三腰等角13.3.1等腰三角形（第2課時）班級:XXX時間：20XX.XX形等腰三角形13.3.1等腰三角形（第2課時）人教版八年級數(shù)學上冊授課人：XXXABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當時測得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點（不考慮風浪因素）？探究新知素養(yǎng)目標1.掌握等腰三角形的判定方法，并運用其進行證明和計算.2.通過學習等腰三角形的判定方法，使學生能從正反兩個方面認識等腰三角形，養(yǎng)成科學的思維習慣.

如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?CAB

請同學用直尺和量角器，畫一個△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？AB=AC你能驗證你的結(jié)論嗎？小活動等腰三角形的判定知識點探究新知在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.過A作AD平分∠BAC交BC于點D.證明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.探究新知∴

AC=AB.()即△ABC為等腰三角形.∵∠B=∠C，

()等腰三角形的判定方法：

如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”，這又是一個判定兩條線段相等的根據(jù)之一）.已知等角對等邊在△ABC中，BCA((歸納總結(jié)應(yīng)用格式：探究新知ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）.錯，因為都不是在同一個三角形中.【思考】如圖,下列推理正確嗎?探究新知例1

求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．ABCE（（12D利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形狀素養(yǎng)考點1探究新知已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等),∴AE=DE(等角對等邊）,∴△AED是等腰三角形.鞏固練習例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.BADC證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD.總結(jié)：平分角+平行=等腰三角形由平行及角平分線識別等腰三角形素養(yǎng)考點2探究新知如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.3cm如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？BCADE答：是.由折疊可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.∴∠EDB=∠CBD，鞏固練習例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．通過計算角相等來證明等腰三角形素養(yǎng)考點3探究新知方法點撥

“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，它的前提條件是“在同一個三角形中”．探究新知如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D,E在BC邊上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,則圖中共有等腰三角形的個數(shù)是 (

)

A.4 B.5 C.6 D.7C

解析:∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6個.鞏固練習例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作等腰△ABC.使底邊BC=a，底邊上的高為h.ah作法：1.作線段AB=a.2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D.3.在MN上取一點C，使DC=h.4.連接AC，BC，則△ABC即為所求.ABCMND利用尺規(guī)作圖作等腰三角形素養(yǎng)考點4探究新知例5

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF，BE，F(xiàn)C之間的關(guān)系.OABCEF解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結(jié)論還成立嗎？利用等腰三角形的判定證明線段之間的關(guān)系素養(yǎng)考點5探究新知方法點撥

判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過證明線段所在的兩個三角形全等或利用同一個三角形中“等角對等邊”，運用轉(zhuǎn)化思想，解決問題.探究新知∴MN=OABCMN123456在ΔABC中,OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，過O點作MN∥BC.

ΔAMN的周長=AB+AC嗎？為什么？∴ΔAMN的周長=AM+MN+ANBM+CN.=AM+BM+CN+AN=AB+AC.解：∵OB平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.∴OM=BM.同理得：ON=CN.

∵

MN=OM+ON,鞏固練習在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC解析：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．C鏈接中考鏈接中考1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分別是∠ABC,∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個B．4個C．3個D．2個2.一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內(nèi)角的2倍.這個三角形是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形CA基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測3.如圖，直線a、b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O、A、B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的B點有（）A．1個B．2個C．3個D．4個D1OabA課堂檢測4.如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠DBC=_____，∠BDC=_____，圖中的等腰三角形有_______________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCD5.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為_____.9第5題圖ABCD第4題圖課堂檢測1.如圖，上午10時，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時的速度向正北航行，中午12時到達B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求從B處到燈塔C的距離.解：∵∠NBC=∠A+∠C，

∴∠C=80°–40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC(等角對等邊).∵AB=20×(12–10)=40(海里),∴BC=40海里.答：B處距離燈塔C為40海里.80°40°NBAC北能力提升題課堂檢測2.（A類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求證：∠A=∠C．（B類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求證：AD=CD．課堂檢測證明：（A類）連接AC，∵AB=BC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即BAD=∠BCD；（B類）連接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．課堂檢測在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角∠C，請問，有沒有辦法把原來的等腰三角形畫出來？ABC3種“補出”方法：方法1：量出∠C度數(shù)，畫出∠B＝∠C，∠B與∠C的邊相交得到頂點A．方法2：作BC邊上的垂直平分線，與∠C的一邊相交得到頂點A．方法3：對折．拓廣探索題課堂檢測等腰三角形的判定等角對等邊定義注意是指同一個三角形中有兩邊相等的三角形是等腰三角形課堂小結(jié)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習課后作業(yè)相關(guān)知識內(nèi)容延伸學習，授課時可參考。《等腰三角形》（第2課時）教案一、教學目標理解并掌握等腰三角形的判定定理，能運用判定定理證明一個三角形是等腰三角形。通過觀察、猜想、證明等腰三角形的判定定理，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和幾何直觀素養(yǎng)，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。引導學生積極參與數(shù)學活動，激發(fā)學生的學習興趣，增強學生學習數(shù)學的信心，感受數(shù)學的嚴謹性與應(yīng)用價值。二、教學重難點教學重點等腰三角形判定定理的探究與應(yīng)用。熟練運用等腰三角形判定定理解決相關(guān)幾何問題。教學難點等腰三角形判定定理的證明思路及輔助線的添加方法。區(qū)分等腰三角形的性質(zhì)與判定，并能在具體問題中正確運用。三、教學方法采用啟發(fā)式教學法、探究式學習法和小組合作法相結(jié)合。通過設(shè)置問題情境，引導學生自主探究、合作交流，教師適時引導和點撥，幫助學生理解和掌握知識。四、教學過程（一）復習回顧，引入新課（5分鐘）提問回顧：同學們，上節(jié)課我們學習了等腰三角形的性質(zhì)，誰能說一說等腰三角形有哪些性質(zhì)呢？（引導學生回答：等腰三角形兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“等邊對等角”；等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，即“三線合一”。）那我們是如何證明這些性質(zhì)的呢？（回顧作輔助線的方法，如作頂角平分線、底邊上的高或底邊上的中線等。）引入新課：我們已經(jīng)知道了等腰三角形的性質(zhì)，那反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形嗎？這就是我們今天要探究的內(nèi)容——等腰三角形的判定（板書課題）。（二）探究等腰三角形的判定定理（15分鐘）觀察猜想：教師展示一個有兩個角相等的三角形紙片，引導學生觀察并思考：這個三角形看起來有什么特點？你能猜想一下如果一個三角形有兩個角相等，它的邊會有什么關(guān)系嗎？組織學生進行小組討論，鼓勵學生用測量、折疊等方法進行驗證自己的猜想。各小組派代表分享討論結(jié)果，多數(shù)學生可能會猜想：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。推理證明：教師引導學生將猜想轉(zhuǎn)化為數(shù)學命題：已知在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC。讓學生嘗試自己證明，教師巡視指導，對于有困難的學生，提示他們可以類比等腰三角形性質(zhì)的證明方法，考慮添加輔助線。請一名學生到黑板上展示證明過程，教師進行點評和補充。證明：過點A作AD⊥BC于點D。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C（已知）∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定義）AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）教師強調(diào)：還可以作∠BAC的平分線或BC邊上的中線來證明，讓學生課后自己嘗試。得出定理：經(jīng)過證明，我們得到了等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡寫成“等角對等邊”。教師引導學生對比等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對等角”和判定定理“等角對等邊”，明確它們的條件和結(jié)論的關(guān)系。（三）例題講解，鞏固應(yīng)用（15分鐘）講解教材例題：例1：求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形。教師引導學生根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證。已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求證：AB=AC。讓學生分析證明思路，教師適時點撥：由AD∥BC可以得到哪些角相等？再結(jié)合∠1=∠2，如何推出∠B=∠C？教師板書詳細的證明過程，規(guī)范學生的書寫格式。證明：∵AD∥BC∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵∠1=∠2∴∠B=∠C∴AB=AC（等角對等邊）課堂練習：練習1：在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°，判斷△ABC是什么三角形，并說明理由。練習2：如圖，AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OA=OB，求證：OC=OD。學生獨立完成練習，教師巡視，及時發(fā)現(xiàn)學生存在的問題，并進行個別指導。選取部分學生的答案進行展示和評價，強調(diào)證明過程的規(guī)范性和邏輯性。（四）課堂小結(jié)，歸納提升（5分鐘）教師提問：通過本節(jié)課的學習，你學到了哪些知識？引導學生回顧等腰三角形的判定定理“等角對等邊”，以及定理的證明方法和應(yīng)用。師生共同總結(jié)：等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要方法，在證明過程中，要注意結(jié)合已知條件，合理添加輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何圖形和關(guān)系。要區(qū)分清楚等腰三角形的性質(zhì)和判定，性質(zhì)是由邊相等得到角相等，判定是由角相等得到邊相等。（五）布置作業(yè)（課后完成）基礎(chǔ)作業(yè)：教材習題13.3第2、5題。拓展作業(yè)：已知在△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，添加一個條件，使DE=DF，并說明理由。相關(guān)知識內(nèi)容延伸學習，授課時可參考。初中數(shù)學知識涵蓋代數(shù)、幾何等多方面內(nèi)容，想要學好它，需從學習習慣、學習方法、思維培養(yǎng)等多個維度入手。以下為你詳細列舉相關(guān)技巧和方法：1.**夯實基礎(chǔ)**

-**牢記概念公式**：數(shù)學的概念、公式是解題的基礎(chǔ)與核心，像平方差公式\((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)，只有準確牢記，才能在計算和證明中正確運用。可以通過制作記憶卡片，將概念和公式寫在卡片上，利用碎片化時間反復記憶。

-**理解知識原理**：不僅要記住公式，更要明白其推導過程。以三角形內(nèi)角和定理為例，通過動手剪拼三角形的三個角，將它們拼在一起形成平角，直觀理解三角形內(nèi)角和為180°的原理，這樣能更深入地掌握知識，靈活運用。2.**優(yōu)化學習過程**

-**做好預(yù)習工作**：預(yù)習時先通讀教材內(nèi)容，了解即將學習的知識點，標記出不理解的地方，帶著問題去聽課。例如預(yù)習一次函數(shù)時，嘗試畫出簡單的函數(shù)圖像，對函數(shù)的性質(zhì)有初步認識，課堂上就能更專注于重點和難點。

-**高效參與課堂**：認真聽講是關(guān)鍵，跟隨老師的思路，積極思考問題，主動參與課堂互動。同時，做好課堂筆記，記錄老師強調(diào)的重點、解題思路和方法，方便課后復習。

-**及時復習鞏固**：當天學習的內(nèi)容，當天進行復習，通過做練習題、總結(jié)歸納等方式，加深對知識的理解和記憶。比如學完整式的運算后，及時做相關(guān)練習題，鞏固運算規(guī)則。3.**掌握解題技巧**

-**分析題目條件**：拿到題目后，仔細閱讀題干，梳理已知條件和所求問題，明確題目所涉及的知識點和考點。對于幾何題，要認真觀察圖形，找出其中的隱含條件。

-**總結(jié)解題方法**：每做完一道題，都要總結(jié)解題方法和思路，思考是否有其他解法，做到舉一反三。例如，在學習一元二次方程的解法后，總結(jié)出配方法、公式法、因式分解法等不同解法的適用題型和步驟。

-**建立錯題檔案**：將做錯的題目整理到錯題本上，分析錯誤原因，如概念不清、計算錯誤、思路錯誤等，并記錄正確的解題過程和方法。定期復習錯題本，避免再次犯錯。4.**培養(yǎng)數(shù)學思維**

-**邏輯思維**：學習數(shù)學需要嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γㄟ^證明題的訓練，如幾何證明，培養(yǎng)從已知條件出發(fā)，逐步推導得出結(jié)論的邏輯思維能力。

-**抽象思維**：初中數(shù)學中的代數(shù)部分，如方程、函數(shù)等，具有較強的抽象性。可以通過實際問題的建模，將抽象的數(shù)學知識與實際生活聯(lián)系起來，提高抽象思維能力。

-**發(fā)散思維**：在解題過程中，嘗試從不同角度思考問題，尋求多種解法。例如，對于一道應(yīng)用題，可以用方程法、算術(shù)法等多種方法求解，培養(yǎng)發(fā)散思維。5.**拓展學習渠道**

-**閱讀數(shù)學書籍**：除了教材，還可以閱讀一些數(shù)學科普書籍、趣味數(shù)學讀物，拓寬數(shù)學視野，激發(fā)學習興趣。比如《數(shù)學趣味談》《幾何原本》等。

-**利用網(wǎng)絡(luò)資源**：互聯(lián)網(wǎng)上有豐富的數(shù)學學習資源，如在線課程、教學視頻、學習論壇等。可以通過觀看優(yōu)質(zhì)的教學視頻，學習不同老師的講解方法和技巧，也可以在學習論壇上與其他同學交流學習心得和體會。初中數(shù)學思維的培養(yǎng)是提升數(shù)學能力的核心，以下從邏輯思維、抽象思維、建模思維、批判性思維等多個維度，結(jié)合具體方法和案例，為你詳細介紹培養(yǎng)技巧：一、邏輯思維：從“因果推導”到“嚴謹表達”核心目標：讓學生學會通過已知條件逐步推導結(jié)論，避免邏輯斷層。1.重視證明過程的拆解技巧：從簡單幾何證明題入手，如“證明三角形全等”，要求學生用“因為…（條件），所以…（結(jié)論）”的句式書寫步驟，明確每一步的依據(jù)（如“SAS”“ASA”定理）。案例：題目：已知AB=DE，AC=DF，∠A=∠D，求證△ABC≌△DEF。推導邏輯：因為AB=DE，AC=DF（已知），∠A=∠D（已知），所以△ABC≌△DEF（SAS定理）。關(guān)鍵：強調(diào)“條件必須完整”（如不能遺漏夾角對應(yīng)相等），避免憑直覺下結(jié)論。2.用“逆推法”分析復雜問題技巧：從問題出發(fā)，反向推導需要的條件。例如：題目：求證“等腰三角形底角相等”。逆推思路：要證底角相等→需證三角形全等→需作輔助線（頂角平分線/底邊上的高）→利用全等條件（SSS/SAS）證明。訓練方式：讓學生用箭頭圖畫出“問題→條件”的逆推鏈條，強化邏輯連貫性。3.辨析“充分條件”與“必要條件”技巧：通過對比題組，讓學生區(qū)分“有之必然”（充分條件）和“無之必不然”（必要條件）。案例：“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”：60°是等邊三角形的充分條件（滿足即成立）。“三角形兩邊之和大于第三邊”：是構(gòu)成三角形的必要條件（不滿足則不成立）。練習：讓學生列舉學過的定理，判斷條件類型，如“對角線互相平分是平行四邊形的什么條件？”二、抽象思維：從“具體實例”到“符號概括”核心目標：讓學生學會用符號、公式表示現(xiàn)實問題，擺脫對具體情境的依賴。1.從算術(shù)到代數(shù)的“符號過渡”技巧：用“字母代替數(shù)”的練習，幫助學生理解變量含義。案例：算術(shù)思維：“蘋果比梨多5個，梨有8個，蘋果有幾個？”（8+5=13）。代數(shù)思維：“設(shè)梨有x個，蘋果有x+5個”，用符號表示數(shù)量關(guān)系。訓練：讓學生用代數(shù)式表示生活場景，如“速度v，時間t，路程s=vt”。2.用“模型抽象”理解函數(shù)概念技巧：通過具體情境（如“溫度隨時間變化的圖像”“購物總價與數(shù)量的關(guān)系”），引導學生觀察變量間的對應(yīng)關(guān)系，再抽象為函數(shù)表達式（如y=kx+b）。案例：繪制“汽車勻速行駛時，路程與時間的圖像”，觀察到圖像是直線→抽象為一次函數(shù)y=vt。對比“勻速直線運動”和“變速運動”的圖像，理解函數(shù)的“確定性”特征。3.利用“幾何直觀”輔助抽象概念技巧：用圖形表示代數(shù)問題，如用數(shù)軸理解絕對值（∣x∣表示數(shù)軸上x到原點的距離），用面積法推導乘法公式（如平方差公式(a+b)(a?b)=a2?b2

可通過大正方形面積減去小正方形面積理解）。圖示案例：image三、建模思維：從“實際問題”到“數(shù)學結(jié)構(gòu)”核心目標：讓學生學會將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（如方程、不等式、函數(shù)等）。1.掌握“三步建模法”步驟：①審題：提取關(guān)鍵數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系（如“相遇問題”中的速度、時間、路程）；②設(shè)元：用字母表示未知量（如設(shè)相遇時間為t）；③建模：根據(jù)等量關(guān)系列方程（如v1?t+v2?t=s）。案例：題目：“甲、乙兩人相距100米，相向而行，甲速度5m/s，乙速度3m/s，幾秒后相遇？”建模：設(shè)時間為t，則5t+3t=100，解得t=12.5。2.用“分類討論”完善模型技巧：當問題存在多種情況時，引導學生分類建模。案例：題目：“等腰三角形一邊長為5，另一邊長為8，求周長。”分類：①5為腰：周長=5+5+8=18；②8為腰：周長=8+8+5=21。關(guān)鍵：強調(diào)“分類標準要唯一”（如按“腰長”分類），避免遺漏或重復。3.用“函數(shù)模型”解決動態(tài)問題技巧：分析變量間的變化趨勢，選擇合適的函數(shù)類型（一次函數(shù)、二次函數(shù)等）。案例：題目：“某商品進價20元，售價30元時，每天賣100件。售價每漲1元，銷量減少5件，求利潤最大時的售價。”建模：設(shè)售價漲x元，利潤y=(30+x?20)(100?5x)=?5x2+50x+1000，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求頂點。四、批判性思維：從“被動接受”到“主動質(zhì)疑”核心目標：讓學生學會質(zhì)疑結(jié)論的合理性，避免盲目套用公式。1.鼓勵“逆向提問”技巧：學完定理后，引導學生思考“逆命題是否成立”。案例：原命題：“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方（勾股定理）”；逆命題：“若三角形三邊滿足a2+b2=c2

，則是直角三角形”（成立，勾股定理逆定理）。練習：判斷“同位角相等”的逆命題“相等的角是同位角”是否成立，強化對概念的辨析。2.用“反例法”檢驗結(jié)論技巧：當學生認為“所有偶數(shù)都是合數(shù)”時，舉反例“2是偶數(shù)但不是合數(shù)”，說明命題不成立。訓練：問題：“若a>b，則a2>b2

”，舉反例（如a=1，b=?2，此時12<(?2)2

）。目的：讓學生明白“特殊情況可能推翻一般性結(jié)論”，需謹慎歸納。3.反思“解題過程的嚴謹性”技巧：做完題后，追問“每一步是否有依據(jù)”“是否忽略了隱含條件”。案例：題目：“解方程x+2?=x”，學生可能直接平方得x+2=x2

，解得x=2或x=?1，但忽略根號下x+2≥0且x≥0，需舍去x=?1。習慣：養(yǎng)成“檢驗解的合理性”的意識，如分式方程驗根、實際問題驗符合題意。五、創(chuàng)新思維：從“常規(guī)解法”到“多元思路”核心目