《計算中的圖形建構(gòu)》教學(xué)設(shè)計一、知識梳理中考填空壓軸題，承載著中考選拔和區(qū)分功能，考查功能由知識型向能力型轉(zhuǎn)化，其主要特點是知識覆蓋面廣，綜合性強，思維含量高且得分率低，具有較強的探索性、創(chuàng)新性和思考性。考題熱點多設(shè)計為求線段長度、面積大小、線段比、面積比等幾何綜合題，縱觀全國考題來看，熱點還有最值問題或軌跡問題等。主要知識點：圖形三大變換的規(guī)律及性質(zhì)，角平分線和線段垂直平分線性質(zhì)、直角三角形判定與性質(zhì)、全等和相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊四邊形的判定與性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)。主要基本技能：幾何直觀想象能力，基本圖形的分析與構(gòu)造能力、復(fù)雜圖形的解構(gòu)能力，整合信息能力，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運算能力。主要數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、劃歸思想。二、教學(xué)過程模塊一：熟練應(yīng)用通法一題多解模塊一：典例精講例題1（2020?深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=43，則S視角（一）：引入?yún)?shù)求解，求面積比【解答】解法1：解：如圖2，過點D作DM∥BC，交CA的延長線于點M，延長BA交DM于點N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，圖2∴ABBC=ANNM=tan∠ACB又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC設(shè)BC＝4a，由BCDM=OBOD=43∴AB＝2a，DN=35a，AN=∴NB＝AB+AN＝2a+65a=165a，【解釋】解法2：解釋：如圖3過點D作DE⊥BA延長線于E則有△ADE∽△CAB，∴∠DAE＝∠ACB，由tan∠ACB=12∴tan∠DAE=tan∠設(shè)AB＝m，DE＝n，則BC=2m,AE=2n由共邊定理有S△ACDS△ACB=∴12AC?AD12AB?BC則S△ABDS△BCD=12AB?ED12視角（二）巧用共邊定理轉(zhuǎn)化面積比為線段比 【解釋】解法3：如圖4過點B作BH⊥AC于H∵∠AOD＝∠HOB,∠AOD＝∠OHB=90°，∴△DOA∽△BOH∴HO設(shè)AO＝3a，HO＝4a，則AH＝7a，∵tan∠ABH=tan∠ACB=12∴AHBH∴BH=14aCH=28a∴AOCO=332由共邊定理得：S△ABDS△BCD=AOCO=332

【解釋】解法4：如圖AB2=AH?AC，BC2=CH?AC∴AHCH=（ABBC）2=14，設(shè)AO＝3a，HO＝4a，則AH可得AOCO=332，以下過程與解法小結(jié)：本題通法（通性思維）1、有條件∠ABC＝∠DAC，聯(lián)想構(gòu)建“一線三垂直”模型；2、有條件BOOD=433、有條件tan∠ACB=12，可以在含有∠ACB的RT△ABC4、對于結(jié)論求S△ABDS例題2：如圖，在邊長為22的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊ABBC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為．視角（一）：利用相似，直接求解【解答】解法1：如圖2，設(shè)DF，CE交于O，∵四邊形ABCD是正方形，圖1∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF=(22)2∵點G，H分別是EC，PC的中點，∴CG＝FH=10∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠FCO＝∠CDO，∵∠DCF＝∠COF＝90°，∴△COF∽△DOC，∴CFDF=OFCF，∴CF2＝∴OF=CF2DF=(2∵∠COF＝∠COD＝90°，∴△COF∽△DCF，∴OFOC∴OC2＝OF?OD，∴OC=10∴OG＝CG﹣OC=10∴HG=OG2+OH2視角（二）：利用中點，構(gòu)造中位線求解【解答】解法2：如圖3，連接CH并延長交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝22，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，∴AE＝CF=12×∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，DH＝FH，圖3∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF=2∴AP＝AD﹣PD=2，∴PE=A∵點GDF，H分別是EC，CP的中點，∴GH=12EP＝這里構(gòu)造中位線的方法也有多種，這里就不再贅述。視角（三）：利用中點，構(gòu)造全等求解【解釋】解法3：如圖4，連接FG，可得FG=12BE=22，且FG∥作GM⊥DC于點M，可得矩形GFCM，則CM=FG=22，GM=CF=2延長GH交CD于點P，可得△PHD≌△GHF，則有DP=FG=22圖GH=PH=12PG，從而有PM=2=GM，且∠GMP==90°進(jìn)而得出PG=2，故有GH=1.視角（四）：建立坐標(biāo)系，利用兩點間的距離【解釋】解法4：如圖5以B為坐標(biāo)原點，BC、AB所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，易得E（0，2），C（22，0），F(xiàn)（2，0），D（22，22）則EC中點G（2，22），DF中H（322，2），根據(jù)兩點間距離公式，可以求得GH=1。本題求解方法還有多種，一題多解的方法不在多，而在于分析和整理，以及最終是否能形成自己的認(rèn)知和智慧。小結(jié)：本題通法（通性思維）1、利用“等角證互余”得GH為直角三角形斜邊，聯(lián)想勾股定理直接求解；2、有中點，聯(lián)想中位線，構(gòu)造中位線可以利用全等，也可以利用作平行線來解決；3、有中點聯(lián)想倍長過中點的線段，構(gòu)造全等求解；4、在正方形或矩形中，問題的解決往往構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合解決問題有很奇妙的收獲。模塊一：跟進(jìn)練習(xí)1、四邊形ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝3AD＝3，CE⊥BD于E，連AE，若tan∠DEA=12，則AB＝2、如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，過點B作BE⊥AB交CD于點E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點，H為BE的中點，連接FH和CF，CF交BE于點G，則GF的長為3、如圖，四邊形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα=43，CD＝5，AD＝12，求BD的長為4、如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE＝1．將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為5、在△ABC中，點E為AB中點，點D為△ABC上方一點，連接DE，DB，DE與AC邊交于點F，DB與AC邊交于點G，若BGDG=23，△DBE的面積為4，則△DFG的面積為6、如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半徑為r，點C在AB上，CD⊥OA，垂足為D，當(dāng)△OCD的面積最大時，AC的長為．模塊二：有效應(yīng)用通法一題多變模塊二：變式學(xué)習(xí)原題：如圖，在邊長為22的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB、BC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為．變式1．如圖，在邊長為6等邊△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，且AE＝BF=2，連接EC，AF，點G，H分別是EC，F(xiàn)A的中點，連接GH，則GH的長度為變式2．如圖，菱形ABCD中，AB＝8，∠D＝60°；點F是CD的中點，點E是BC上一動點，連接AE，BF．G，H分別是AE，BF的中點，連接GH，則GH的最小值是．變式3．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上一動點，且BE＝CF．連接AE，BF相交于點P，點G，H分別是AE，BF的中點，連接GH，點Q為GH的中點．點E從點B運動到點C的過程中，點P經(jīng)過的路徑長為，線段PQ掃過的面積為．模塊二：跟進(jìn)練習(xí)1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是BC中點，連接AD，過點C作CE⊥AD交AB于M．若AE＝4，CE＝2，則CM的長度為．3．在Rt△ABC中，四邊形DECF為正方形，若AD＝5，DB＝6，則△ADE與△BDF的面積之和為．4．如圖，已知等邊三角形△ABC，點D，E分別在CA，CB的延長線上，且BE＝CD，F(xiàn)為BC的中點，F(xiàn)G⊥AB交DE于點G，F(xiàn)G＝4，則CD＝．5．菱形ABCD的邊長為8，E為BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，過點F作FG∥AD，交AE于點G，若cosB=14，則FG的長為6．如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點E為高AD上的一動點，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝，F(xiàn)B+FD的最小值為．模塊三：綜合應(yīng)用通法多解歸一模塊三：典例精講例題1：如圖，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，點E在AB上，且BE：AB＝1：3，點F在BC邊上運動，以線段EF為斜邊在點B的異側(cè)作等腰直角三角形GEF，連接CG，當(dāng)CG最小時，CFAD的值為。通法分析：1、條件“矩形ABCD中，∠BAC＝60°”，聯(lián)想矩形的有關(guān)性質(zhì)，直角三角形30°角的邊角關(guān)系；2、條件“線段EF為斜邊在點B的異側(cè)作等腰直角三角形GEF”，聯(lián)想∠ABC+∠EGF=90°得B，E，G，F(xiàn)四點共圓，連接BG可得∠GBF＝∠GEF=45°從而有點G在∠ABC的平分線上，當(dāng)CG⊥BG時，CG最小。3、此時，畫出符合題意得圖形，根據(jù)△BCG是以BC為斜邊的等腰直角三角形，證明△EGB≌△FGC，可得BE＝CF，設(shè)AB＝m，根據(jù)BE：AB＝1：3，可得CF＝BE=13m，根據(jù)含30度角的直角三角形可得解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確進(jìn)行圖形建構(gòu)，綜合運用以上知識．【解答】解：如圖1，取EF的中點O，連接OB，OG，作射線BG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵O是EF的中點，∴OB＝OE＝OF，∵∠EGF＝90°，O是EF的中點，∴OG＝OE＝OF，∴OB＝OG＝OE＝OF，∴B，E，G，F(xiàn)在以O(shè)為圓心的圓上，∴∠EBG＝∠EFG，∵∠EGF＝90°，EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，∴∠EBG＝45°，∴BG平分∠ABC，∴點G在∠ABC的平分線上，∴當(dāng)CG⊥BG時，CG最小，此時，如圖2，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠GBC=12∠ABC∵CG⊥BG，∴△BCG是以BC為斜邊的等腰直角三角形，∠BGC＝90°，∴BG＝CG，∵∠EGF＝∠BGC＝90°，∴∠EGF﹣∠BGF＝∠BGC﹣∠BGF，∴∠EGB＝∠FGC，在△EGB和△FGC中，BG=CG∠EGB=∠FGC∴△EGB≌△FGC（SAS），∴BE＝CF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，設(shè)AB＝m，∵BE：AB＝1：3，∴CF＝BE=13在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2m，∴BC=AC2-AB2=3例題2：矩形ABCD中，∠ADB＝30°，Rt△AEF中，∠EAF＝90°，∠AFE＝30°，將Rt△AEF繞A旋轉(zhuǎn)至圖中位置，使得點F落在BD上，此時AFDF=3，則此時MFBM通法分析：1、條件“矩形ABCD中，∠ADB＝30°”聯(lián)想矩形性質(zhì)及30°角直角三角形的邊角關(guān)系；2、條件“∠BAD=∠EAF＝90°，∠ADB=∠AFE＝30°”可以得ABAD∠BAD－∠BAF＝∠EAF－∠BAF，即∠FAD=∠EAB3、連接EB，△DAF∽△BAE，則有對應(yīng)角相等；4、由結(jié)論求MFBM的值，聯(lián)想△MBE∽△MAF，“反8字”相似模型，設(shè)BE＝x，則DF=3x，得AF=3DF＝3x，得MF熟練掌握旋轉(zhuǎn)相似必成雙的基本模型是解題的關(guān)鍵．【解答】解：連接BE，∵∠ADB＝∠AFE=30°∴AB∵∠BAD＝∠EAF=90°，∴∠FAD=∠EAB=90°－∠BAF∴△DAF∽△BAE，∴DFBE=AFAE=3，∠ADF＝∠∵∠AFM＝30°∴∠ABE=∠AFM又∵∠BME＝∠FMA，∴△FMA∽△BME，∴MF設(shè)BE＝x，則DF=3x∵AFDF=3，∴AF=3DF∴MFBM=例題2變式引深：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=34，D為AB上一點，H為AC上一點，∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，則DH通法分析：1、條件“∠ABC＝∠HDC，CB＝CD”，聯(lián)想“共頂點等線段作旋轉(zhuǎn)”，可將Rt△ABC中的AC邊繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°進(jìn)行圖形建構(gòu)。即作CE⊥CD于C，交DH的延長線于E，CF⊥AB于F；2、利用ASA證明△BCA≌△DCE，得∠A＝∠E，CE＝AC，得△ADH∽△ECH，得DHHC3、由于有條件BCAC=3設(shè)AC＝CE＝4x，則BC＝3x，根據(jù)cosB=BCAB=【解答】解：作CE⊥CD于C，交DH的延長線于E，CF⊥AB于F，∵∠B＝∠CDE，BC＝CD，∠BCA＝∠DCE，∴△BCA≌△DCE（ASA），∴∠A＝∠E，CE