...wd......wd......wd...2016年北京市朝陽區高三二模理科數學試卷一、單項選擇題〔共8小題〕1．集合，，則＝〔

〕A．B．C．D．2．復數〔為虛數單位〕在復平面內對應的點位于〔

〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．執行如以以下列圖的程序框圖，輸出的值為〔

〕A．6B．10C．14D．154．非零向量，，“〞是“〞的〔

〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．同時具有性質:“①最小正周期是；②圖象關于直線對稱；③在區間上是單調遞增函數〞的一個函數可以是〔

〕A．B．C．D．6．函數且的最大值為，則的取值范圍是〔

〕A．B．C．D．7．某學校高三年級有兩個文科班，四個理科班，現每個班指定1人，對各班的衛生進展檢查．假設每班只安排一人檢查，且文科班學生不檢查文科班，理科班學生不檢查自己所在的班，則不同安排方法的種數是〔

〕A．B．C．D．8．正方體的棱長為2，是棱的中點，點在正方體內部或正方體的外表上，且∥平面，則動點的軌跡所形成的區域面積是〔

〕A．B．C．D．二、填空題〔共6小題〕9.雙曲線的漸近線方程是；假設拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則______．10.如圖，為⊙外一點，是⊙的切線，為切點，割線與⊙相交于兩點，且，為線段的中點，的延長線交⊙于點．假設，則的長為______；的值是________．11.等邊的邊長為3，是邊上一點，假設，則的值是______．12.關于的不等式組所表示的平面區域為三角形區域，則實數的取值范圍是_____．13.為了響應政府推進“菜籃子〞工程建設的號召，某經銷商投資60萬元建了一個蔬菜生產基地.第一年支出各種費用8萬元，以后每年支出的費用比上一年多2萬元.每年銷售蔬菜的收入為26萬元.設表示前年的純利潤〔=前年的總收入－前年的總費用支出－投資額〕，則_____〔用表示〕；從第_____年開場盈利.14.在平面直角坐標系中，以點，曲線上的動點，第一象限內的點，構成等腰直角三角形，且，則線段長的最大值是_____．三、解答題〔共6小題〕15.在中，角，，的對邊分別是，，，，．(Ⅰ)求的值；〔Ⅱ)假設角為銳角，求的值及的面積．16.交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映某區域道路網在某特定時段內暢通或擁堵實際情況的概念性指數值．交通指數范圍為，五個級別規定如下：某人在工作日上班出行每次經過的路段都在同一個區域內，他隨機記錄了上班的40個工作日早頂峰時段(早晨7點至9點)的交通指數(平均值)，其統計結果如直方圖所示．〔Ⅰ〕據此估計此人260個工作日中早頂峰時段〔早晨7點至9點〕中度擁堵的天數；〔Ⅱ〕假設此人早晨上班路上所用時間近似為：暢通時30分鐘，根本暢通時35分鐘，輕度擁堵時40分鐘，中度擁堵時50分鐘，嚴重擁堵時70分鐘，以直方圖中各種路況的頻率作為每天遇到此種路況的概率，求此人上班路上所用時間的數學期望．17.如圖1，在等腰梯形中，，，，為中點，點分別為的中點．將沿折起到的位置，使得平面平面〔如圖2〕．〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕側棱上是否存在點，使得平面?假設存在，求出的值；假設不存在，請說明理由．18.函數，．〔Ⅰ〕當時，求曲線在點處的切線方程；〔Ⅱ〕當時，假設曲線上的點都在不等式組所表示的平面區域內，試求的取值范圍．19.在平面直角坐標系中，點在橢圓上，過點的直線的方程為．〔Ⅰ〕求橢圓的離心率；〔Ⅱ〕假設直線與軸、軸分別相交于兩點，試求面積的最小值；〔Ⅲ〕設橢圓的左、右焦點分別為，，點與點關于直線對稱，求證：點三點共線．20.集合，且．假設存在非空集合，使得，且，并，都有，則稱集合具有性質，〔〕稱為集合的子集．〔Ⅰ〕當時，試說明集合具有性質，并寫出相應的子集；〔Ⅱ〕假設集合具有性質，集合是集合的一個子集，設，求證：，，都有；〔Ⅲ〕求證：對任意正整數，集合具有性質．答案局部1.考點：集合的運算試題解析：所以=。故答案為：A答案：A2.考點：復數乘除和乘方試題解析：則z在復平面內對應的點為位于第二象限。故答案為：B答案：B3.考點：算法和程序框圖試題解析：是；是；是；，否，則輸出的值為10.故答案為：B答案：B4.考點：平面向量的幾何運算試題解析：假設∥，則=，則=〔1+〕，故∥；反過來，假設∥，則=，所以=-1〕，所以∥。所以“∥〞是“∥〞的充要條件。故答案為：C答案：C5.考點：三角函數的圖像與性質試題解析：故排除A；又圖象關于直線對稱，所以函數在處取得最值，故排除C；又，對B：，是減函數，故B錯。故答案為：D答案：D6.考點：分段函數，抽象函數與復合函數試題解析：因為函數最大值為，且x-1所以時，且所以的取值范圍是。故答案為：A答案：A7.考點：排列組合綜合應用試題解析：故答案為：D答案：D8.考點：平行柱，錐，臺，球的構造特征試題解析：動點的軌跡為：由棱的中點構成的正六邊形，邊長為，所以面積為故答案為：C答案：C9.考點：拋物線雙曲線試題解析：雙曲線：中，所以漸近線方程為:.因為拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點〔2，0〕重合，所以故答案為：，答案：，10.考點：圓相似三角形試題解析：由切割線定理有：所以PC=9，BC=8.又為線段的中點，所以DB=4，CD=4，所以故答案為：，16答案：，1611.考點：數量積的應用試題解析：故答案為：答案：612.考點：線性規劃試題解析：作可行域：由圖知：A(0，2)，B(1，1)虛線為y=2x-k，所以縱截距為-k.所以當或即或時平面區域為三角形區域。故答案為：答案：13.考點：函數模型及其應用試題解析：由題知：令即>0，解得：所以從第5年開場盈利.故答案為：，答案：，14.考點：直線綜合圓的標準方程與一般方程試題解析：設B，C(x，y)，根據題意有：且整理得由〔2〕得：代入〔1〕得：〔〕整理得：即所以，因為x>2，所以所以=9+4〔〕。令，所以m>0時，t有最小值，所以m<0.所以所以所以故答案為：答案：15.考點：倍角公式余弦定理正弦定理試題解析：(Ⅰ)因為，且，所以．因為，由正弦定理，得．(Ⅱ)由得．由余弦定理，得．解得或〔舍負〕．所以．答案：(Ⅰ)．(Ⅱ)．16.考點：隨機變量的期望與方差隨機變量的分布列頻率分布表與直方圖試題解析：〔Ⅰ〕由可得：上班的40個工作日中早頂峰時段中度擁堵的頻率為0.25，據此估計此人260個工作日早頂峰時段〔早晨7點至9點〕中度擁堵的天數為260×0.25=65天.〔Ⅱ〕由題意可知的可能取值為．且；；；；；所以答案：〔Ⅰ〕65天.〔Ⅱ〕4617.考點：利用直線方向向量與平面法向量解決計算問題空間的角平行垂直試題解析：〔Ⅰ〕如圖1，在等腰梯形中，由，，，為中點，所以為等邊三角形．如圖2，因為為的中點，所以．又因為平面平面，且平面平面，所以平面，所以．〔Ⅱ〕連結，由得，又為的中點，所以．由〔Ⅰ〕知平面，所以，所以兩兩垂直．以為原點，分別為軸建設空間直角坐標系〔如圖〕．因為，易知．所以，所以．設平面的一個法向量為，由得即取，得．設直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．〔Ⅲ〕假設在側棱上存在點，使得平面．設，．因為，所以．易證四邊形為菱形，且，又由〔Ⅰ〕可知，，所以平面．所以為平面的一個法向量．由，得．所以側棱上存在點，使得平面，且．答案：〔Ⅰ〕如圖1，在等腰梯形中，由，，，為中點，所以為等邊三角形．如圖2，因為為的中點，所以．又因為平面平面，且平面平面，所以平面，所以．

〔Ⅱ〕．〔Ⅲ〕假設在側棱上存在點，使得平面．設，．因為，所以．易證四邊形為菱形，且，又由〔Ⅰ〕可知，，所以平面．所以為平面的一個法向量．由，得．所以側棱上存在點，使得平面，且．18.考點：導數的綜合運用利用導數求最值和極值導數的概念和幾何意義試題解析：〔Ⅰ〕當時，，．．則，而．所以曲線在點(1，)處的切線方程為，即．〔Ⅱ〕依題意當時，曲線上的點都在不等式組所表示的平面區域內，等價于當時，恒成立．設，．所以．〔1〕當，即時，當時，，為單調減函數，所以．依題意應有解得所以．〔2〕假設，即時，當，，為單調增函數，當，，為單調減函數．由于，所以不合題意．〔3〕當，即時，注意到，顯然不合題意．綜上所述，．答案：〔Ⅰ〕，即．〔Ⅱ〕．19.考點：橢圓試題解析：〔Ⅰ〕依題意可知，，所以橢圓離心率為．〔Ⅱ〕因為直線與軸，軸分別相交于兩點，所以．令，由得，則．令，由得，則．所以的面積．因為點在橢圓上，所以．所以．即，則．所以．當且僅當，即時，面積的最小值為．…9分〔Ⅲ〕①當時，．當直線時，易得，此時，．因為，所以三點共線．同理，當直線時，三點共線．②當時，設點，因為點與點關于直線對稱，所以整理得解得所以點．又因為，，且．所以．所以點三點共線．綜上所述，點三點共線．答案：〔Ⅰ〕橢圓離心率為．〔Ⅱ〕面積的最小值為．〔Ⅲ〕①當時，．當直線時，易得，此時，．因為，所以三點共線．同理，當直線時，三點共線．②當時，設點，因為點與點關于直線對稱，所以整理得解得所以點．又因為，，且．所以．所以點三點共線．綜上所述，點三點共線．20.考點：數列綜合應用試題解析：〔Ⅰ〕當時，，令，，則，且對，都有，所以具有性質．相應的子集為，．〔Ⅱ〕①假設，由，又，所以．所以．②假設，可設，，且，此時．所以，且．所以．③假設，，，則，所以．又因為，所以．所以．所以．綜上，對于，，都有．〔Ⅲ〕用數學歸納法證明．〔1〕由〔Ⅰ〕可知當時，命題成立，即集合具有性質．〔2〕假設()時，命題成立．即，且，，都有．那么當時，記，，并構造如下個集合：，，，，，顯然．又因為，所以．下面證明中任意兩個元素之差不等于中的任一元素．①假設兩個元素，，則，所以．②假設兩個元素都屬于，由〔Ⅱ〕可知，中任意兩個元素之差不等于中的任一數．從而，時命題成立．綜上所述，對任意正整數，集合具有性質．答案：〔Ⅰ〕子集為，．〔Ⅱ〕①假設，由，又，所以．所以．②假設，可設，，且，此時．所以，且．所以．③假設，，