折疊問題自主學習單一、知識技能梳理模塊一：折疊與全等折疊，是幾何學中一個基本而有趣的操作。通過折疊，我們可以將一個二維的圖形轉化為三維的立體形狀，或者將一個復雜的圖形簡化為一個更易于理解和分析的形式。折疊的規則和原理，如軸對稱、中心對稱等，都是幾何學中的重要內容。理解并應用這些規則，可以幫助我們更好地理解和解決幾何問題。全等，則是另一個重要的數學概念。當兩個圖形在形狀和大小上都完全相同時，我們就說這兩個圖形是全等的。全等圖形的性質和判定方法，如SSS、SAS、ASA、AAS等，都是我們在學習和應用數學時需要掌握的基本知識。折疊與全等，有著緊密的聯系。通過折疊，我們可以得到全等的圖形；同時，全等圖形的性質也可以在折疊中得到驗證和應用。在學習和理解這兩個概念的過程中，我們可以培養自己的邏輯思維和空間想象能力，為未來的數學學習和實際應用打下堅實的基礎。模塊二：折疊與相似相似的圖形，雖然大小不同，但形狀卻完全相同。這種相似性使得我們能夠在不同的尺度上研究同一類圖形，從而發現它們之間的共同規律。在建筑設計中，相似原理被廣泛應用。建筑師們通過調整建筑的比例和尺寸，創造出既美觀又實用的建筑作品。這些作品不僅體現了數學的美，更展示了人類文明的智慧。折疊與相似，雖然看似不同，但在實際應用中卻常常相互關聯。在圖形變換中，我們可以通過折疊得到相似的圖形；而在相似圖形中，我們也可以找到折疊的規律。這種相互依存的關系，使得折疊與相似成為了數學中不可或缺的一部分。模塊三：折疊與動點動點是指在幾何圖形中可以移動的點，具有位置的變化性和不確定性。在幾何學中，動點常用于研究圖形的運動和變換。模塊四：折疊與函數折疊與函數的關系：在數學中，函數是一種特殊的對應關系，它描述了自變量與因變量之間的關系。折疊與函數之間存在著密切的關系。我們可以通過折疊來探究函數的性質，也可以通過函數來描述折疊的規律。例如，當我們將一個圖形沿x軸折疊時，對應的y值會發生變化，這種變化可以用函數來描述。通過折疊與函數的結合，我們可以更深入地理解函數的性質和應用。為了更好地理解折疊與函數的關系，我們可以通過一些實例來進行探究。例如，我們可以考慮一個二次函數y=ax^2+bx+c的圖像，并將其沿x軸折疊。通過觀察折疊后的圖像，我們可以發現折疊后的圖像關于x軸對稱，這與二次函數的性質是一致的。此外，我們還可以通過折疊來探究函數的周期性、奇偶性等性質，從而加深對函數的理解。二、基本模型展示圖示模型總結折疊問題

(翻折變換)實質上就是軸對稱變換.折痕是對稱軸，對應點的連線被折痕垂直平分.折疊前后的兩部分圖形全等，對應角、對應線段、面積都相等學習過程模塊一：折疊與全等1.針對訓練例1.（教材改編）如圖W-4-1，在□ABCD中，點E，F分別在邊DC，AB上，DE＝BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點B，C分別落在點B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點G，連接DG，B′G．求證：（1）∠1＝∠2；（2）DG＝B′G．證明：（1）在□ABCD中，DC∥AB，∴∠2＝∠FEC.由折疊的性質,得∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2.（2）∵∠1＝∠2，∴EG＝GF.∵AB∥DC，∴∠DEG＝∠EGF.由折疊的性質,得EC′∥B′F，∴∠B′FG＝∠EGF.∴∠DEG＝∠B′FG.又∵DE＝BF＝B′F，∴△DEG≌△B′FG（SAS）.∴DG＝B′G．針對鞏固2.（教材改編）如圖W-4-2，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點F的位置，AF與CD交于點E.（1）找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明；（2）已知AD＝4，CD＝8，求△AEC的面積．

模塊二：折疊與相似針對訓練

解：（1）相似的三角形有：△ADE∽△AFE，△ABF∽△FCE.證明如下：∵將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，∴△ADE≌△AFE.∴△ADE∽△AFE.∴∠AFE＝∠D＝90°.∴∠AFB+∠BAF＝∠AFB+∠CFE＝90°.∴∠BAF＝∠CFE.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABF∽△FCE.

2.針對鞏固

解：（解：（1）△AEF∽△DFC．證明如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠B＝90°.根據折疊的性質,得∠EFC＝∠B＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝∠AFE+∠DFC＝90°.∴∠AEF＝∠DFC.∴△AEF∽△DFC．

練習2模塊三：折疊與動點1.針對訓練例例3.（教材改編）如圖W-4-5，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是邊AB上的一個動點，把△BCE沿CE折疊，點B的對應點為B′．（1）如圖W-4-5①，若點B′剛好落在對角線AC上，則AB′＝_______；（2）如圖W-4-5②，若點B′剛好落在線段CD的垂直平分線上，且在矩形內部，求BE的長．

2.針對鞏固

3.（教材改編）如圖W-4-6，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10，點E在AB上，點F是AD上的動點，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A落在邊CD上的點G處，當點G在邊CD上移動時，求折痕EF的最大值．

模塊四：折疊與函數1.針對訓練

2.針對鞏固

4.（教材改編）如圖W-4-8，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是（0，8），（6，0），連接AB，將△AOB沿過點B的直線折疊，使點A落在x軸上的點A′處，折痕所在直線交y軸正半軸于點C．（1）求直線BC的函數表達式；（2）把直線BC向左平移，使之經過點A′，求平移后直線的函數表達式．

練習1．如圖，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處，AB=23，ADA．233 B．1 C．32 2．如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH.若BE：EC=2：1，則線段CH的長為（）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F分別在邊AD，BC上，連結BE，DF.將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF.則下列結論不正確的是（）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FHD．GF4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，將邊AB沿著AE翻折，使點B落在BC上的點D處，再將邊AC沿著AF翻折，使得C落在AD延長線上的點C′處，兩條折痕與斜邊BC分別交于E，F．以下四個結論正確的是（）①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(3－1)AE．A．①②③ B．②④ C．①③④D．①②③④5．如圖是一張矩形紙片，點E在AB邊上，把△BCE沿直線CE對折，使點B在對角線AC上的點F處，連接DF．若點E，F，D在同一條直線上.給出以下結論：①△ADE≌△FCD；②S△ADF=③tan∠ACE=AEAD；④當AE＝1時，BE其中正確的結論共有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．在平面直角坐標系中，已知直線y=-34x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C（0，n）是y軸正半軸上一點．把坐標平面沿直線AC折疊，使點B剛好落在x軸上，則點CA．（0，43） B．（0，34） C．（0，3） D．（0，7．如圖1，點Q為菱形ABCD的邊BC上一點，將菱形ABCD沿直線AQ翻折，點B的對應點P落在BC的延長線上.已知動點M從點B出發，在射線BC上以每秒1個單位長度運動.設點M運動的時間為x，△APM的面積為y.圖2為y關于x的函數圖象，則菱形ABCD的面積為（）A．12 B．24 C．10 D．208．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=221，E是BC的中點，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點F處，連接CFA．8 B．425 C．172 D參考答案1．如圖，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處，AB=23，ADA．233 B．1 C．32 【答案】A【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=CD，AD=BC，∵把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處，

∴AF=AD=4，EF=DE=23-EC，

在Rt△ABF中，BF=AF2-AB2=2，

∴CF=BC-BF=2，

在Rt△CEF中，EC【分析】根據矩形的性質得AB=CD，AD=BC，根據翻折的性質得AF=AD=4，EF=DE=23-EC，根據勾股定理得BF從而推出CF，再根據勾股定理得2．如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH.若BE：EC=2：1，則線段CH的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【解答】解：∵BE：EC=2：1，BE+EC=9

∴EC=3；

∵正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，

∴∠C=90°，DH=EH，

設CH=x，則DH=EH=9-x，

在Rt△ECH中

CH2+CE2=EH2即x2+9=（9-x）2

解之：x=4，

∴CH的長為4.

故答案為：B.

【分析】利用已知求出EC的長，利用正方形的性質和折疊的性質可得到∠C=90°，DH=EH，設CH=x，則DH=EH=9-x，在Rt△ECH中利用勾股定理可得到關于x的方程，解方程求出x的值，可得到CH的長.3．如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F分別在邊AD，BC上，連結BE，DF.將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF.則下列結論不正確的是（）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF【答案】D【解析】【解答】解：∵BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，∴∴故A選項正確；∵將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，∴BG=∴DG=4∴故B選項正確；∵EG∴EG∥HF，故C正確；設AE=a，則∴ED∵∠∴即EG∴∴AE=3若FG則CF∵CF∴CF∴FG不平行CD，即GF不垂直BC，故D不正確.故答案為：D.【分析】由矩形的性質得BC=AD=8，AB=CD=6，用勾股定理算出BD=10，據此可判斷A選項；由翻折的性質得BG=AB=6，DH=CD=6，根據線段的和差可得DG=BH=4，HG=2，據此可判斷B選項；由翻折可得∠EGB=∠A=∠DHF=∠C=90°，由內錯角相等，兩直線平行，可得EG∥HF，據此判斷C選項；設AE=a，則EG=a，ED=8-a，由∠ADB的正切函數的定義可得EGDG=ABAD=68=34，據此可求出AE的長，同理可得CF的長，若FG∥CD，由平行線分線段成比例定理得CFBF=GDBG4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，將邊AB沿著AE翻折，使點B落在BC上的點D處，再將邊AC沿著AF翻折，使得C落在AD延長線上的點C′處，兩條折痕與斜邊BC分別交于E，F．以下四個結論正確的是（）①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝(3－1)AE．A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【解析】【解答】解：∵將邊AB沿著AE翻折，使點B落在BC上的點D處，再將邊AC沿著AF翻折，使得C落在AD延長線上的點C′處，

∴∠BAE=∠EAD=12∠BAD，∠CAF=∠DAF=12∠CAD，

∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=12（∠BAD+∠CAD）=12∠BAC=12×90°=45°，故①正確；

∵∠BAC=90°，∠C=30°，

∴∠B=60°=∠BDA=∠CDF，∠C'=30°，

∴△ABD是等邊三角形，∠C'FD=90°，DF=m，則C'D=2m，C'F=CF=3m，

∴CD=DF+CF=1+3m，

∵∠BDA=60°，∠C=30°，

∴∠DAC=∠C=30°，

∴DC=AD=1+3m=BD

∴BE=DE=12BD=1+32m，而C'F=3m，

∴C'F≠BE，故②錯誤；

∵CD=1+3m，BE=DE=1+32m，

∴CE=CD+CD=1+32m+1+3m=3+332m=3BE，故③正確；

∵∠BEC=90°，∠C=30°，

∴AE=33CE=33×3+332m=31+32m，

∴3-1AE=3-1×33+12m=3m，

∴FC=(3－1)AE，故④正確，

綜上，正確的有①③④.

故答案為：C.

【分析】由翻折得∠BAE=∠EAD=12∠BAD，∠CAF=∠DAF=125．如圖是一張矩形紙片，點E在AB邊上，把△BCE沿直線CE對折，使點B在對角線AC上的點F處，連接DF．若點E，F，D在同一條直線上.給出以下結論：①△ADE≌△FCD；②S△ADF=③tan∠ACE=AEAD；④當AE＝1時，BE其中正確的結論共有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形

∴設EF=BE=x，則AB=CD=1+x

又∵AB∥CD

∴∠DCE=∠BEC

由折疊的性質可得，∠BEC=∠DEC

∴∠DCE=∠DEC

∴DE=CD=1+x

∴點E，F，D在同一條直線上

∴DF=DE-EF=1+x-x=1=AE

∵AB∥CD

∴△DCF∽△EAF

∴DCEA=DFEF

∴x+11=1x

解得，x1=5-12，x2=-5-12（舍去）

∴BE=x=5-12，即④正確；

由以上可得，DE=CD，DF=AE，∠AED=∠FDC

∴△ADE≌△FCD，即①正確；

由題意，S△ADE=12AE×AD，S△ACE=12AE×AD

∴S△ADE=S△ACE

由折疊的性質可得，S△BCE=S△FCE

∴S△ADE=S△AEF+S△BCE

∴S△ADF+S△AEF=S△AEF+S△BCE

∴S△ADF=S△BCE，即②正確；

6．在平面直角坐標系中，已知直線y=-34x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C（0，n）是y軸正半軸上一點．把坐標平面沿直線AC折疊，使點B剛好落在x軸上，則點CA．（0，43） B．（0，34） C．（0，3） D．（0，【答案】A【解析】【解答】過C作CD⊥AB于D，如圖，對于直線y=-34x+3，

當x=0，得y=3；

當y=0，x=4，

∴A（4，0)，B（0，3)，即OA=4，OB=3，

∴AB=5，

又∵坐標平面沿直線AC折疊，使點B剛好落在x軸上，

∴AC平分∠OAB，

∴CD=CO=n，則BC=3-n，

∴DA=OA=4，

∴DB=5-4=1，

在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，

∴n2+12=（3-n)2，解得n=43，

∴點C的坐標為（0，43)．

【分析】過C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐標，分別為（4，0)，（0，3)，得到AB的長，再根據折疊的性質得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=4，則DB=5-4=1，BC=3-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．本題考查了求直線與坐標軸交點的坐標的方法：分別令x=0或y=0，求對應的y或x的值；也考查了折疊的性質和勾股定理．7．如圖1，點Q為菱形ABCD的邊BC上一點，將菱形ABCD沿直線AQ翻折，點B的對應點P落在BC的延長線上.已知動點M從點B出發，在射線BC上以每秒1個單位長度運動.設點M運動的時間為x，△APM的面積為y.圖2為y關于x的函數圖象，則菱形ABCD的面積為（）A．12 B．24 C．10 D．