四川省成都市經開區實驗中學2025屆高二下數學期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．2．長方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的大小（）A． B． C． D．3．定義在R上的偶函數滿足，當時，，設函數，，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．3 B．4 C．5 D．64．在棱長為1的正方體中，E，F分別為線段CD和上的動點，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和（）A．有最小值 B．有最大值 C．為定值3 D．為定值25．已知隨機變量，若，則，分別為（）A．和 B．和 C．和 D．和6．已知復數z滿足，則復數等于()A． B． C． D．i7．已知直線y=x+1與曲線y=A．1B．2C．-1D．-28．若動圓的圓心在拋物線上，且與直線相切，則動圓必過一個定點，該定點坐標為（）A． B． C． D．9．在一組數據為，，…，（，不全相等）的散點圖中，若這組樣本數據的相關系數為，則所有的樣本點滿足的方程可以是（）A． B．C． D．10．設是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，則的值為（）A． B． C． D．11．已知函數，若函數在區間上為單調遞減函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設，且，若能被100整除，則等于（）A．19 B．91 C．18 D．81二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為偶函數，當時，，則__________．14．函數的單調遞減區間是_________.15．平面上畫條直線，且滿足任何條直線都相交，任何條直線不共點，則這條直線將平面分成__________個部分．16．已知是過拋物線的焦點的直線與拋物線的交點，是坐標原點，且滿足，，則的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）實數m取什么值時，復數是：（1）實數；（2）純虛數；（3）表示復數z的點在復平面的第四象限.18．（12分）已知數列的前項和，通項公式，數列的通項公式為.（1）若，求數列的前項和及的值；（2）若，數列的前項和為，求、、的值，根據計算結果猜測關于的表達式，并用數學歸納法加以證明；（3）對任意正整數，若恒成立，求的取值范圍.19．（12分）某學校高三年級有學生1000名，經調查，其中750名同學經常參加體育鍛煉（稱為A類同學），另外250名同學不經常參加體育鍛煉（稱為B類同學），現用分層抽樣方法（按A類、B類分兩層）從該年級的學生中抽查100名同學．如果以身高達到165厘米作為達標的標準，對抽取的100名學生進行統計，得到以下列聯表：身高達標身高不達標總計積極參加體育鍛煉40不積極參加體育鍛煉15總計100（1）完成上表；（2）能否有犯錯率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關系？（的觀測值精確到0.001）．參考公式：，參考數據：P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82820．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結構能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；（2）設，當在同一水平面內時，求與平面所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個線段根據需要可以調節與底面成角的大小，且保持三個線段與底面成角相同，若，，問為何值時，的體積最大，并求出最大值．21．（12分）在進行一項擲骰子放球游戲中，規定：若擲出1點，甲盒中放一球；若擲出2點或3點，乙盒中放一球；若擲出4點或5點或6點，丙盒中放一球，前后共擲3次，設分別表示甲，乙，丙3個盒中的球數．(Ⅰ)求的概率；(Ⅱ)記求隨機變量的概率分布列和數學期望．22．（10分）已知函數（Ⅰ）若，求實數的取值范圍；（Ⅱ）若，判斷與的大小關系并證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．2、B【解析】

連接，根據長方體的性質和線面角的定義可知：是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用銳角三角函數知識可以求出的大小.【詳解】連接，在長方體中，顯然有平面ABCD，所以是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本題選B.本題考查了線面角的求法,考查了數學運算能力.3、B【解析】

根據題意，分析可得函數與的圖象都關于直線對稱，作出兩個函數圖象，分析其交點情況即可得到答案.【詳解】由題意，函數滿足可知，函數的圖象關于直線對稱，又函數為偶函數，所以函數的圖象關于軸對稱，由函數可知，函數的圖象關于直線對稱，畫出函數與的圖象如圖所示：設圖中四個交點的橫坐標為，由圖可知，，所以函數與的圖象所有交點的橫坐標之和為4.故選：B本題考查函數的奇偶性和對稱性、指數函數的圖象與性質；考查數形結合思想和運算求解能力；利用函數的奇偶性和對稱性作出函數圖象是求解本題的關鍵；屬于綜合型、難度大型試題.4、D【解析】

分別在后，上，左三個平面得到該四邊形的投影，求其面積和即可．【詳解】依題意，設四邊形D1FBE的四個頂點在后面，上面，左面的投影點分別為D'，F'，B'，E'，則四邊形D1FBE在上面，后面，左面的投影分別如上圖．所以在后面的投影的面積為S后=1×1=1，在上面的投影面積S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面積S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四邊形D1FBE所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=1．故選D．本題考查了正方體中四邊形的投影問題，考查空間想象能力．屬于中檔題．5、C【解析】

利用二項分布的數學期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性質可求出和的值.【詳解】，，.，，由期望和方差的性質可得，.故選：C.本題考查均值和方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．6、D【解析】

把給出的等式通過復數的乘除運算化簡后,直接利用共軛復數的定義即可得解.【詳解】,,.故選:D.本題考查了復數的代數形式的乘除運算,考查共扼復數,是基礎題.7、B【解析】設切點P(x0,y∴x8、A【解析】

直線為的準線，圓心在該拋物線上，且與直線相切，則圓心到準線的距離即為半徑，那么根據拋物線的定義可知定點坐標為拋物線焦點.【詳解】由題得，圓心在上，它到直線的距離為圓的半徑，為的準線，由拋物線的定義可知，圓心到準線的距離等于其到拋物線焦點的距離，故動圓C必過的定點為拋物線焦點，即點，故選A.本題考查拋物線的定義，屬于基礎題.9、A【解析】

根據相關系數的概念即可作出判斷.【詳解】∵這組樣本數據的相關系數為，∴這一組數據，，…線性相關，且是負相關，∴可排除D，B，C，故選A本題考查了相關系數，考查了正相關和負相關，考查了一組數據的完全相關性，是基礎的概念題．10、D【解析】

將作為基向量，其他向量用其表示，再計算得到答案.【詳解】設是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，故答案選D本題考查了向量的乘法，將作為基向量是解題的關鍵.11、B【解析】因為，所以，由正弦函數的單調性可得，即，也即，所以，應選答案B。點睛：解答本題的關鍵是將函數看做正弦函數，然后借助正弦函數的單調性與單調區間的關系，依據區間端點之間的大小關系建立不等式組，最后通過解不等式組使得問題巧妙獲解。12、A【解析】

將化為，根據二巷展開式展開后再根據余數的情況進行分析后可得所求．【詳解】由題意得，其中能被100整除，所以要使能被100整除，只需要能被100整除．結合題意可得，當時，能被100整除．故選A．整除問題是二項式定理中的應用問題，解答整除問題時要關注展開式的最后幾項，本題考查二項展開式的應用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由偶函數的性質直接求解即可【詳解】.故答案為本題考查函數的奇偶性，對數函數的運算，考查運算求解能力14、【解析】

求出導函數，在上解不等式可得的單調減區間．【詳解】，其中，令，則，故函數的單調減區間為，填．一般地，若在區間上可導，且，則在上為單調減函數；反之，若在區間上可導且為減函數，則．注意求單調區間前先確定函數的定義域．15、【解析】分析：根據幾何圖形，列出前面幾項，根據歸納推理和數列中的累加法即可得到結果。詳解：1條直線將平面分成2個部分，即2條直線將平面分成4個部分，即3條直線將平面分為7個部分，即4條直線將平面分為11個部分，即，所以….根據累加法得所以點睛：本題綜合考查了數列的累加法、歸納推理的綜合應用。在解題過程中，應用歸納推理是解決較難題目的一種思路和方法，通過分析具體項，找到一般規律，再分析解決問題，屬于中檔題。16、【解析】

先由題意得到直線的斜率存在，不妨設直線的斜率，過點作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，過點作于點，根據題中條件求出拋物線方程，聯立直線與拋物線方程，結合韋達定理與題中條件，求出交點橫坐標，再由弦長公式，即可求出結果.【詳解】由題意，易知直線的斜率存在，則由拋物線的對稱性，不妨設直線的斜率，過點作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，過點作于點，則由，可得，即，則，所以點為的中點，則，所以，則，解得，則直線的方程為，由得，則，由，得，即，結合，解得，則.故答案為本題主要考查拋物線中的弦長問題，熟記拋物線的性質，以及直線與拋物線位置關系即可，屬于常考題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解析】

由復數的解析式可得，（1）當虛部等于零時，復數為實數；（2）當虛部不等于零且實部為零時，復數為純虛數；（3）當實部大于零且虛部小于零時，復數在復平面內對應的點位于第四象限．【詳解】解：復數，（1）當，即時，復數為實數．（2）當，且時，即時，復數為純虛數．（3）當，且時，即時，表示復數的點在復平面的第四象限．本題主要考查復數的基本概念，屬于基礎題．18、（1），；（2），，，；證明見解析（3）.【解析】

（1）根據等比數列的求和公式和極限的定義即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表達式，再根據數學歸納法的證題步驟進行證明。（3）問題轉化為，對于任意正整數恒成立，設，利用導數求出函數的最值即可求出的范圍。【詳解】，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：當時，成立；：假設時成立，則，那么當時，即時，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，則，即，對于任意正整數恒成立，設，，令，解得，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，，，，，，，本題考查了等比數列的求和公式、取極限、數學歸納法、導數求函數的最值，綜合性比較強；在求參數的取值范圍時可采用“分離參數法”，構造新函數，研究函數的最值。19、(1)身高達標身高不達標總計積極參加體育鍛煉403575不積極參加體育鍛煉101525總計5050100(2)不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關系．【解析】

（1）由分層抽樣的計算方法可求得積極參加鍛煉與不積極參加鍛煉的人數，填入表格中，根據表格中的總計及各項值求出其它值即可；（2）由公式計算出，與參考數據表格中3.841作比較，若小于3.841則不可以，若大于3.841則可以.【詳解】（Ⅰ）填寫列聯表如下：身高達標身高不達標總計積極參加體育鍛煉403575不積極參加體育鍛煉101525總計5050100（Ⅱ）K2的觀測值為≈1.333＜3.841.所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關系．本題考查獨立性檢驗，根據抽樣方法進行計算填表，將數值代入公式求出，注意保留三位小數，注意觀測值與概率之間的大小關系與趨勢.20、（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當時，最大體積為：；【解析】

（1）根據線段等長首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點均有正三棱錐結論出現，可知四面體棱長均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設正四面體棱長為，利用表示出各邊，利用勾股定理構造方程可求得，從而可求得，進而得到結果；（3）取中點，利用三線合一性質可知，從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高，根據三棱錐體積公式可將體積表示為關于的函數，利用導數求得函數的最大值，并確定此時的取值，從而得到結果.【詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線段等長，即到四面體四個頂點距離相等為四面體外接球的球心又底面在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長均相等為正四面體（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心設中心為，則平面，如下圖所示：即為與平面所成角設正四面體棱長為則，在中，，解得：即與平面所成角為：（3）取中點，連接，，為中點且，令