第1頁（共1頁）2025年廣東省珠海市斗門區中考數學二模試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）的值是（）A．2 B．4 C．±2 D．±42．（3分）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣3，1），則點A關于原點對稱的點的坐標是（）A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）3．（3分）不等式3x+3＜0的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）將點A（2，﹣1）向右平移2個單位得到A'，則A'的坐標為（）A．（4，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣3） D．（0，﹣1）5．（3分）如圖，點P在反比例函數圖象上，若△POA的面積等于3，則k的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣66．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，CD＝2（）A．10 B．5 C．3 D．27．（3分）二十四節氣是中國古人訂立的一種用來指導農事的補充歷法，是中華民族勞動人民長期經驗積累的成果和智慧的結晶．春、夏、秋、冬四季各有二十四節氣中的6個．若從二十四個節氣中任選一個節氣，這個節氣在春季的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）生菜是一種常見的蔬菜，其生長過程分為發芽期、幼苗期、蓮座期、結球期四個時期．小明記錄勞動種植園的生菜生長過程，發現其中一株生菜的高y（cm）（天）的一次函數，部分數據如表所示（）生長時間x/天3035高度y/cm1015A．y＝x+20 B．y＝x﹣20 C．y＝10x D．y＝10x+209．（3分）如圖，AB，AC，連接OA，OB，若，則下面結論不正確的是（）A．∠AOC＝100° B．∠ABC＝130° C．∠ACB＝3∠BAC D．∠OCB＝3∠OBA10．（3分）《孫子算經》是我國古代數學經典著作，書中記載了這樣一道題目：今有三人共車，二車空，九人步．人與車各幾何？其意思是：今有3個人坐一輛車，有2輛車是空的，有9個人需要步行．人與車各多少？若設有x人，車y輛（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）已知x+2y＝1，則2x+4y+1＝．12．（3分）若關于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0總有兩個不相等的實數根，請寫出一個滿足條件的m的值．（寫出一個即可）13．（3分）已知圓錐的底面半徑為2，母線長為5，則圓錐側面展開圖的面積是．14．（3分）如圖，△ABC，△DCE，點B，C，E，F在同一直線上，D，G在同一直線上，∠1＝30°．若S△GEF＝1，則S△ABC＝．15．（3分）在物理實驗課上，教師指導學生進行一次光的折射實驗，如圖所示．光線在水面點O處，法線與盆底交于點A．光線的入射角為α，折射角為θ．若規定“，則光在水中的折射率n約為．當α＝30°時，則OB的長為cm．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．16．（7分）先化簡，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣1．17．（7分）如所示，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點E是AC上一點．（1）尺規作圖：用無刻度的直尺和圓規，過點D作DE的垂線，交BC于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求證：DE＝DF．18．（7分）鄧先生駕車從深圳寶安國際機場返回中山市博覽中心．導航顯示，若經過虎門大橋，路程約為100公里，路程約為54公里，且比經過虎門大橋用時少36分鐘．若鄧先生駕車的平均車速不變（結果保留小數點后一位）四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）為優化校園科技節活動設計，提升師生參與體驗，某校在“智創未來”科技節結束后（滿分100分），并將收集到的評分數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．100名學生所評分數的頻數分布直方圖如圖所示．數據分成4組：①60≤x＜70，②70≤x＜80，③80≤x＜90b.15名教師所評分數為：78，82，84，86，88，89，90，90，91，95，96．c．100名學生和15名教師對科技節活動滿意度分數的平均數、中位數、眾數如表所示．分類平均數中位數眾數學生評分pq89教師評分88.489m根據以上信息，回答下列問題：（1）m的值為，q的值位于學生評分數據分組的第組．（2）通過計算，求表中p的值．（3）根據相關規定，滿意度評定結果可劃分為三個等級：低于70分為“不滿意”，70分至85分為“一般”，試判斷本次科技節活動師生滿意度評定等級，并說明你的理由．20．（9分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C是半圓O上的一點，過點A作AD⊥PC于點D，交半圓O于點E．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若，，求DE的長．21．（9分）綜合與實踐【問題背景】桿秤是我國古代傳統的度量衡三大件之一，在學習了桿秤相關知識之后，小紅學習小組想利用一根木棒制作一個簡易桿秤．【制作實驗】（1）如圖所示，在木棒上先確定點O為桿秤提組．點A處掛托盤，選取的托盤質量m0＝0.5kg，秤砣質量m2＝1kg、測得l1＝OA＝3cm．（2）先在托盤里加相應質量的物體，調整秤砣位置，使桿秤保持平衡，獲得的實驗數據如表所示：物體質量m1/kg01234OB長度l2/cm1.54.57.510.513.5任務1：桿秤在不掛重物而保持平衡時，其點B所處的位置，稱為定盤星．由如表可知．【建立模型】任務2：小組討論認為OB長度l2與物體質量m1的關系可以用一次函數來刻畫．請求出OB長度l2與物體質量m1的函數關系式．【結論應用】任務3：經測量，發現該木棒在提紐O掛秤砣一側的長度為34cm，根據要求，求該桿秤稱量重物的最大量程．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．22．（13分）定義：在直角梯形中，若斜腰與梯形的一條底邊相等，則此直角梯形被稱為“斜腰等底直角梯形”．（1）如圖1所示，直角梯形ABCD為“斜腰等底直角梯形”，AD∥BC，AD＝CD，連接AC；（2）如圖2所示，在矩形ABCD中．折疊矩形，使點A，折痕為EF．點D的對應點為D′，當∠BAF＝30°時；（3）如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，若以AB，當四邊形ABCD是“斜腰等底直角梯形”時，直接寫出AD的長．23．（14分）如圖所示，已知二次函數圖象與直線y＝﹣x+m相交于點A（5，0），點P為拋物線上一點，將點P繞著原點O逆時針旋轉90°得到對應點Q（1）求拋物線和直線AB的函數解析式．（2）當點P坐標為（6，2）時，求證：點P，Q，B三點在同一直線上．（3）當△OPQ有一頂點在直線AB上時，①求PQ長；②在①的條件下，當點P在第四象限時，在PQ上取點C，使QC＝PD，連接OC，求OC+DQ的最小值．

2025年廣東省珠海市斗門區中考數學二模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ACCACBDBDB一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）的值是（）A．2 B．4 C．±2 D．±4【解答】解：∵表示4的算術平方根，∴＝2．故選：A．2．（3分）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣3，1），則點A關于原點對稱的點的坐標是（）A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）【解答】解：點A的坐標為（﹣3，1），﹣7），故選：C．3．（3分）不等式3x+3＜0的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：3x+3＜8，3x＜﹣3，x＜﹣6，在數軸上表示為：．故選：C．4．（3分）將點A（2，﹣1）向右平移2個單位得到A'，則A'的坐標為（）A．（4，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣3） D．（0，﹣1）【解答】解：∵點A（2，﹣1）向右平移4個單位得到A'，∴A′的坐標是：（4，﹣1）．故選：A．5．（3分）如圖，點P在反比例函數圖象上，若△POA的面積等于3，則k的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【解答】解：由題知，∵PA⊥x軸，△POA的面積等于3圖象上，∴，解得k＝±6．又∵k＞0，∴k＝5．故選：C．6．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，CD＝2（）A．10 B．5 C．3 D．2【解答】解：過D點作DE⊥AB于E點，如圖，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面積＝×5×2＝3．故選：B．7．（3分）二十四節氣是中國古人訂立的一種用來指導農事的補充歷法，是中華民族勞動人民長期經驗積累的成果和智慧的結晶．春、夏、秋、冬四季各有二十四節氣中的6個．若從二十四個節氣中任選一個節氣，這個節氣在春季的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：從二十四個節氣中任選一個節氣，這個節氣在春季的概率是＝，故選：D．8．（3分）生菜是一種常見的蔬菜，其生長過程分為發芽期、幼苗期、蓮座期、結球期四個時期．小明記錄勞動種植園的生菜生長過程，發現其中一株生菜的高y（cm）（天）的一次函數，部分數據如表所示（）生長時間x/天3035高度y/cm1015A．y＝x+20 B．y＝x﹣20 C．y＝10x D．y＝10x+20【解答】解：設y與x之間的關系式為y＝kx+b（k、b為常數，將x＝30，y＝10和x＝35，得，解得，∴y與x之間的關系式為y＝x﹣20．故選：B．9．（3分）如圖，AB，AC，連接OA，OB，若，則下面結論不正確的是（）A．∠AOC＝100° B．∠ABC＝130° C．∠ACB＝3∠BAC D．∠OCB＝3∠OBA【解答】解：∵，∴∠AOB＝75°，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°．∴A的結論正確；∵OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC＝，∠OBC＝∠OCB＝，∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝130°．∴B的結論正確；∵∠ACB＝AOB＝37.8°BOC＝12.8°，∴∠ACB＝3∠BAC，∴C的結論正確；∵∠OCB＝，∠OBA＝，∴∠OCB≠3∠OBA．∴D的結論不正確．故選：D．10．（3分）《孫子算經》是我國古代數學經典著作，書中記載了這樣一道題目：今有三人共車，二車空，九人步．人與車各幾何？其意思是：今有3個人坐一輛車，有2輛車是空的，有9個人需要步行．人與車各多少？若設有x人，車y輛（）A． B． C． D．【解答】解：∵3個人坐一輛車，有2輛車是空的，∴x＝y﹣2；∵3個人坐一輛車，有9個人需要步行，∴＝y．∴根據題意可列出方程組．故選：B．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）已知x+2y＝1，則2x+4y+1＝3．【解答】解：當x+2y＝1時，原式＝6（x+2y）+1＝2×1+1＝7．故答案為：3．12．（3分）若關于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0總有兩個不相等的實數根，請寫出一個滿足條件的m的值1（答案不唯一）．（寫出一個即可）【解答】解：根據題意得Δ＝（﹣8）2﹣2m＞0，解得m＜16，所以當m取1時，方程有兩個不相等的實數根．故答案為：7（答案不唯一）．13．（3分）已知圓錐的底面半徑為2，母線長為5，則圓錐側面展開圖的面積是10π．【解答】解：因為圓錐的底面半徑為2，母線長為5，所以圓錐側面展開扇形的面積是：π×7×5＝10π．故答案為：10π．14．（3分）如圖，△ABC，△DCE，點B，C，E，F在同一直線上，D，G在同一直線上，∠1＝30°．若S△GEF＝1，則S△ABC＝16．【解答】解：∵△ABC，△DCE，點B，C，E，∴∠ACD＝∠DEG＝60°，AC∥DE，∴∠GDE＝∠1＝30°，從而可得∠ADC＝∠DGE＝90°，∵△DCE∽△GEF，∴相似比為＝2，故S△DCE：S△GEF＝3，∴S△DCE＝4S△GEF＝4，同理可得S△ABC＝6S△DCE＝16，故答案為：16．15．（3分）在物理實驗課上，教師指導學生進行一次光的折射實驗，如圖所示．光線在水面點O處，法線與盆底交于點A．光線的入射角為α，折射角為θ．若規定“，則光在水中的折射率n約為．當α＝30°時，則OB的長為80cm．【解答】解：∵＝n＝，∴sinθ＝?sina．當α＝30°時，sinθ＝?sin30°＝×＝．在Rt△OAB中，∵sinθ＝＝，AB＝30cm，∴OB＝AB＝．故答案為：80．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．16．（7分）先化簡，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣1．【解答】解：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）＝x2+8xy+y2+x2﹣y4＝2x2+5xy，當x＝2，y＝﹣1時，原式＝6×22+4×2×（﹣1）＝5．17．（7分）如所示，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點E是AC上一點．（1）尺規作圖：用無刻度的直尺和圓規，過點D作DE的垂線，交BC于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求證：DE＝DF．【解答】（1）解：如圖所示，直線DF即為所求；（2）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CD是斜邊AB的中線，高線，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∴∠DCB＝∠B＝45°，∴∠ECD＝∠B＝45°，由作圖可知，DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，即∠EDC+∠CDF＝∠CDF+BDF＝90°，∴∠EDC＝∠BDF，∴△EDC≌△FDB（AAS），∴DE＝DF．18．（7分）鄧先生駕車從深圳寶安國際機場返回中山市博覽中心．導航顯示，若經過虎門大橋，路程約為100公里，路程約為54公里，且比經過虎門大橋用時少36分鐘．若鄧先生駕車的平均車速不變（結果保留小數點后一位）【解答】解：設平均車速是x公里/小時，由題意得：﹣＝，解得：x＝≈76.7，經檢驗，x＝，且符合題意，答：平均車速約是76.7公里/小時．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）為優化校園科技節活動設計，提升師生參與體驗，某校在“智創未來”科技節結束后（滿分100分），并將收集到的評分數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．100名學生所評分數的頻數分布直方圖如圖所示．數據分成4組：①60≤x＜70，②70≤x＜80，③80≤x＜90b.15名教師所評分數為：78，82，84，86，88，89，90，90，91，95，96．c．100名學生和15名教師對科技節活動滿意度分數的平均數、中位數、眾數如表所示．分類平均數中位數眾數學生評分pq89教師評分88.489m根據以上信息，回答下列問題：（1）m的值為90，q的值位于學生評分數據分組的第④組．（2）通過計算，求表中p的值．（3）根據相關規定，滿意度評定結果可劃分為三個等級：低于70分為“不滿意”，70分至85分為“一般”，試判斷本次科技節活動師生滿意度評定等級，并說明你的理由．【解答】解：（1）教師評分的眾數m＝90，中位數q在第④組，故答案為：90、④；（2）學生評分的平均數p＝×（65×2+75×5+85×40+95×52）＝89.2；（3）本次科技節活動師生滿意度評定等級為滿意，因為學生及老師的評分的平均數和中位數均高于85分．20．（9分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C是半圓O上的一點，過點A作AD⊥PC于點D，交半圓O于點E．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若，，求DE的長．【解答】（1）證明：∵PD是⊙O的切線，∴OC⊥PD，∵AD⊥PD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAP，∴AC平分∠DAB；（2）解：在Rt△OCP中，∵sinP＝＝，∴設OC＝5k，OP＝13k，∴PC＝＝12k＝，∴k＝，∴OC＝OB＝OA＝13，∴AB＝26，連接BE交OC于H，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90，∴BE∥PD，∴∠ABE＝∠P，∴sin∠ABE＝sinP＝＝，∴AE＝10，∵OH∥AD，AO＝OB，∴BH＝EH，∴OH＝＝5，∴DE＝CH＝8．21．（9分）綜合與實踐【問題背景】桿秤是我國古代傳統的度量衡三大件之一，在學習了桿秤相關知識之后，小紅學習小組想利用一根木棒制作一個簡易桿秤．【制作實驗】（1）如圖所示，在木棒上先確定點O為桿秤提組．點A處掛托盤，選取的托盤質量m0＝0.5kg，秤砣質量m2＝1kg、測得l1＝OA＝3cm．（2）先在托盤里加相應質量的物體，調整秤砣位置，使桿秤保持平衡，獲得的實驗數據如表所示：物體質量m1/kg01234OB長度l2/cm1.54.57.510.513.5任務1：桿秤在不掛重物而保持平衡時，其點B所處的位置，稱為定盤星．由如表可知1.5cm．【建立模型】任務2：小組討論認為OB長度l2與物體質量m1的關系可以用一次函數來刻畫．請求出OB長度l2與物體質量m1的函數關系式．【結論應用】任務3：經測量，發現該木棒在提紐O掛秤砣一側的長度為34cm，根據要求，求該桿秤稱量重物的最大量程．【解答】解：任務1：定盤星和提紐的距離是1.7cm，故答案為：1.5cm；任務5：設OB長度l2與物體質量m1的函數關系式為l8＝am1+b，把（0，2.5）和（1，解得，∴OB長度l2與物體質量m1的函數關系式為l4＝3m1+5.5；任務3：根據題意得，l6?（m0+m1）＝l8?m2，∵m0＝2.5kg，m2＝6kg、l1＝OA＝3cm，l3＝34﹣2.5＝31.2（cm），∴3×（0.7+m1）＝31.5×2，∴m1＝10，答：該桿秤稱量重物的最大量程是10kg．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．22．（13分）定義：在直角梯形中，若斜腰與梯形的一條底邊相等，則此直角梯形被稱為“斜腰等底直角梯形”．（1）如圖1所示，直角梯形ABCD為“斜腰等底直角梯形”，AD∥BC，AD＝CD，連接AC；（2）如圖2所示，在矩形ABCD中．折疊矩形，使點A，折痕為EF．點D的對應點為D′，當∠BAF＝30°時；（3）如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，若以AB，當四邊形ABCD是“斜腰等底直角梯形”時，直接寫出AD的長．【解答】（1）證明：∵AD＝CD，∴∠CAD＝∠ACD，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACD，∴AC平分∠BCD；（2）證明：由折疊得，∠AFE＝∠CFE，∠D′AF＝∠C，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠AEF＝∠CFE，∠D′AF＝∠D′＝90°，∴∠AFE＝∠AEF，∠D′AF+∠D′＝180°，∴AE＝AF，D′E∥AF，∴四邊形AFED′是梯形，∵∠EAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°﹣30°＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AF＝EF，∴四邊形AFED′是“斜腰等底直角梯形”；（3）解：如圖3﹣1，當AD∥BC，AD＝CD時，作CE⊥AD，交AD的延長線于E，∴∠E＝90°，∠BAD＝180°﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠E＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴CE＝AB＝5，AE＝BC＝8，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE2+DE5＝CD2，∴65+（8﹣AD）2＝AD2，∴AD＝，如圖3﹣4，當CD∥AD，AD＝CD時，作AE⊥CD于E，由上知，CE＝6，AE＝BC＝8，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE8+DE2＝AD2，∴22+（AD﹣6）7＝AD2，∴AD＝，如圖4﹣3，當AD∥BC，CD＝BC＝8時，作CE⊥AD于E，由上知，CE＝5，AE＝8，在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝＝4，∴AD＝AE+DE＝8+4，綜上所述：或或7+4．23．（14分）如圖所示，已知二次函數圖象與直線y＝﹣x+m相交于點A（5，0），點P為拋物線上一點，將點P繞著原點O逆時針旋轉90°得到對應點Q（1）