中學生標準學術能力診斷2025年高二數學第二學期期末聯考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙等人在南沙聚會后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）．A．種 B．種 C．種 D．種2．已知各項不為的等差數列，滿足，數列是等比數列，且，則（）A． B． C． D．3．如圖，和都是圓內接正三角形，且，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用表示事件“豆子落在內”，表示事件“豆子落在內”，則（）A． B． C． D．4．“中國夢”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種5．以為焦點的拋物線的標準方程是（）A． B． C． D．6．在市高二下學期期中考試中，理科學生的數學成績，已知，則從全市理科生中任選一名學生，他的數學成績小于110分的概率為（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.857．若是極坐標系中的一點，則四個點中與點重合的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．已知函數的導數是，若，都有成立，則()A． B．C． D．9．某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統和，系統和系統在任意時刻發生故障的概率分別為和，若在任意時刻恰有一個系統不發生故障的概率為，則（）A． B． C． D．10．已知,,,則實數的大小關系是()A． B． C． D．11．設A、B是非空集合，定義：且.已知，，則等于（）A． B． C． D．12．設，則的展開式中的常數項為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設每門高射炮命中飛機的概率為，且每一門高射炮是否命中飛機是獨立的，若有一敵機來犯，則需要______門高射炮射擊，才能以至少的概率命中它．14．已知變量滿足約束條件，則目標函數的最小值為__________．15．在極坐標系中，已知兩點，，則線段的長度為__________.16．函數，當時，恒成立，求．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題:函數對任意均有;命題在區間上恒成立.（1）如果命題為真命題，求實數的值或取值范圍；（2）命題“”為真命題，“”為假命題，求實數的取值范圍.18．（12分）為了響應黨的十九大所提出的教育教學改革，某校啟動了數學教學方法的探索,學校將髙一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班，每班40人，甲班按原有傳統模式教學，乙班實施自主學習模式.經過一年的教學實驗，將甲、乙兩個班學生一年來的數學成績取平均數，兩個班學生的平均成績均在[50，100]，按照區間[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]進行分組,繪制成如下頻率分布直方圖，規定不低于80分(百分制）為優秀，，(I)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”〔Ⅱ）從乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分數段中,按分層抽樣隨機抽取7名學生座談，從中選三位同學發言,記來自[80，90)發言的人數為隨機變量x，求x的分布列和期望.19．（12分）已知函數.（1）若函數在處的切線方程為，求的值；（2）若函數無零點，求的取值范圍.20．（12分）已知向量，設函數（1）求的最小正周期（2）求函數的單調遞減區間（3）求在上的最大值和最小值21．（12分）總書記在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態文明發展理念，某城市選用某種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數據圖如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數的散點圖如下(1)請根據散點圖判斷，與中哪一個更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程，并預測第144天這株幼苗的高度(結果保留1位小數).附：，參考數據：140285628322．（10分）某校高二理科1班共有50名學生參加學業水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優秀，其中語文成績近似服從正態分布，數學成績的頻率分布直方圖如圖.（1）這50名學生中本次考試語文、數學成績優秀的大約各有多少人？（2）如果語文和數學兩科成績都優秀的共有4人，從語文優秀或數學優秀的這些同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都優秀的有X人，求X的分布列和數學期望；（3）根據（1）（2）的數據，是否有99%以上的把握認為語文成績優秀的同學，數學成績也優秀？語文優秀語文不優秀合計數學優秀數學不優秀合計附：①若，則，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意利用捆綁法求解，甲、乙兩人必須相鄰的方法數為種．選．2、B【解析】根據等差數列的性質得：，變為：，解得（舍去），所以，因為數列是等比數列，所以，故選B.3、D【解析】如圖所示，作三條輔助線，根據已知條件，這些小三角形全等，包含個小三角形，同時又在內的小三角形共有個，所以，故選D.4、C【解析】從其他5個字母中任取4個,然后與“”進行全排列,共有,故選B.5、A【解析】

由題意和拋物線的性質判斷出拋物線的開口方向，并求出的值，即可寫出拋物線的標準方程．【詳解】因為拋物線的焦點坐標是，

所以拋物線開口向右，且=2，

則拋物線的標準方程.

故選：A．本題考查拋物線的標準方程以及性質，屬于基礎題．6、D【解析】

根據正態密度曲線的對稱性得出，于是可計算出，于此可得出結果．【詳解】由于，由正態密度曲線的對稱性可得，因此，，故選D.本題考查正態分布在指定區間上的概率的計算，解題的關鍵在于利用正態密度曲線的對稱性將所求概率轉化為已知區間概率進行計算，屬于基礎題．7、C【解析】

分別將各點化為直角坐標即可判斷【詳解】P（2，）化直角坐標為，即為同理化直角坐標分別為則與點P重合的點有3個．故選：C．本題考查了極坐標與直角坐標互化公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8、D【解析】分析：由題意構造函數，結合函數的單調性整理計算即可求得最終結果.詳解：令，則：，由，都有成立，可得在區間內恒成立，即函數是區間內單調遞減，據此可得：，即，則.本題選擇D選項.點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.9、B【解析】試題分析：記“系統發生故障、系統發生故障”分別為事件、，“任意時刻恰有一個系統不發生故障”為事件，則，解得，故選B．考點：對立事件與獨立事件的概率．10、A【解析】

容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，從而可得出a，b，c的大小關系．【詳解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；∴a＞b＞c．故選：A．本題考查指數函數和對數函數的單調性，熟記單調性是關鍵，是基礎題11、A【解析】求出集合中的函數的定義域得到：，即可化為或解得，即，則故選12、B【解析】

利用定積分的知識求解出，從而可列出展開式的通項，由求得，代入通項公式求得常數項.【詳解】展開式通項公式為：令，解得：，即常數項為：本題正確選項：本題考查二項式定理中的指定項系數的求解問題，涉及到簡單的定積分的求解，關鍵是能夠熟練掌握二項展開式的通項公式的形式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設需要門高射炮，由題意得出，解出的取值范圍，可得出正整數的最小值.【詳解】設需要門高射炮，則命不中的概率為，由題意得出，得，解得，而，因此，至少需要門高射炮.故答案為：.本題考查獨立事件概率乘法公式的應用，在涉及“至少”問題時，可以利用對立事件的概率公式來進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.14、【解析】分析：作出不等式對應的平面區域，利用的幾何意義，即可求解．詳解：作出不等式組對應的平面區域如圖：

由，得表示，斜率為-1縱截距為z的一組平行直線，

平移直線，當直線經過點B時，直線的截距最小，此時最小，

由，解得，

此時．

故答案為.點睛：本題主要考查線性規劃的基本應用，利用z的幾何意義是解決線性規劃問題的關鍵，注意利用數形結合來解決．15、4【解析】

可將點P和點Q先化為直角坐標系下的點，從而利用距離公式求解.【詳解】根據，可將化為直角坐標點為，將化為直角坐標點為，從而.本題主要考查極坐標點和直角坐標點的互化，距離公式，難度不大.16、【解析】試題分析：由題意得，，因此，從而，考點：二次函數性質三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據為真命題先判斷出的單調性，然后利用分析的取值或取值范圍；（2）先分別求解出為真時的取值范圍，然后根據含邏輯聯結詞的復合命題的真假判斷出的真假，從而求解出的取值范圍.【詳解】（1）在上單調遞增則對恒成立∴；（2）在區間上恒成立，即在區間上恒成立，命題為真命題：即，所以，由命題“”為真命題，“”為假命題知一真一假若真假，若假真，則綜上所述，.本題考查利用導數研究函數的單調性以及根據含邏輯聯結詞的復合命題真假求解參數范圍，其中涉及到用分離參數法解決恒成立問題，屬于綜合型問題，難度一般.（1）注意定義法判斷函數單調性的轉換：在定義域內單調遞增，在定義域內單調遞減；（2）根據含邏輯聯結詞的復合命題的真假求解參數范圍時，注意先判斷各命題的真假.18、(1)列聯表見解析，有90%以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”.(2)分布列見解析，【解析】分析：（1）先根據數據填表，再代入卡方公式求，最后與參考數據作比較得結論，（2）先根據分層抽樣得抽取人數，再確定隨機變量取法，利用組合數確定對應概率，列表可得分布列，最后根據數學期望公式求期望.詳解：（1)依題意得有90%以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”.（2）從乙班分數段中抽人數分別為2、3、2.依題意隨機變量的所有可能取值為點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值.19、（1）a=2；（2）.【解析】

（1）求得的導數，可得切線的斜率，由切線的方程可得，的方程，進而得到；（2）求得的導數，討論，，，求得單調性和極值，最值，結合圖象可得所求范圍．【詳解】（1）函數的導數為，由在處的切線方程為，可得，，解得，；（2）函數的導數為，當，由可得，即在遞增，有且只有一個零點；當時，由，遞減，，遞增，可得處取得極大值，且為最大值，由題意可得，解得，綜上可得時，函數無零點．本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調性、極值和最值，考查方程思想和分類討論思想，考查運算能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）；（3）最大值為1，最小值為【解析】

（1）先根據向量數量積坐標表示得，再根據二倍角公式以及配角公式得，最后根據正弦函數性質求周期，（2）根據正弦函數單調性得，解得結果，（3）先根據自變量范圍得，再根據得最值.【詳解】解：（1）由題意得三角恒等變換的綜合應用主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通過變換把函數化為的形式再借助三角函數圖象研究性質，解題時注意觀察角、函數名、結構等特征．21、(1)更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型；(2)；預測第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【解析】

（1）根據散點圖，可直接判斷出結果；（2）先令，根據題中數據，得到與的數據對，根據新的數據對，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回歸方程，從而可求出預測值.【詳解】解：(1)根據散點圖，更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型；(2)令，則構造新的成對數據，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計算，，.通過上表計算可得：因此∵回歸直線過點(，)，∴，故y關于的回歸直