試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北京市西城區九年級模擬測試試卷數學考生須知1．本試卷共7頁，共兩部分，28道題．滿分100分．考試時間120分鐘．2．在試卷和草稿紙上準確填寫姓名、準考證號、考場號和座位號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．如圖是一個立體圖形的三視圖，則該立體圖形是（

）A．圓錐 B．圓柱 C．長方體 D．球2．如圖，兩個直角三角形的直角頂點重合，如果，那么的大小為（

）A． B． C． D．3．“雙碳”目標戰略為中國汽車工業帶來了新的生命力，截至2023年底，全國新能源汽車保有量約為輛，根據新能源汽車產業規劃目標，預計到2033年底，新能源汽車保有量將會是2023年底的5倍，達到約輛，則的值是（

）A． B． C． D．4．為了解某校1500名學生每天在校參加體育鍛煉的情況，下列抽樣調查方式中最合適的是（

）A．隨機抽取某個班的全體學生B．每個年級各推薦20名學生C．上體育課時，在操場上隨機抽取25名學生D．將全校的學生名字輸入電腦程序，在電腦中隨機抽取100名學生5．六邊形的內角和為（）A． B． C． D．6．如圖，數軸上的點，表示的數分別是，．如果，那么下列結論中一定正確的是（

）A． B． C． D．7．在反比例函數y＝的圖象上橫、縱點坐標都是整數的點有（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個8．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形稱為梯形．若梯形中不平行的兩邊相等，則稱這樣的梯形為等腰梯形．如圖，點，，，分別是等腰梯形各邊的中點，順次連接，，，得到四邊形．點，，，分別是四邊形各邊的中點，順次連接，，，得到四邊形．以下四個結論：①四邊形是菱形；②連接，則；③四邊形的面積等于四邊形面積的倍；④四邊形周長的平方不小于梯形面積的倍．上述結論中，所有正確結論的序號是（

）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9．若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是．10．分解因式：．11．在平面直角坐標系中，點關于x軸對稱的點的坐標是．12．寫出一個比大且比小的整數．13．方程的解為．14．2024年7月27日，聯合國教科文組織第46屆世界遺產大會通過決議，將“北京中軸線——中國理想都城秩序的杰作”列入《世界遺產名錄》，其中天壇、正陽門、故宮、鼓樓都是中軸線上的著名景點．小明和小華分別隨機選擇這四個景點中的任意一個去參觀，則他們選擇參觀同一個景點的概率是．15．如圖，在中，點是上一點，延長，交于點．若，的面積為6，則的面積為．16．小林駕車去某地辦事，目的地附近有甲、乙兩個停車場．已知小林停車時間不超過24小時．甲停車場收費標準是：停車時長（單位：小時）收費標準（單位：元）免費510151824乙停車場收費標準是；每小時2元（不足1小時按1小時收費）．（1）若小林10點25分將車停入甲停車場，當天18點45分將車開出，則小林需交的停車費是元；（2）若小林將車停到乙停車場，且停車費比停在甲停車場更優惠，則小林停車時間最長為小時，三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．計算：．18．解不等式組：19．已知，求代數式的值．20．如圖，在中，，的平分線交于點，過點作，交于點，點是上一點，且，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．21．關于的方程．(1)若方程有實數根，求的取值范圍；(2)若方程的兩個根都是整數，求正整數的值．22．在平面直角坐標系中，函數和函數的圖象相交于點．(1)當時，求點的坐標；(2)當時，對于的每一個值，函數的值都大于函數的值，直接寫出的取值范圍．23．某研發小組設計了甲、乙兩款AI軟件，為測試兩款軟件的實用性能，先后邀請普通用戶和專業人士對甲、乙兩款軟件體驗、評分（百分制）．(1)邀請800個普通用戶對甲款軟件和1200個普通用戶對乙款軟件體驗、評分（百分制）．從評分中各隨機抽取20個數據進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：a．甲款軟件評分：60

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91b．乙款軟件評分頻數分布直方圖如下：（數據分5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組）c．甲、乙兩款軟件評分的平均數、中位數、眾數如下：軟件平均數中位數眾數甲7880乙7872根據以上信息，解答下列問題：①的值為______，的值位于乙款軟件評分的第______組；②估計這1200個普通用戶中對乙款軟件評分滿足的約為______個；(2)邀請專業人士對甲、乙兩款軟件從四個維度體驗、評分（百分制），評分結果由維度1和維度2各占30%，維度3和維度4各占20%組成，評分如下：維度軟件維度1維度2維度3維度4甲949293乙91939392①乙款軟件的評分為______；②若甲款軟件的評分更高，則表中（為整數）的最小值為______．24．如圖，為的外接圓，點為的中點，的切線交的延長線于點，交于點．連接，，且．(1)求證：；(2)若，求的長．25．小明媽媽早晨騎電動車將小明送到幼兒園后再去單位上班．已知小明家到幼兒園的路程為，幼兒園到小明媽媽單位的路程為，小明媽媽騎電動車帶小明行駛是載重行駛，下表記錄了電池中剩余電量占電池容量的百分比（簡稱剩余電量占比）與小明媽媽獨自行駛和載重行駛狀態下可行駛的路程（單位：）和（單位：）的部分數據：0%10%20%40%60%80%100%037152331390249152230(1)通過分析數據，發現可以用函數刻畫與，與之間的關系．在給出的平面直角坐標系中，補全這兩個函數的圖象；(2)根據上述數據和函數圖象，解決下列問題：①當該電動車剩余電量占比為50%時，小明媽媽獨自行駛比載重行駛多行駛______km（結果精確到0.1）；②假設一天早晨該電動車剩余電量占比為30%，在電量耗盡前，判斷小明媽媽騎電動車______（填“能”“不能”）將小明送到幼兒園；③若在電量耗盡前小明媽媽能到達單位，則當天早晨出門時該電動車剩余電量占比至少為______（精確到1%）．26．在平面直角坐標系中，拋物線經過點．(1)求拋物線的頂點坐標；(2)已知和是拋物線上的兩個點，且總成立，求的取值范圍．27．如圖，在中，，，點為邊上一點（），連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接交于點，連接．(1)求證：平分；(2)若點，，分別為，，的中點，連接，補全圖形，用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．28．給定線段和位于直線同一側的兩點，，若在線段上（不含端點，）存在點，使得且，則稱點與關于線段等角等距．在平面直角坐標系中，已知點．(1)點的坐標為，①在點，，，中，與點關于線段等角等距的點是______；②點是直線上一點，若在以點為圓心，1為半徑的圓上總能找到一點與點關于線段等角等距，則點的橫坐標的取值范圍是______；(2)已知點，在以為圓心，1為半徑的圓上存在點，使得點與關于線段等角等距，直接寫出的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】本題考查了由三視圖還原幾何體，旨在考查學生的空間想象能力．【詳解】解：A：圓錐的三視圖為三角形、三角形、圓，符合題意；B：圓柱的三視圖分別為：長方形、矩形、圓，不符合題意；C：長方體的三視圖沒有圓，不符合題意；D：球的三視圖均沒有三角形，不符合題意；故選：A2．B【分析】本題主要考查角的和差關系，熟練掌握角的和差關系是解題的關鍵；由題意可知，求出，由即可求解．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，∴，故選：B．3．B【分析】本題主要考查科學記數法，含乘方的有理數的混合運算，熟練掌握科學記數法是解題的關鍵；科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于10時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．【詳解】解：；故選B．4．D【分析】此題考查了抽樣調查的知識．注意選取的樣本需要有代表性和廣泛性．因為抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性，根據樣本的代表性即可作出判斷．【詳解】解：隨機抽樣是最簡單和最基本的抽樣方法，抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性，將全校的學生名字輸入電腦程序，在電腦中隨機抽取100名學生，這些對象具有代表性和廣泛性．故選：D．5．C【分析】本題考查了多邊形的內角和，利用多邊形的內角和即可解決問題，熟練掌握多邊形的內角和公式及應用是解題的關鍵．【詳解】解：根據多邊形的內角和可得：．故選：．6．C【分析】本題考查了有理數與數軸，有理數的運算，由數軸可知，進而由可得異號，即得，再根據有理數的運算法則逐項判斷即可求解，掌握有理數的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：由數軸可得，，∵，∴，∴，故錯誤；令，，則，，故錯誤；令；∵，∴∴，故正確；故選：C．7．D【分析】根據y=,得出xy=6,再結合x、y都是整數,從而得出正確選項即可.【詳解】解：將反比例函數y=變形，得xy=6乘積為6的整數可分為：2和3、-2和-3、1和6、-1和-6,所以圖象上橫、縱點坐標都是整數的點有（-1，-6）、（-2，-3）、（-3，-2），（-6，-1）、（1,6）（2，3）、（3，2）、（6，1）共8個.故選：D.【點睛】本題考查的是反比例函數的比例系數k的特點,即反比例函數中k為定值,且k=xy.8．C【分析】本題主要研究等腰梯形各邊中點連線所構成的四邊形的性質．運用三角形中位線定理來推導四邊形和的邊、角、面積等相關性質，進而判斷四個結論的正確性．【詳解】解：連接等腰梯形的對角線、．∵點，，，分別是等腰梯形各邊的中點，∴，，∵等腰梯形的對角線相等，∴，∴．同理，∴四邊形是菱形，結論①正確．取的中點，連接，，∵，分別是，的中點，∴∵∴∴點，，三點共線，∴即，結論②正確．連接、，∵四邊形是菱形，∴，∴∵點，，，分別是四邊形各邊的中點，∴，∴，，四邊形是平行四邊形，∴，四邊形是矩形，同理可得，∴∴，即四邊形的面積等于四邊形面積的倍，不是倍，結論③錯誤．同理可得四邊形的面積等于四邊形面積的倍，∴四邊形的面積等于四邊形面積的倍，設梯形的高為，上底，下底，∴梯形面積．∵點，，，分別是四邊形各邊的中點，∴，∴∴四邊形是平行四邊形，設其相鄰兩邊分別為、，周長，．∵（當且僅當時取等號），四邊形的面積，且，∴∴∵∴，即四邊形周長的平方不小于梯形面積的倍，結論④正確，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）、相似三角形的判定及性質，菱形的判定（四條邊相等的四邊形是菱形）、平行四邊形的判定與性質以及均值不等式等知識．解題的關鍵在于通過連接對角線等輔助線，利用三角形中位線定理得出各邊關系，再依據相關圖形性質判斷結論的正確性．9．【分析】此題考查了二次根式的意義．根據二次根式有意義的條件即可解得．【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，，∴，∴，故答案為：．10．【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，注意多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．先提公因式，再利用完全平方公式繼續分解即可解答．【詳解】解：，故答案為：．11．【分析】本題考查了求關于坐標軸對稱的點的坐標，熟練掌握關于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數是解題的關鍵．根據關于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數即可求解．【詳解】解：點關于x軸對稱的點的坐標是，故答案為：．12．3（答案不唯一）【分析】先分別求出與在哪兩個相鄰的整數之間，依此即可得到答案．【詳解】解：∵2＜＜3，4＜＜5，∴所有比小且比大的整數有3，4，∴這個整數可以是3，故答案為：3（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了實數的大小比較，也考查了無理數的估算的知識，分別求出與在哪兩個相鄰的整數之間是解答此題的關鍵．13．【分析】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當時，，所以分式方程的解是．故答案為：．14．##【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，分別用A、B、C、D表示天壇、正陽門、故宮、鼓樓，畫樹狀圖，計算即可.【詳解】解：分別用A、B、C、D表示天壇、正陽門、故宮、鼓樓，畫樹狀圖：共有16種可能，小明和小華選擇去同一個地方游玩有4種可能，小明和小華選擇參觀同一個景點的概率為，故答案為：．15．24【分析】本題主要考查平行四邊形的性質（對邊平行）以及相似三角形的判定（兩角分別相等的兩個三角形相似）和性質（相似三角形面積比等于相似比的平方）．解題的關鍵在于利用平行四邊形對邊平行的性質找出相似三角形，準確求出相似比，再運用相似三角形面積比與相似比的關系計算所求三角形的面積．本題圍繞平行四邊形展開，已知和的面積，要求的面積．需要利用平行四邊形對邊平行的性質，找出相似三角形，再依據相似三角形的性質來建立面積關系求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，即．∴，．∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴，∴．∵．∴．∴．即，∴故答案為：．16．157【分析】本題考查了有理數的運算，不等式，正確理解題意是解題的關鍵．（1）由小林10點25分將車停入甲停車場，當天18點45分將車開出，即可求出停車時間，再根據表格即可求解；（2）根據表格分析每一個時間段，在乙停車場最多停車時間及費用，即可求解．【詳解】解：（1）∵小林10點25分將車停入甲停車場，當天18點45分將車開出，∴，∴在甲停車場停了8小時20分鐘，∴由表格得收費15元，故答案為：15；（2）若時，知甲免費，乙至少花費2元，不合題意；若時，要使得乙停車費少，則乙最多2小時4元；若時，要使得乙停車費少，則乙最多4小時8元；若時，要使得乙停車費少，則乙最多7小時14元；若時，乙至少花費20元，不合題意；若時，乙至少26元，不合題意，∴小林停車時間最長為7小時，故答案為：7．17．【分析】本題考查了有理數的乘方、負整數指數冪、特殊角的三角函數值、算術平方根，解題的關鍵是掌握相應的運算法則，利用根式的性質化簡后，再合并計算．【詳解】解：．18．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：原不等式組為，解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式組的解集為．19．3【分析】本題主要考查了分式化簡求值，熟練掌握的基本性質，是解題的關鍵．先將分式化簡為，然后再根據，求出結果即可．【詳解】解：．∵，∴．∴原式20．(1)詳見解析(2)【分析】（1）首先利用角平分線的性質得到，再結合推出，從而得出．已知，可得到，根據一組對邊平行且相等判定四邊形是平行四邊形．最后由，根據矩形的判定定理（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）得出四邊形是矩形．（2）利用矩形的性質得到，進而推出，．已知，則，在中，根據正弦值和求出和的長度，進而得到的長度．最后在中，根據勾股定理求出的長．【詳解】（1）證明：∵的平分線交于點，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴四邊形為平行四邊形．∵，∴四邊形為矩形．（2）解：如圖所示，∵在矩形中，，∴，．∵，∴．∵在中，，∴，．∴．∵在矩形中，，∴在中，．【點睛】平分線的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質、三角函數以及勾股定理．解題關鍵在于利用已知條件逐步推導邊與角的關系，通過角平分線和平行線的組合得到等腰三角形，利用矩形性質找到角的等量關系，再結合三角函數和勾股定理求解邊長．21．(1)(2)3【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式以及求根公式的應用．解題關鍵在于理解根的判別式與根的關系，利用判斷根的情況并求解參數范圍；同時掌握求根公式，通過對根的表達式分析及代入驗證來確定滿足條件的參數值．（1）根據一元二次方程根的判別式與根的關系，已知方程有實數根，所以，通過構建關于的不等式求解的取值范圍．（2）先利用求根公式得出方程的根的表達式，再結合第一問的取值范圍確定正整數可能的值，然后通過代入逐一驗證根是否為整數，從而確定符合條件的值．【詳解】（1）解：∵方程有實數根，∴．∴．解得．即的取值范圍是．（2）解：解方程，得．∵，∴正整數的值為1，2，3．當時，，不合題意，所以舍去；當時，，不合題意，所以舍去；當時，，得到方程的根為，，都是整數．∴正整數的值是3．22．(1)(2)【分析】本題主要考查一次函數的性質以及函數圖象交點問題．解題關鍵在于理解函數圖象交點坐標是聯立函數方程的解，對于比較函數值大小的問題，要結合函數圖象的位置關系，通過分析交點以及函數斜率等性質來確定參數的取值范圍．（1）由，此得和．可聯立這兩個函數方程求解．（2）當時，的值都大于的值，意味著在時，直線在直線的上方．我們可以先考慮特殊情況，即兩直線交點的橫坐標為時的情況，再結合函數的性質來確定的取值范圍．【詳解】（1）解：當時，函數，．聯立方程組，解得，∴點的坐標為．（2）解：聯立，∴，解得（）．當時，的值都大于的值，且當時，若兩函數值相等，則，解得．又∵當時，在的下方，∴要大于等于，∴．23．(1)①80；3；②180；(2)①92.2；②91【分析】（1）①觀察表格，根據眾數、中位數的定義求解即可；②用1200乘以第五組數據在樣本中所占的比即可得解．（2）①利用加權平均數的計算方法計算即可；②根據“甲款軟件的評分更高”，列不等式求解即可．【詳解】（1）解：①甲組20個數據中出現次數最多的是80，因此甲組數據的眾數為80，所以，；乙組數據的中位數在第3組中．②．故答案為：①80；3；②180；（2）解：①（分）；②由題意得，解得∴k的最小整數值為91.故答案為：①92.2；②91【點睛】本題考查了綜合利用表格和頻數直方圖分析數據，眾數、中位數的定義，加權平均數的計算方法，用樣本估計總體等知識．熟練掌握以上知識是解題的關鍵．24．(1)詳見解析(2)【分析】（1）本題要證明，通過設，利用同弧所對圓心角是圓周角的兩倍，得到．再根據等腰三角形兩底角相等以及三角形內角和求出．由切線性質得到，進而得出的度數．最后結合已知，得出的度數，從而證明兩角相等．（2）求的長，先延長交于．根據點為的中點，利用垂徑定理的推論得到，再通過證明得出．由得到，進而推出角相等關系．結合前面（1）中角的結論，得出，從而得到線段相等關系，最后根據，結合求出的長．【詳解】（1）證明：設，則，∵，∴，∴，∵是的切線，∴半徑，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：延長交于，則，∵點為的中點，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查圓的相關知識，包括同弧所對圓心角與圓周角的關系、切線的性質、垂徑定理及其推論，以及等腰三角形的性質和全等三角形的判定．解題的關鍵在于利用圓的性質找出角之間的等量關系，通過角的關系推導線段的等量關系，進而求解問題．25．(1)見解析(2)①7.1（答案不唯一）；②不能；③【分析】本題主要考查函數圖象的繪制、函數值的讀取與計算以及利用函數模型解決實際問題．解題關鍵在于準確分析表格數據，合理繪制函數圖象，通過函數關系解決路程與電量相關的實際問題．（1）根據給定的表格數據，在平面直角坐標系中，分別找出與、與對應的坐標點，然后用平滑曲線連接這些點，即可補全函數圖象．例如對于與，有，等點；對于與，有，等點．（2）①先根據函數圖象或數據找到時，和的值，然后計算兩者差值．②找到時的值，與小明家到幼兒園的路程比較大小．③小明家到幼兒園路程為，幼兒園到單位路程為，分別估算對應的值，相加即可得解．【詳解】（1）解：如圖，（2）解：①從表格數據或圖象估算，當時，，，∴．②從表格數據或圖象估算，當時，的值約為，∵，∴不能將小明送到幼兒園．③觀察的數據，當時，，觀察的數據，當時，∴當天早晨出門時該電動車剩余電量占比至少為．26．(1)(2)或【分析】本題考查了求二次函數的頂點式，二次函數的性質，運用分類討論和數形結合思想解答是解題的關鍵．（1）將點A代入解析式即可求出a的值，進而得到解析式，將解析式化為頂點式即可得到頂點坐標；（2）先求出，令，則，求出的值，根據，求出或，分，兩種情況，結合二次函數的性質