長春市重點中學2025屆數學高二下期末聯考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于兩個平面和兩條直線，下列命題中真命題是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．若a，b為實數，則“”是“”的A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分必要條件3．設6人站成一排，甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數為()A．720 B．144 C．576 D．3244．若集合，，則有（）A． B． C． D．5．若是兩個非零向量，且，則與的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．等差數列的前項和是，且，，則（）A．39 B．91 C．48 D．517．已知等比數列的各項均為正數，前項和為，若，則A． B． C． D．8．曲線在點處的切線方程是

A． B．C． D．9．已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為A． B． C． D．10．古有蘇秦、張儀唇槍舌劍馳騁于亂世之秋，今看我一中學子論天、論地、指點江山．現在高二某班需從甲、乙、丙、丁、戊五位同學中，選出四位同學組成重慶一中“口才季”中的一個辯論隊，根據他們的文化、思維水平，分別擔任一辯、二辯、三辯、四辯，其中四辯必須由甲或乙擔任，而丙與丁不能擔任一辯，則不同組隊方式有（）A．14種 B．種 C．種 D．24種11．下列函數中，既是偶函數又在上單調遞增的函數是（）A． B． C． D．12．若冪函數的圖象經過點，則其解析式為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》中，用圖①的三角形形象地表示了二項式系數規律，俗稱“楊輝三角形”．現將楊輝三角形中的奇數換成，偶數換成，得到圖②所示的由數字和組成的三角形數表，由上往下數，記第行各數字的和為，如，，，，……，則______14．若復數z滿足|z－i|≤(i為虛數單位)，則z在復平面內所對應的圖形的面積為_____________．15．在極坐標系中，點到直線的距離為________.16．圓的圓心到直線的距離__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.(1)判斷的奇偶性并予以證明；(2)求不等式的解集.18．（12分）已知數列的前項和滿足，且。（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和。19．（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產卵數和平均溫度有關，現收集了以往某地的7組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.平均溫度21232527293133平均產卵數/個7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根據散點圖判斷，與（其中為自然對數的底數）哪一個更適宜作為平均產卵數關于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數據，求出關于的回歸方程.（計算結果精確到0.01）（2）根據以往統計，該地每年平均溫度達到以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為.記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應的概率.附：回歸方程中，，.參考數據52151771371781.33.620．（12分）設，已知，為關于的二次方程兩個不同的虛根，（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，，求實數，的值.21．（12分）已知函數f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．22．（10分）已知函數，曲線在點處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數的極大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據線面平行垂直的位置關系判斷．【詳解】A中可能在內，A錯；B中也可能在內，B錯；與可能平行，C錯；，則或，若，則由得，若，則內有直線，而易知，從而，D正確．故選D．本題考查線面平行與垂直的關系，在說明一個命題是錯誤時可舉一反例．說明命題是正確時必須證明．2、B【解析】

根據充分條件和必要條件的概念，即可判斷出結果.【詳解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選B本題主要考查充分條件與必要條件的概念，熟記概念即可，屬于基礎題型.3、C【解析】

先求出6人站成一排，有多少種排法，再計算把甲、乙、丙3個人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有多少種排法，這樣就可以用減法求出甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數.【詳解】求出6人站成一排，有種排法，把甲、乙、丙3個人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有種排法，因此甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數為，故本題選C.本題考查了全排列、捆綁法，考查了數學運算能力.4、B【解析】分析：先分別求出集合M和N，由此能求出M和N的關系.詳解：，，故.故選：B.點睛：本題考查兩個集合的包含關系的判斷，考查指數函數、一元二次函數等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題.5、A【解析】

畫出圖像：根據計算夾角為，再通過夾角公式計算與的夾角.【詳解】形成一個等邊三角形，如圖形成一個菱形.與的夾角為故答案選A本題考查了向量的加減和夾角，通過圖形可以簡化運算.6、B【解析】解：由題意結合等差數列的通項公式有：，解得：，數列的前13項和：.本題選擇B選項.7、C【解析】由得，，解得，從而，故選C.8、A【解析】

求出函數的導數，求出切線方程的斜率，即可得到切線方程．【詳解】曲線，解得y′=ex+xex，所以在點(2,1)處切線的斜率為1．曲線在點（2，1）處的切線方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=2．故選A．本題考查曲線的切線方程的求法，考查計算能力9、D【解析】分析：設，則根據平面幾何知識可求，再結合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的常考知識點，在解決這類問題時經常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.10、D【解析】五人選四人有種選擇方法，分類討論：若所選四人為甲乙丙丁，有種；若所選四人為甲乙丙戊，有種；若所選四人為甲乙丁戊，有種；若所選四人為甲丙丁戊，有種；若所選四人為乙丙丁戊，有種；由加法原理：不同組隊方式有種.11、D【解析】分析：分別判斷函數的奇偶性和單調性，即可得到結論．詳解：A．函數為奇函數，不滿足條件．B．y=﹣x2+1是偶函數，當x＞0時，函數為減函數，不滿足條件．C.是偶函數又在上單調遞減，故不正確.D．y=|x|+1是偶函數，當x＞0時，y=x+1是增函數，滿足條件．故選D．點睛：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，結合函數奇偶性和單調性的定義和函數的性質是解決本題的關鍵．12、C【解析】

設冪函數，代入點，即可求得解析式.【詳解】設冪函數，代入點，，解得，.故選C.本題考查了冪函數解析式的求法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、64.【解析】

將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，可得第1次全行的數都為1的是第2行，第2次全行的數都為1的是第4行，…，由此可知全奇數的行出現在2n的行數，即第n次全行的數都為1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，問題得以解決．【詳解】解：由題意，將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，可得第1次全行的數都為1的是第2行，第2次全行的數都為1的是第4行，…，由此可知全奇數的行出現在2n的行數，即第n次全行的數都為1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4＝31+2，∴S126＝2×31+2＝64，故答案為：64點睛：本題考查歸納推理，屬中檔題.14、2π【解析】分析：由的幾何意義可知，點的軌跡是以為圓心，為半徑的實心圓，由圓的面積公式可得結論.詳解：，在復平面內對應點的的軌跡是以為圓心，為半徑的實心圓，該圓的面積為，故答案為.點睛：復數的模的幾何意義是復平面內兩點間的距離，所以若，則表示點與點的距離，表示以為圓心，以為半徑的圓.15、3【解析】

將A和直線化成直角坐標系下點和方程，再利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】由已知，在直角坐標系下，，直線方程為，所以A到直線的距離為.故答案為：3本題考查極坐標方程與普通方程的互化，點到直線的距離，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.16、1【解析】

由題意首先確定圓心坐標，然后利用點到直線距離公式可得圓心到直線的距離.【詳解】圓的方程即：，則圓心坐標為，圓心到直線的距離.故答案為：1．本題主要考查由圓的方程確定圓心的方法，點到直線距離公式的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)奇函數，證明見解析.(2).【解析】分析：(1)先求定義域，判斷是否關于原點對稱，再研究與關系，根據奇偶性定義判斷，(2)先根據對數函數單調性化簡不等式，再解分式不等式得結果.詳解：（1）要使函數有意義．則，解得.故所求函數的定義域為．由（1）知的定義域為，設，則．且，故為奇函數．(2)因為在定義域內是增函數，因為，所以，解得．所以不等式的解集是．點睛：判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數)是否成立．18、(1)(2)【解析】

（1）利用，求得數列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得數列的前項和.【詳解】解：（1）當時，，∵，∴，當時，，∴，∵，∴，∴，∴是以為首項，為公差的等差數列，∴；（2）由（1）得，∴，∴。本小題主要考查利用求數列的通項公式，考查裂項求和法，屬于中檔題.19、（1）；（2）當時，.【解析】

（1）根據散點圖判斷更適宜作為關于的回歸方程類型；對兩邊取自然對數，求出回歸方程，再化為y關于x的回歸方程；（2）由對其求對數，利用導數判斷函數單調性，求出函數的最值以及對應的值.【詳解】解：（1）由散點圖可以判斷，適宜作為卵數關于溫度的回歸方程類型.對兩邊取自然對數，得，由數據得，，所以，，所以關于的線性回歸方程為，關于的回歸方程為.（2）由得，因為，令得，解得；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以有唯一的極大值為，也是最大值；所以當時，.本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了概率的計算與應用問題，屬于中檔題.20、(1)；(2),【解析】

(1)由題可得二次函數的判別式小于0,列式求解即可.

(2)利用韋達定理代入可求得的關系,再化簡利用韋達定理表示,換成的形式進行求解即可.【詳解】(1)由題二次函數的判別式小于0,故,解得.

(2)由為關于的二次方程兩個不同的虛根可得,,又則,得,因為,故,又,故故,本題主要考查了一元二次方程的復數根的性質,注意的意義為的模長為2,故.屬于中等題型.21、(1){x|x≥4或x≤1}；(2)[－3，0].【解析】試題分析：（1）解絕對值不等式首先分情況去掉絕對值不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集即得所求．（2）原命題等價于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍試題解析：（1）當a＝－3時，f（x）＝當x≤2時，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；當2＜x＜3時，f（x）≥3無解；當x≥3時，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f（x）≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}．6分（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.當x∈[1，2]時，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由條件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故滿足條件的實數a的取值范圍為[－3，0]．考點：絕對值不等式的解法；帶絕對值的函數22、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【