三腰等角13.3.1等腰三角形（第2課時）班級:XXX時間：20XX.XX形等腰三角形13.3.1等腰三角形（第2課時）人教版八年級數學上冊授課人：XXXABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當時測得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發，能不能同時趕到出事地點（不考慮風浪因素）？探究新知素養目標1.掌握等腰三角形的判定方法，并運用其進行證明和計算.2.通過學習等腰三角形的判定方法，使學生能從正反兩個方面認識等腰三角形，養成科學的思維習慣.

如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數量關系?CAB

請同學用直尺和量角器，畫一個△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數量關系，你能得出什么結論？AB=AC你能驗證你的結論嗎？小活動等腰三角形的判定知識點探究新知在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.過A作AD平分∠BAC交BC于點D.證明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.探究新知∴

AC=AB.()即△ABC為等腰三角形.∵∠B=∠C，

()等腰三角形的判定方法：

如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”，這又是一個判定兩條線段相等的根據之一）.已知等角對等邊在△ABC中，BCA((歸納總結應用格式：探究新知ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）.錯，因為都不是在同一個三角形中.【思考】如圖,下列推理正確嗎?探究新知例1

求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內錯角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．ABCE（（12D利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形狀素養考點1探究新知已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應角相等),∴AE=DE(等角對等邊）,∴△AED是等腰三角形.鞏固練習例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.BADC證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD.總結：平分角+平行=等腰三角形由平行及角平分線識別等腰三角形素養考點2探究新知如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.3cm如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？BCADE答：是.由折疊可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.∴∠EDB=∠CBD，鞏固練習例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．通過計算角相等來證明等腰三角形素養考點3探究新知方法點撥

“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據，它的前提條件是“在同一個三角形中”．探究新知如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D,E在BC邊上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,則圖中共有等腰三角形的個數是 (

)

A.4 B.5 C.6 D.7C

解析:∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6個.鞏固練習例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作等腰△ABC.使底邊BC=a，底邊上的高為h.ah作法：1.作線段AB=a.2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D.3.在MN上取一點C，使DC=h.4.連接AC，BC，則△ABC即為所求.ABCMND利用尺規作圖作等腰三角形素養考點4探究新知例5

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF，BE，FC之間的關系.OABCEF解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結論還成立嗎？利用等腰三角形的判定證明線段之間的關系素養考點5探究新知方法點撥

判定線段之間的數量關系，一般做法是通過證明線段所在的兩個三角形全等或利用同一個三角形中“等角對等邊”，運用轉化思想，解決問題.探究新知∴MN=OABCMN123456在ΔABC中,OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，過O點作MN∥BC.

ΔAMN的周長=AB+AC嗎？為什么？∴ΔAMN的周長=AM+MN+ANBM+CN.=AM+BM+CN+AN=AB+AC.解：∵OB平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.∴OM=BM.同理得：ON=CN.

∵

MN=OM+ON,鞏固練習在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結論一定成立的是（

）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC解析：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．C鏈接中考鏈接中考1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分別是∠ABC,∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個B．4個C．3個D．2個2.一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內角的2倍.這個三角形是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形CA基礎鞏固題課堂檢測3.如圖，直線a、b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O、A、B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的B點有（）A．1個B．2個C．3個D．4個D1OabA課堂檢測4.如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠DBC=_____，∠BDC=_____，圖中的等腰三角形有_______________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCD5.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為_____.9第5題圖ABCD第4題圖課堂檢測1.如圖，上午10時，一條船從A處出發以20海里每小時的速度向正北航行，中午12時到達B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求從B處到燈塔C的距離.解：∵∠NBC=∠A+∠C，

∴∠C=80°–40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC(等角對等邊).∵AB=20×(12–10)=40(海里),∴BC=40海里.答：B處距離燈塔C為40海里.80°40°NBAC北能力提升題課堂檢測2.（A類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求證：∠A=∠C．（B類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求證：AD=CD．課堂檢測證明：（A類）連接AC，∵AB=BC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即BAD=∠BCD；（B類）連接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．課堂檢測在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角∠C，請問，有沒有辦法把原來的等腰三角形畫出來？ABC3種“補出”方法：方法1：量出∠C度數，畫出∠B＝∠C，∠B與∠C的邊相交得到頂點A．方法2：作BC邊上的垂直平分線，與∠C的一邊相交得到頂點A．方法3：對折．拓廣探索題課堂檢測等腰三角形的判定等角對等邊定義注意是指同一個三角形中有兩邊相等的三角形是等腰三角形課堂小結作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業相關知識內容延伸學習，授課時可參考。《等腰三角形》（第2課時）教案一、教學目標理解并掌握等腰三角形的判定定理，能運用判定定理證明一個三角形是等腰三角形。通過觀察、猜想、證明等腰三角形的判定定理，培養學生的邏輯推理能力和幾何直觀素養，體會轉化的數學思想。引導學生積極參與數學活動，激發學生的學習興趣，增強學生學習數學的信心，感受數學的嚴謹性與應用價值。二、教學重難點教學重點等腰三角形判定定理的探究與應用。熟練運用等腰三角形判定定理解決相關幾何問題。教學難點等腰三角形判定定理的證明思路及輔助線的添加方法。區分等腰三角形的性質與判定，并能在具體問題中正確運用。三、教學方法采用啟發式教學法、探究式學習法和小組合作法相結合。通過設置問題情境，引導學生自主探究、合作交流，教師適時引導和點撥，幫助學生理解和掌握知識。四、教學過程（一）復習回顧，引入新課（5分鐘）提問回顧：同學們，上節課我們學習了等腰三角形的性質，誰能說一說等腰三角形有哪些性質呢？（引導學生回答：等腰三角形兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“等邊對等角”；等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，即“三線合一”。）那我們是如何證明這些性質的呢？（回顧作輔助線的方法，如作頂角平分線、底邊上的高或底邊上的中線等。）引入新課：我們已經知道了等腰三角形的性質，那反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形嗎？這就是我們今天要探究的內容——等腰三角形的判定（板書課題）。（二）探究等腰三角形的判定定理（15分鐘）觀察猜想：教師展示一個有兩個角相等的三角形紙片，引導學生觀察并思考：這個三角形看起來有什么特點？你能猜想一下如果一個三角形有兩個角相等，它的邊會有什么關系嗎？組織學生進行小組討論，鼓勵學生用測量、折疊等方法進行驗證自己的猜想。各小組派代表分享討論結果，多數學生可能會猜想：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。推理證明：教師引導學生將猜想轉化為數學命題：已知在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC。讓學生嘗試自己證明，教師巡視指導，對于有困難的學生，提示他們可以類比等腰三角形性質的證明方法，考慮添加輔助線。請一名學生到黑板上展示證明過程，教師進行點評和補充。證明：過點A作AD⊥BC于點D。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C（已知）∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定義）AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的對應邊相等）教師強調：還可以作∠BAC的平分線或BC邊上的中線來證明，讓學生課后自己嘗試。得出定理：經過證明，我們得到了等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡寫成“等角對等邊”。教師引導學生對比等腰三角形的性質定理“等邊對等角”和判定定理“等角對等邊”，明確它們的條件和結論的關系。（三）例題講解，鞏固應用（15分鐘）講解教材例題：例1：求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形。教師引導學生根據題意畫出圖形，寫出已知、求證。已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求證：AB=