20232024學年蘇教版數學六年級寒假學習精講練講義專題05圓錐的體積1.推導出圓錐體積的計算公式。2.會運用圓錐的體積計算公式計算圓錐的體積。3.培養觀察、比較、分析、綜合的能力以及初步的空間觀念。知識點：圓錐體積的計算方法根據書本上的實驗可以得到結論：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐的3倍，或者說圓錐的體積是圓柱的三分之一。用字母表示為V圓柱=3V圓錐或者V圓錐=1/3V圓柱。相關公式：只需要在圓柱的相關公式前面乘以三分之一。①已知半徑和高，V圓錐=1/3πr2h②已知直徑和高，V圓錐=1/3π(d÷2)2h③已知周長和高，V圓錐=1/3π(C÷2π)2h知識點2：圓柱和圓錐的橫截面理解掌握：★圓柱橫截面的分割方法：①按底面的直徑分割，這樣分割的橫截面是長方形或者是正方形，如果橫截面是正方形說明圓柱的底面直徑和高相等。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。圓錐橫截面的分割方法：①按圓錐的高分割，這樣分割的橫截面是等腰三角形。②按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。知識點01：圓錐的體積【典例講解】（2023?成華區）如圖，長方形硬紙片長15cm，寬5cm。以長邊所在直線為軸旋轉一周，請你想象旋轉后所形成的圖形，再從下面兩個問題中任選一個問題解答：①旋轉后形成的圖形，它的底面周長是多少？②把旋轉后形成的圖形，削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是多少？【思路點撥】①旋轉后形成的圖形是圓柱，圓柱底面半徑是5cm，高是15cm，底面周長是2×3.14×5＝31.4（5cm），據此解答。【規范解答】解：我選擇①題解答。（答案不唯一）2×3.14×5＝3.14×10＝31.4（cm）答：它的底面周長是31.4cm。【考點評析】本題考查的是圓柱和圓錐的底面周長和體積，熟記公式是解答關鍵。【變式訓練11】（2023秋?哈爾濱期末）下列說法：①把化成百分數是1.25%。②比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數（0除外），比值不變。③等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積等于圓柱體積的。④一件商品進價600元，商場先按進價提價10%，然后再降價10%銷售，商場不賠不賺。其中結論正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【變式訓練12】（2023?錦州）一個圓錐體和一個圓柱體的底面半徑之比是3：2，高之比是2：3，則它們體積之比是（）A．1：2 B．4：9 C．2：1 D．3：2【變式訓練13】（2023?湘陰縣）麗麗在家中找到一個底面直徑為20厘米的圓柱形玻璃杯，在杯中裝了一部分水，然后在水中放入一個底面直徑為8厘米、高為12厘米的圓錐形鉛錘，之后又將鉛錘從水中取出。她運用學習過的知識算出了取出鉛錘后水下降的高度，你知道水下降了多少厘米嗎？【變式訓練14】（2023?昆明）計算下圖的體積。知識點02：組合圖形的體積【典例講解】（2023春?寧鄉市月考）如圖所示，在密閉的玻璃容器（圓柱部分的高大于10厘米）中裝有一些水，水面到底部的高度是10厘米，如果把這個容器倒過來，那么水面到底部的高度是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．10【思路點撥】因為等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以當圓柱與圓錐的體積相等，底面積也相等時，圓柱的高是圓錐高的，據此可以求出圓錐容器中的水倒入圓柱形容器中的水深，再加上原來圓柱形容器的水深即可。【規范解答】解：10﹣6＝4（厘米）4+6×＝4+2＝6（厘米）答：如果把這個容器倒過來，那么水面到底部的高度是6厘米。故選：B。【考點評析】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關系及應用。【變式訓練21】（2023春?雁江區期中）如圖①是一個直立于水平面的幾何體（下底面是圓，單位：cm），將這樣三個相同幾何體拼成圖②所示的新幾何體，則該幾何體體積是cm3？【變式訓練22】（2023?棗強縣）求如圖形的體積。【變式訓練23】（2023?市南區）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，圖1是一種木制玩具陀螺，可以看作是一個近似的圓錐和圓柱組合起來的立體圖形。玩具陀螺中底面直徑和總高度的比約是1：1.2，這樣的陀螺轉起來更穩定。圖2是這個玩具陀螺的直觀圖，其中B、C分別是上、下底面的圓心，并且AC：AB＝3：1。制作這個陀螺需要多少立方厘米的木料？【變式訓練24】（2023?黃州區）把一個棱長是6分米的正方體木料削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方分米？一．選擇題（共4小題）1．（2023?北票市）一個圓錐的體積是24dm3，它的底面積是12dm2，它的高是（）dm。A． B．96 C．6 D．182．（2023?莆田）我國古代數學名著《九章算術》中記載的圓錐體積計算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”也就是用底面周長的平方乘高，再除以36。這種計算方法，圓周率近似值取3。一個圓錐形的沙堆，底面周長30米，高2米。用這種方法算出的沙堆體積是（）立方米。A．50 B．25 C． D．3．（2023?播州區）一個圓錐和一個圓柱的體積和底面積都相等，圓錐的高是24厘米，那么圓柱的高是（）厘米。A．24 B．72 C．8 D．124．（2023?德宏州）圓錐的底面半徑擴大到原來的2倍，它的體積（）A．不變 B．擴大到原來的2倍 C．縮小到原來的一半 D．擴大到原來的4倍二．填空題（共5小題）5．（2023?昆都侖區）淘氣用一個邊長分別是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形像如圖這樣快速旋轉，這個三角形掃過的空間是立方厘米。6．（2023?錦州）一個圓柱形橡皮泥，底面積是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同樣底面大小的圓錐，這個圓錐的高是厘米。7．（2023?武進區）如圖，將直角三角形以直角邊AB為軸旋轉一周，所得立體圖形的體積是立方厘米，如果以直角邊BC為軸旋轉一周，那么所得立體圖形的體積是立方厘米。8．（2023?永川區）有一張長方形硬紙板（如圖），如果將它沿圖中虛線剪開，把其中一個直角三角形繞它的一條直角邊旋轉一周，能夠形成一個立體圖形，這個立體圖形的體積最小是立方厘米。9．（2023?朝陽區模擬）如圖所示是一個扇形，這個扇形的弧長是18.84厘米；把這個扇形圍成圓錐后，它的體積是31.4立方厘米，圍成的這個圓錐的高是厘米。（π取3.14）三．判斷題（共4小題）10．（2023?遵化市）一個圓錐體高不變，底面半徑擴大原來的2倍，這個圓錐的體積也擴大到原來的2倍．（判斷對錯）11．（2023?開州區）圓錐的高是圓柱的3倍，它們的體積一定相等．．（判斷對錯）12．（2023春?瑞金市期中）圓錐的底面半徑擴大到原來的3倍，高不變，體積就擴大到原來的9倍．．（判斷對錯）13．（2023?石河子）一個圓錐底面周長是31.4厘米，高是4厘米，它的體積是314立方厘米。（判斷對錯）四．計算題（共3小題）14．（2023?蕭山區模擬）計算體積。（單位：米）15．（2023?潼南區）求出下面組合體的體積。（單位：cm）。16．（2023春?沙河市期中）求如圖所示圖形的體積。（單位：cm）五．應用題（共10小題）17．（2023?洛龍區）積木是一種常見的兒童玩具，一套積木中通常有不同的顏色和形狀。其中圓錐形積木是在圓柱形積木的基礎上加工制作而成的。將一個底面半徑是3cm、高是6cm的圓柱形積木加工制作成一個等底等高的圓錐形積木，加工制作過程中削去木料的體積是多少？（π取3.14）（2023?孟津縣）一桶16升的溶液，要分裝在開口直徑8厘米、高15厘米的圓錐形杯子里。至少需要幾個這樣的杯子？19．（2023?隨州）一個裝滿稻谷的糧囤，如圖，上面是圓錐，下面是圓柱。已知圓柱的底面周長是6.28米，圓柱的高是3米，圓錐的高是0.6米，如果每立方米稻谷重100千克，那么這囤稻谷有多少千克？（π取3.14）20．（2023?洞頭區）一個圓錐形金屬鑄件的底面半徑2厘米，高3厘米，把它完全浸沒在底面半徑是4厘米的圓柱形玻璃槽內（玻璃槽足夠高），水面上升多少厘米？（2023?萊陽市）從古代一直到近代，匠人們打鐵時，用火將鐵燒紅變軟，然后用錘子擊打成想要的形狀，最后放到涼水里迅速冷卻，以增加鐵的硬度，這就是“淬火”。一鐵匠將底面半徑為10厘米的圓柱形鐵塊燒紅，擊打成與它底面大小相同的圓錐形狀，然后完全沒入一底面積為31.4平方分米的長方體容器里淬火，水面上升了1.5厘米。求這個圓錐的高是多少厘米。（損耗忽略不計）（2023?新榮區）一個底面周長是36厘米的正方體容器中，盛有6厘米深的水。把一個高是6厘米的圓錐形鐵塊完全沒入容器里的水中，現在容器里的水深7厘米。這個圓錐形鐵塊的底面積是多少平方厘米？23．（2023?溫江區）2023年5月30日9時31分，搭載神舟十六號載人飛船的長征二號F遙十六運載火箭在酒泉衛星發射中心發射升空，整流罩是運載火箭的重要組成部分，外形通常由近似的圓柱和圓錐組成。右圖是實驗小學科學小組制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不計，該整流罩的容積是多少立方分米？24．（2023春?襄汾縣校級月考）求如圖物體的體積。（單位：厘米）25．（2023?江寧區）長征二號F遙十三運載火箭整流罩的底面直徑為3.2米。科技館存放著按一定比例制作的長征二號F遙十三運載火箭的整流罩模型（如圖）。（1）科技館制作整流罩模型的比例是多少？（2）該整流罩模型的