元素中取\(r\)個的圓排列數是\(P(n,r)/r\)。（）10.方程\(x_1+x_2+\cdots+x_k=n\)（\(x_i\gt0\)）的正整數解個數為\(C(n-1,k-1)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述加法原理和乘法原理。答案：加法原理：若完成一件事有\(n\)類方式，第\(i\)類有\(m_i\)種方法，且各類方法互不干擾，則完成此事共有\(\sum_{i=1}^nm_i\)種方法。乘法原理：完成一件事需\(n\)個步驟，第\(i\)步有\(m_i\)種方法，則完成此事共有\(\prod_{i=1}^nm_i\)種方法。2.求\((1+x)^5\)的展開式。答案：根據二項式定理\((a+b)^n=\sum_{k=0}^nC(n,k)a^{n-k}b^k\)，對于\((1+x)^5\)，\(n=5\)，\(a=1\)，\(b=x\)，展開式為\(C(5,0)+C(5,1)x+C(5,2)x^2+C(5,3)x^3+C(5,4)x^4+C(5,5)x^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5\)。3.簡述容斥原理的基本思想。答案：先不考慮重疊情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，從而得到該內容實際元素個數。4.什么是遞歸關系？答案：遞歸關系是一個序列\(\{a_n\}\)中，\(a_n\)與它前面若干項\(a_{n-1},a_{n-2},\cdots\)之間的一個等式關系，通過初始條件和該等式可確定整個序列。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論組合數學在計算機科學中的應用。答案：在算法設計中，用于分析算法復雜度，如計算排序算法的比較次數。在密碼學里，設計加密算法、分析密鑰空間等。在數據結構中，處理排列組合問題，如生成全排列實現搜索算法。還用于數據庫查詢優化，確定最優查詢方案。2.分析多重集組合與普通集合組合的聯系與區別。答案：聯系：普通集合組合是多重集組合的特殊情況，當多重集元素重數都為1時就是普通集合。區別：多重集元素可重復，組合數計算方法不同，普通集合組合用\(C(n,r)\)，多重集組合需考慮元素重數，計算更復雜，要依據具體重數情況確定組合方式。3.談談遞歸關系與數學歸納法的關系。答案：遞歸關系通過初始值和遞推式定義序列，數學歸納法用于證明關于自然數的命題。遞歸關系的求解常借助數學歸納法證明通項公式的正確性。數學歸納法為遞歸關系的研究提供了可靠的邏輯證明手段，二者相互配合解決問題。4.舉例說明Ramsey理論在實際生活中的體現。答案：如在社交聚會中，6個人里要么有3個人互相認識，要么有3個人互相不認識，這就是\(R(3,3)=6\)的體現。在通信網絡中，確定保證一定通信質量的最少節點數等問題也可類比Ramsey理論，保證某種結構必然出現。答案一、單項選擇題1.A2.B3