深圳市第二高級中學2024-2025學年數學高二下期末學業水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線的參數方程為，則曲線是（）A．線段 B．雙曲線的一支 C．圓弧 D．射線2．如圖，分別為棱長為的正方體的棱的中點，點分別為面對角線和棱上的動點，則下列關于四面體的體積正確的是（）A．該四面體體積有最大值，也有最小值 B．該四面體體積為定值C．該四面體體積只有最小值 D．該四面體體積只有最大值3．下列關于回歸分析的說法中，正確結論的個數為（）（1）回歸直線必過樣本點中；（2）殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精度越高；（3）殘差平方和越小的模型，擬合效果越好；（4）用相關指數來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．14．等比數列的前n項和，前2n項和，前3n項的和分別為A，B，C，則A． B．C． D．5．若復數滿足，則的虛部為A． B． C．1 D．6．在橢圓內，通過點，且被這點平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．7．若且；則的展開式的系數是（）A． B． C． D．8．設復數z=1+i（i是虛數單位），則復數z+1A．12 B．12i C．9．函數f(x)=|x|-ln|x|，若[f(x)]2-mf(x)+3=0有A．(23,4) B．(2,4) C．(2,210．已知函數在區間上為單調函數，且，則函數的解析式為（）A． B．C． D．11．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2C．2 D．312．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線斜率為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，系統地總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示（網格紙上小正方形的邊長為1），則該“陽馬”外接球表面積為________14．一個豎直平面內的多邊形，用斜二測畫法得到的水平放置的直觀圖是一個邊長為的正方形，該正方形有一組對邊是水平的，則原多邊形的面積是______．15．已知函數f（x）＝x3﹣3x+1，則函數y＝f（x）的單調遞減區間是_____16．甲、乙、丙三位同學被問到是否去過三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市；乙說：我沒去過城市.丙說：我們三個去過同一城市.由此可判斷乙去過的城市為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中,角所對的邊分別為且.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形,且,求的取值范圍.18．（12分）已知函數.（1）求；（2）求的極值點.19．（12分）已知的內角A的大小為，面積為.(1)若，求的另外兩條邊長；(2)設O為的外心，當時，求的值.20．（12分）某啤酒廠要將一批鮮啤酒用汽車從所在城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，運費由廠家承擔．若廠家恰能在約定日期（×月×日）將啤酒送到，則城市乙的銷售商一次性支付給廠家40萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給廠家2萬；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給廠家2萬元．為保證啤酒新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發，且只能選擇其中的一條公路運送．已知下表內的信息：汽車行駛路線在不堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）在堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）堵車的概率運費（萬元）公路1142公路2231（1）記汽車選擇公路1運送啤酒時廠家獲得的毛收入為X（單位：萬元），求X的分布列和EX；（2）若，，選擇哪條公路運送啤酒廠家獲得的毛收人更多？（注：毛收入=銷售商支付給廠家的費用-運費）．21．（12分）已知函數.（1）若不等式在上有解，求的取值范圍；（2）若對任意的均成立，求的最小值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線、，其中直線交橢圓于兩點，直線交直線于點，求證：直線平分線段.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由代入消去參數t得又所以表示線段。故選A2、D【解析】

易證，從而可推出面積為定值，則只需研究點到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【詳解】分別為棱長為的正方體的棱的中點，所以，又，故點到的距離為定值，則面積為定值，當點與點重合時，為平面構不成四面體，故只能無限接近點，當點與點重合時，有最大值，體積有最值，所以四面體體積有最大值，無最小值故選D本題主要考查了四面體體積的判斷，運動中的定量與變量的分析，空間想象與轉化能力，屬于中檔題3、B【解析】

利用回歸分析的相關知識逐一判斷即可【詳解】回歸直線必過樣本點中，故（1）正確殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越窄，則回歸方程的預報精度越高，故（2）錯誤殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故（3）正確用相關指數來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故（4）正確所以正確結論的個數為3故選：B本題考查的是回歸分析的相關知識，較簡單.4、D【解析】分析：由等比數列的性質，可知其第一個項和，第二個項和，第三個項和仍然構成等比數列，化簡即可得結果.詳解：由等比數列的性質可知，等比數列的第一個項和，第二個項和，第三個項和仍然構成等比數列，則有構成等比數列，，即，，故選D.點睛：本題考查了等比數列的性質，考查了等比數列前項和，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，是基礎題.5、A【解析】，虛部為．【考點】復數的運算與復數的定義．6、A【解析】試題分析：設以點為中點的弦的端點分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點為中點的弦所在的直線的斜率為，由直線的點斜式方程可得，即，故選A.考點：直線與橢圓的位置關系.7、C【解析】

先根據求出，再代入，直接根據的展開式的第項為，即可求出展開式的系數。【詳解】因為且所以展開式的第項為展開式中的系數為故選C本題考查二項式展開式，屬于基礎題。8、A【解析】由z=1+i，得z+1z=1+i+9、A【解析】

方程有8個不相等的實數根指存在8個不同x的值；根據函數f(x)的圖象，可知方程[f(x)]2-mf(x)+3=0必存在2個大于1【詳解】∵f(x)=∵f(-x)=f(x)，∴函數f(x)為偶函數，利用導數可畫出其函數圖象（如圖所示），若[f(x)]2-mf(x)+3=0有8個不相等的實數根?關于∴Δ=與復合函數有關的函數或方程問題，要會運用整體思想看問題；本題就是把所求方程看成是關于f(x)的一元二次方程，再利用二次函數根的分布求m的范圍.10、C【解析】

由函數在區間上為單調函數，得周期，，得出圖像關于對稱，可求出，，得出函數的對稱軸，結合對稱中心和周期的范圍，求出周期，即可求解.【詳解】設的最小正周期為，在區間上具有單調性，則，即，由知，有對稱中心，所以.由，且，所以有對稱軸.故.解得，于是，解得，所以.故選：C本題考查正弦函數圖象的對稱性、單調性和周期性及其求法，屬于中檔題.11、C【解析】

根據向量三角形法則求出t，再求出向量的數量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．本題考點為平面向量的數量積，側重基礎知識和基本技能，難度不大．12、D【解析】

由導數的幾何意義，結合題設，找到倍數關系，即得解.【詳解】由導數的幾何意義，可知：故選：D本題考查了導數的幾何意義和導數的定義，考查了學生概念理解，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,.求出PC長度,可得四棱錐外接球的半徑,代入球的表面積公式即可求得.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖,該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,,該幾何體外接球的半徑為.該“陽馬”外接球表面積為.故答案為:.本題考查三視圖還原幾何體,考查幾何體外接球的表面積,難度較易.14、【解析】

根據斜二測畫法可知，原圖形中的高在直觀圖中變為原來的，直觀圖中的高變為原高的，原來的平面圖形與直觀圖的面積比是：1，計算即可．【詳解】該多邊形的直觀圖是一個邊長為的正方形，正方形的面積為，原多邊形的面積是．故答案為．本題主要考查了斜二測畫法，原圖形與直觀圖面積的關系，屬于中檔題．15、【解析】

求得函數的導數，利用導數的符號，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數，則，令，即，解得，所以函數的單調遞減區間為，故答案為：．本題主要考查了利用研究函數的單調性，求解函數的單調區間，其中解答中熟記導數與原函數的關系式解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．16、A【解析】試題分析：由乙說：我沒去過C城市，則乙可能去過A城市或B城市，但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市，則乙只能是去過A，B中的任一個，再由丙說：我們三人去過同一城市，則由此可判斷乙去過的城市為A考點：進行簡單的合情推理三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關系時，一般全部轉化為角的關系，或全部轉化為邊的關系.題中若出現邊的一次式一般采用正弦定理，出現邊的二次式一般采用余弦定理，應用正弦、余弦定理時，注意公式變形的應用，解決三角形問題時，注意角的限制范圍;(2)在三角形中，注意隱含條件，（3）注意銳角三角形的各角都是銳角.（4）把邊的關系轉化成角，對于求邊的取值范圍很有幫助試題解析：（1）由，得，所以，則，由，。（2）由（1）得，即，又為銳角三角形，故從而．由，所以所以,所以因為所以即考點：余弦定理的變形及化歸思想18、（1）；（2）極大值點為，極小值點為.【解析】

（1）求出，將代入即可．（2）先在定義域內求出的值，再討論滿足的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值；【詳解】解：（1）因為，所以.（2）的零點為或，當時，，所以在上單調遞減；當時，，在，上單調遞增，所以的極大值點為，極小值點為.本題主要考查了導數計算，利用導數研究函數的極值，以及函數的零點等有關基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．19、（1）,；（2）或【解析】

（1）由三角形面積公式得到AC邊，再由余弦定理即可得出BC邊；（2）由（1）可知，利用余弦定理可求，設的中點為，則，結合為的外心，可得，從而可求得．【詳解】（1）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，于是，所以因為，所以.由余弦定理得.（2）由得，即，解得或4.設的中點為D，則，因為O為的外心，所以，于是.所以當時，，；當時，，.本題主要考查三角形的面積公式及余弦定理的應用以及向量的基本運算和性質的應用．屬于中檔題.20、（1）分布列見解析，；（2）選擇公路2運送啤酒有可能讓啤酒廠獲得的毛收入更多．【解析】

（1）若汽車走公路1，不堵車時啤酒廠獲得的毛收人（萬元），堵車時啤酒廠獲得的毛收入（萬元），然后列出分布列和求出（2）當時，由（1）知（萬元），然后求出，比較二者的大小即可得出結論.【詳解】解：（1）若汽車走公路1，不堵車時啤酒廠獲得的毛收人（萬元），堵車時啤酒廠獲得的毛收入（萬元），所以汽車走公路1時啤酒廠獲得的毛收入X的分布列為4034∴．（2）當時，由（1）知（萬元），當時，設汽車走公路2時啤酒廠獲得的毛收入為Y，則不堵車時啤酒廠獲得的毛收入9（萬元），堵車時啤酒廠獲得的毛收入（萬元），∴汽車走公路2時啤酒廠獲得的毛收入Y的分布列為3937∴（萬元），由得選擇公路2運送啤酒有可能讓啤酒廠獲得的毛收入更多．本題考查的是隨機變量的分布列和期望，較簡單，屬于基礎題；由于文字太多，解答本題的關鍵是讀懂題意.21、（1）；（2）.【解析】

（1）先求的最大值，然后通過不等式尋找的范圍．（2）由（1）知當時，,這樣可得，于是由且，得，可放大為，放縮的目的是為了和可求．因此的范圍可得．【詳解】（1），由定理可知，函數的單調遞增區間為，遞減區間為.故，由題意可知，當，解得，故；當，由函數的單調性，可知在恒單調增，且恒大于零，故無解；綜上：；(2)當時，,,，且，，，，的最小值為.本題考查用導數研究證明不等式，研究不等式恒成立問題．解題中一要求有較高的轉化與化歸能力，二要求有較高的運算求解能力．第（1）小題中在解不等式時還要用到分類討論的思想，第（2）小題用到放縮法，而且這里的放縮的理論根據就是由第（1）小題中函數的性質確定的，發現問題解決問題的能力在這里要求較高，本題難度較大．22、(1)(2)見證明【解析】

（1）利用，得到，然后代入點即可求解（2）設直線，以斜率為核心參數，與橢圓聯立方程，把兩點全部用參數表示，得出的中點坐標為，然后再求出直線的方程，代入的中點即可證明成立【詳解】（1）由得，所以