蘇州新區一中2024-2025學年高二數學第二學期期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數在上可導，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-42．已知函數，的圖象過點，且在上單調，的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖象重合，若存在兩個不相等的實數，滿足，則（）A． B． C． D．3．函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（）．A． B．C． D．4．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上.設拋物線，弦過焦點，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．5．函數f(x)=13ax3A．0<a<1 B．1<a<2 C．0<a<2 D．a>26．若是虛數單位，，則實數（）A． B． C．2 D．37．在一次期中考試中，數學不及格的人數占，語文不及格占，兩門都不及格占，若一名學生語文及格，則該生數學不及格的概率為（）A． B． C． D．8．設，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．已知橢圓（為參數）與軸正半軸，軸正半軸的交點分別為，動點是橢圓上任一點，則面積的最大值為（）A． B． C． D．10．已知函數，，當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．11．現有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數為（）A．15 B．14 C．13 D．1212．圓柱形容器內盛有高度為6cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示.則球的半徑是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數的圖象的對稱中心為，函數的圖象的對稱中心為，函數的圖象的對稱中心為.由此推測，函數的圖象的對稱中心為________.14．設，則二項式的展開式中含項的系數為__________．15．已知函數，若，則________16．將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有種（用數字作答）．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程恰有兩個實數根，求a的值.18．（12分）已知函數.（1）若，求的零點個數；（2）若，，證明：，.19．（12分）2018年6月14日，國際足聯世界杯足球賽在俄羅斯舉行了第21屆賽事.雖然中國隊一如既往地成為了看客，但中國球迷和參賽的32支隊伍所在國球迷一樣，對本屆球賽熱情似火，在6月14日開幕式的第二天，我校足球社團從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否收看開幕式情況進行了問卷調查，統計數據如下：收看沒收看男生6020女生2020（1）根據上表說明，能否有99%的把握認為，是否收看開幕式與性別有關?（2）現從參與問卷調查且收看了開幕式的學生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加志愿者宣傳活動.（i）問男、女學生各選取了多少人？（ⅱ）若從這12人中隨機選取3人到校廣播站開展足球項目的宣傳介紹，設選取的3人中女生人數為X，寫出X的分布列，并求.附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87920．（12分）在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？21．（12分）統計學中，經常用環比、同比來進行數據比較，環比是指本期統計數據與上期比較，如年月與年月相比，同比是指本期數據與歷史同時期比較，如年月與年月相比.環比增長率（本期數上期數）上期數，同比增長率（本期數同期數）同期數.下表是某地區近個月來的消費者信心指數的統計數據：序號時間年月年月年月年月年月年月年月年月消費者信心指數2017年月年月年月年月年月年月年月年月年月求該地區年月消費者信心指數的同比增長率（百分比形式下保留整數）；除年月以外，該地區消費者信心指數月環比增長率為負數的有幾個月？由以上數據可判斷，序號與該地區消費者信心指數具有線性相關關系，寫出關于的線性回歸方程（，保留位小數），并依此預測該地區年月的消費者信心指數（結果保留位小數，參考數據與公式：，，，，）22．（10分）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求橢圓的方程；（2）若直線l經過F2與橢圓交于M，N

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題設可得，令可得，所以，則，應選答案D．2、A【解析】

由圖像過點可得，由的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖象重合，可知，結合在上單調，從而得到，由此得到的解析式，結合圖像，即可得到答案。【詳解】因為的圖象過點，則，又，所以.一方面，的圖象向左平移單位后得到的圖象與原函數圖象重合，則，即，化簡可知．另一方面，因為在上單調，所以，即，化簡可知.綜合兩方面可知．則函數的解析式為，結合函數圖形，因為，當時，，結合圖象可知則，故選A．本題主要考查正弦函數解析式的求法，以及函數圖像的應用，考查學生的轉化能力，屬于中檔題。3、D【解析】

根據最值計算，利用周期計算，當時取得最大值2，計算，得到函數解析式.【詳解】由題意可知，因為:當時取得最大值2，所以:，所以:，解得:，因為:，所以:可得，可得函數的解析式:．故選D．本題主要考查了正弦型函數的圖象與性質，其中解答中根據函數的圖象求得函數的解析式，熟記三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題4、B【解析】

利用導數的知識，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當直線垂直軸時，面積取得最小值.【詳解】設，過A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導數的知識得：，所以，所以，所以，因為，當時，可得的最大值為，故選B.本題是一道與數學文化有關的試題，如果能靈活運用阿基米德三角形的結論，即當直線過拋物線的焦點，則切線與切線互相垂直，能使運算量變得更小.5、D【解析】

函數f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)【詳解】f'(x)=ax2-2x，函數f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)上不單調，即故答案為D.本題考查了函數的單調性，考查了二次函數的性質，考查了學生分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題.6、B【解析】

先利用復數的模長公式得到，再根據復數相等的定義，即得解.【詳解】由于由復數相等的定義，故選：B本題考查了復數的模長和復數相等的概念，考查了學生概念理解，數學運算的能力，屬于基礎題.7、A【解析】

記“一名學生語文及格”為事件A，“該生數學不及格”為事件B，所求即為，根據條件概率的計算公式，和題設數據，即得解.【詳解】記“一名學生語文及格”為事件A，“該生數學不及格”為事件B，所求即為：故選：A本題考查了條件概率的計算，考查了學生概念理解，實際應用，數學運算的能力，屬于基礎題.8、C【解析】

根據空間線面關系、面面關系及其平行、垂直的性質定理進行判斷．【詳解】對于A選項，若，，則與平行、相交、異面都可以，位置關系不確定；對于B選項，若，且，，，根據直線與平面平行的判定定理知，，，但與不平行；對于C選項，若，，在平面內可找到兩條相交直線、使得，，于是可得出，，根據直線與平面垂直的判定定理可得；對于D選項，若，在平面內可找到一條直線與兩平面的交線垂直，根據平面與平面垂直的性質定理得知，只有當時，才與平面垂直．故選C．本題考查空間線面關系以及面面關系有關命題的判斷，判斷時要根據空間線面、面面平行與垂直的判定與性質定理來進行，考查邏輯推理能力，屬于中等題．9、B【解析】分析：根據橢圓的方程算出A（4，1）、B（1，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y﹣12=1．設點P（4cosθ，3sinθ），由點到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=|sin﹣1|，結合三角函數的圖象與性質算出dmax=（），由此結合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．詳解：由題得橢圓C方程為：，∴橢圓與x正半軸交于點A（4，1），與y正半軸的交于點B（1，3），∵P是橢圓上任一個動點，設點P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴點P到直線AB：3x+4y﹣12=1的距離為d==|sin﹣1|，由此可得：當θ=時，dmax=（）∴△PAB面積的最大值為S=|AB|×dmax=6（）.點睛：(1)本題主要考查橢圓的參數方程和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)對于|sin﹣1|，不是sin=1時，整個函數取最大值，而應該是sin=-1，要看后面的“-1”.10、D【解析】

由變形可得,可知函數在為增函數,由恒成立,求解參數即可求得取值范圍.【詳解】,即函數在時是單調增函數.則恒成立..令,則時,單調遞減,時單調遞增.故選:D.本題考查構造函數,借助單調性定義判斷新函數的單調性問題,考查恒成立時求解參數問題,考查學生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.11、A【解析】分析：直接利用組合數求解即可．詳解：現有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數為故選A點睛：本題考查組合的應用，屬基礎題..12、C【解析】

設出球的半徑，根據題意得三個球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，結合體積公式求解即可．【詳解】設球半徑為，則由，可得，解得，故選C.本題主要考查了幾何體的體積公式的應用，考查學生空間想象能力以及計算能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知可歸納推測出的對稱中心為，再由函數平移可得的對稱中心.【詳解】由題意，題中所涉及的函數的對稱中心的橫坐標依次為，即由此推測的對稱中心為.又所以其對稱中心為.故答案為：本題考查歸納與推理，涉及到函數的對稱中心的問題，是一道中檔題.14、192【解析】因為，所以，由于通項公式，令，則，應填答案。15、【解析】

考慮的奇偶性，利用奇偶性解決問題.【詳解】令，則有，且定義域為，關于原點對稱，所以是奇函數，則，即，所以.本題考查類奇偶函數的運用，難度較易.關鍵是先構造出奇偶函數，然后利用新函數的值去分析結果.16、36【解析】試題分析：將4人分成3組，再將3組分配到3個鄉鎮，考點：排列組合三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據已知求得，可求得曲線在處的切線方程;（2）由方程恰有兩個實數根，進行參變分離得，構造函數，對所構造的函數求導,分析出其導函數的正負,得出所構造的函數的單調性和圖象趨勢,極值,從而可得出a的值.【詳解】（1）函數，，，曲線在處的切線方程為，即.（2）方程恰有兩個實數根，即恰有兩個實數根，∵，所以可得，顯然時，上式不成立；設，則，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減；，，又當時，，當時，，，得.本題考查求在函數上的一點的切線方程,和根據方程的根的情況求參數的值,解決的關鍵在于進行參變分離,構造合適的函數,并對所構造的函數求導,分析其導函數的正負,得所構造的函數的單調性和圖象趨勢和極值,屬于常考題,難度題.18、（1）（2）見解析【解析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導得，在定義域內討論函數單調性，再由函數的最小值正負來判斷它的零點個數；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構造新的函數，利用導數可知其在定義域上的最小值，構造函數，由導數可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。【詳解】（1）解：因為，所以.令，得或；令，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，而，，，所以的零點個數為1.（2）證明：因為，從而.又因為，所以要證，恒成立，即證，恒成立，即證，恒成立.設，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以.設，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以，所以，所以，恒成立，即，.本題考查用導數求函數的零點個數以及證明不不等式，運用了構造新的函數的方法。19、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）見解析，【解析】

（1）套用公式，算出的值與6.635比較大小，即可得到本題答案；（2）（i）由男女的比例為3：1，即可得到本題答案；（ii）根據超幾何分布以及離散型隨機變量的均值公式，即可得到本題答案.【詳解】（1）因為，所以有99%的把握認為，是否收看開幕式與性別有關.（2）（ⅰ）根據分層抽樣方法得，男生人，女生人，所以選取的12人中，男生有9人，女生有3人.（ⅱ）由題意可知，X的可能取值有0，1，2，3.，，，X0123P∴.本題主要考查分層抽樣，獨立性檢驗的應用和超幾何分布以及其分布列均值的求法，考查學生的運算求解能力.20、（Ⅰ）